高考数学一轮总复习 专题6.3 等比数列及其前n项和练习（含解析）文.doc

专题6.3 等比数列及其前n项和1.【2015新课标2文9】已知等比数列满足,则（ ） 【答案】c【解析】由题意可得；，所以； ，故 ,选c.【考点解读】本题为求等比数列的特定项，求出公比是解题的关键。求解有两个思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，应有意识地去应用。在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法。2.【2015高考新课标1文13】数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【考点解读】本题考查了等比数列定义与前n项和公式，关键是由条件得出该数列为等比数列。3.【2015高考广东文13】若三个正数，成等比数列，其中，则 【答案】【解析】因为三个正数，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：【考点解读】本题主要考查的是等比中项，属于容易题解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若，成等比数列，则称为与的等比中项，即4.【2017江苏高考9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则.【考点解读】本题考查等比数列的求和及通项，解题中可运用方程思想（求基本量），等比数列注意分类思想。5.【2017课标ii文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若 ，求的通项公式；（2）若，求.【答案】见解析【考点解读】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想，化简整理的运算能力与分类思想，属于基础题。6.【2017课标1文17】记sn为等比数列的前n项和，已知s2=2，s3=-6（1）求的通项公式；（2）求sn，并判断sn+1，sn，sn+2是否成等差数列【答案】（1）；（2），证明见解析【考点解读】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的证明。注意运用基本量法求出，而对于 等差数列的判断需回归定义解决。7. 【2016高考新课标文数17】已知各项都为正数的数列满足，.（i）求；（ii）求的通项公式.【答案】（）；（）【解析】（）由题，.代入可得. （）由得.因为的各项都为正数，所以，故是首项为，公比为的等比数列，因此. 【考点解读】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式。关键是等比数列的发现和证明。等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解8.【2017天津高考文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）. （）.【考点解读】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和（错位相减法），考查转化思想以及计算能力考点了解a掌握b灵活运用c等比数列的概念b等比数列的通项公式与前n项和公式c等比数列作为一种特殊的数列，高考考点为等比数列的概念，等比数列的通项公式与前n项和公式，等比数列与指数函数的关系。高考中选填题以考查等比数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，为中低档题。解答题以考查等比（差）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列、也常与不等式结合综合考查。复习中注意对等比数列的定义的理解，训练和培养函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等。等比数列知识要点：（1）通项公式要点：.（2）前项和公式要点：.（3）通项公式的函数特征：是关于的函数（，都是不为0的常数，）；前项和公式的函数特征：前项和是关于的函数（为常数且，）.（4）判断方法：定义法：（）；（证明方法）等比中项法：；（证明方法）通项公式法：前项和公式法：或.（5）常用性质：如果数列是等比数列（），特别地，当为奇数时，.等比数列的前项和为，满足成等比数列（其中均不为0）.（6）等比数列的单调性设等比数列的公比为，当或时，为递增数列；当或.（7）等差与等比数列的转化若为正项等比数列，则为等差数列；若为等差数列，则为等比数列；若为等差数列又等比数列是非零常数列.题型一 等比数列的基本运算典例1.（1）(2017潍坊高中高二期中)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()a b2 c2 d.【答案】d【解析】由题意知q3，q. 选d. （2）（2017银川一中高二期末）设是公比为负数的等比数列， ， ，则（ ）a. 2 b. -2 c. 8 d. -8【答案】a（3）（2017莆田一中月考）等比数列的前项和为，已知， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选c.（4）（2017宝鸡模拟）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为 里【答案】6（5）(2017青岛模拟)已知等比数列an中，a22，a5128.(1)求通项an；(2)若bnlog2an，数列bn的前n项和为sn，且sn360，求n的值【答案】（1）an22n3. （2）n20【解析】(1) 设an的公比为q，由a22，a5128，及a5a2q3，得1282q3，所以q4，所以ana2qn224n222n3.