高考数学二轮复习 专题19 不等式选讲讲学案 理.doc

专题19 不等式选讲预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查. 一、含有绝对值不等式的解法1.|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)若c0，则|axb|c等价于caxbc，|axb|c等价于axbc或axbc，然后根据a，b的值解出即可. (2)若c0)，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. (1)零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法 (1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x). (2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x). 二、不等式的证明 1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理1：若a，b为实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0，等号成立. 定理2：设a，b，c为实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立. 推论1：|a|b|ab|. 推论2：|a|b|ab|. (2)三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，cr，那么，当且仅当abc时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即，并且仅当a1a2an时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，并且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立.2.证明不等式的常用方法 (1)比较法 一般步骤：作差变形判断结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负. (2)综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法. (4)反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法. 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法. 考点一解绝对值不等式例1【2017课标3，文23】已知函数=x+1x2.（1）求不等式1的解集；（2）若不等式x2x +m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修45：不等式选讲已知函数.（i）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（ii）求不等式的解集【答案】（i）见解析（ii） (2015重庆，16)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.【答案】4或6【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x1或xa时取得，若f(1)2|1a|5，a或a，经检验均不合适；若f(a)5，则|x1|5，a4或a6，经检验合题意，因此a4或a6.【变式探究】不等式|x1|x2|5的解集为_【答案】x|x3或x2考点二不等式的证明例2【2017课标ii，文23】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】解： （2）因为所以 ，因此 【变式探究】【2016高考新课标2文数】选修45：不等式选讲已知函数，为不等式的解集（）求；（）证明：当时，【答案】（）；（）详见解析.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合m0，1，2，q1，集合ax|xx1x2qxnqn1，xim，i1，2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合a；(2)设s，ta，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，bim，i1，2，n.证明：若anbn，则s0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.1.【2014高考安徽卷文第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）a.5或8 b.或5 c.或 d.或8【答案】d【解析】由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得（舍）或；当时，即，此时，不满足题意，所以或，故选d.2. 【2014陕西高考文第15题】设，且，则的最小值为 【答案】【解析】由柯西不等式得：，所以，得所以，故答案为。 3. 【2014高考广东卷文第9题】不等式的解集为 .【答案】.4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则_.【答案】-3 【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,即,故填.5. 【2014江西高考文第11题】对任意,的最小值为（ ） a. b. c. d.【答案】c6. 【2014重庆高考文第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：由题意得：，解这得:所以答案应填：7. 【2014高考福建文第21（3）题】 已知定义在r上的函数的最小值为. （i）求的值； （ii）若为正实数，且，求证：.【答案】（i）;（ii）参考解析（ii）由（i）知,又因为是正数,所以,即.9. 【2014高考江苏第21题】已知，证明【答案】证明见解析.【解析】，,.10. 【2014高考江苏第21b题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.【答案】【解析】由题意得，解得.11. 【2014高考辽宁文第24题】设函数，记的解集为m，的解集为n.（）求m；()当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】 故.当时，于是.12. 【2014高考全国1第24题】若，且.（）求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由. 【答案】（）；（）不存在【解析】（i）由，得，且当时取等号故，且当时取等号所以的最小值为（ii）由（i）知，由于，从而不存在，使得13. 【2014高考全国2第24题】设函数=（）证明：2；（）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所（2013新课标i理）（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)=x+3.（）当a=-2时，求不等式f(x)g(x)的解集；（）设a1，且当x，)时，f(x)g(x)，求a的取值范围.【答案】【解析】（1）构造函数，作出函数图像，观察可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.（2013陕西理）a. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 . 【答案】2【解析】 由柯西不等式可得（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为_.【答案】【解析】因此解集为.（2013福建理）(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为a,且（）求的值（）求函数的最小值【答案】（）因为，且，所以，且解得，又因为，所以（）因为当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为（2013辽宁理）24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（i）（ii）【答案】（i）解法一：当a=2时，利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4，又