(2) 因为bnlog222n32n3，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以snn(1)2n22n，令n22n360，得n120，n218(舍)，故n20为所求解题技巧与方法总结解决等比数列有关问题的常见思想方法1方程的思想；等比数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解2数形结合的思想通项ana1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，点(n，an)是曲线yqx上一群孤立的点3分类讨论的思想当q1时，an的前n项和snna1；当q1时，an的前n项和sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考点，也是易错点【变式训练】（1）（2017阜阳高中高二期末）已知数列为等比数列，若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意可得： .选c. （2）（2017佛山模拟）已知正项等比数列中， 为其前项和，且则（ ）a. b. c. d. 【答案】b（3）（2017南昌一中高二期末）已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题得；，选d。（4）（2017唐山高中联考）观察数组： ， ， ， ， ，则的值不可能为（ ）a. 112 b. 278 c. 704 d. 1664【答案】b【解析】观察数组可知数列 为以-1为首项，2为公差的等差数列，数列 为以1为首项，2为公比的等比数列， ，当 时， 分别等于a、c、d。故选b。（5）（2017甘肃天水一中月考）一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂.【答案】7776【解析】第天归巢后，蜂巢中共有只蜜蜂，（6）（2017天津师大附中高二期中）已知单调递减的等比数列满足：，且是，的等差中项，则公比 ，通项公式为 .【答案】，.（7）（2017烟台三中月考）在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列.（）求等比数列的通项公式；（）若数列满足，数列的前项和为，求证：.【答案】（）；（）见解析【解析】（）设数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，所以，解得或，因为，所以，所以数列的通项公式为.（）证明：因为，所以，所以，相减得；.因此.知识链接： 知识点1等比数列的有关概念定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为q. 知识点2等比数列的有关公式1通项公式：ana1qn1amqnm.2前n项和公式：sn注意；在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，与等差数列不同题型二等比数列的判定与证明典例2.(1)(2017四川泸州联考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()aa1，a3，a9成等比数列 ba2，a3，a6成等比数列ca2，a4，a8成等比数列 da3，a6，a9成等比数列【答案】d （2）（2017石嘴山一中期末）在数列中，对任意，都有，则等于（ ）a. 2 b. 4 c. d. 【答案】d【解析】因为数列中，对任意，都有，所以，数列是公比为 的等比数列， ，故选d. （3）（2017安徽铜陵一中月考）已知数列的前项和为,则( )a. b. c. d. 【答案】d（4）（2017开封模拟）若数列满足，且，则 _ _.【答案】12【解析】由题，所以数列是等比数列，公比为10，所以；（5）（2017衡水金卷）已知数列满足，若，则的最大值为_【答案】【解析】由题意可得： ，即： ，整理可得： ，又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列， ，则： ,很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，则的最大值为.（6）(2014全国高考课标)已知数列an满足a11，an13an1.证明：是等比数列，并求an的通项公式；证明：0，b1.考点：等比中项的性质12.（2017湖南衡阳模拟）设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.【答案】11【解析】设等比数列an的公比为q，因为8a2a50，所以8a1qa1q40.q380，q2，11.考点：等比数列的基本运算13.（2017开封模拟）在各项均为正数的等比数列中， ，数列的前项积为，若，则的值为_【答案】5考点：等比数列性质的应用14.（2017湖北襄阳模拟）的内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则【答案】【解析】若成等比数列，所以 考点：余弦定理及等比数列15.（2017苏州模拟）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1，2进行 “扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；. 设第次“扩展”后所得数列为，并记，则数列的通项公式为_.【答案】考点：新定义问题及等比数列16.（2017银川模拟）在正项等比数列中，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前10项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（）由等比数列的性质易得，计算出，故可得通项公式；（）由（）可计算出的通项公式，由等差数列前项和公式可得结果.解：（）依题意有：，解得：，于是：（舍负），于是：数列的通项公式是.（）依题意有：，于是.考点：等比数列的基本运算及数列的求和。17. (2017宝鸡模拟)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式【答案】（1）见解析（2）an2(2)n13n(考点：等比数列的定义及运算。18.（2017石家庄一中模拟）已知数列的前项和.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（）因为，当时，两式相减得：，因为也满足综上，（），则数列的前项和，两式相减得：，化简得：考点：“”与“”的关系及错位相减法。19.（2017浙江台州模拟）已知数列和满足，若为等比数列，且，（1）求与；（2）设（），记数列的前项和为，（i）求；（ii）求正整数，使得对任意均有【答案】（1）,； （2） （i）；（ii）（2）（i）数列是等比数列，又因为，所以，求数列的前项和为时先分组，再用等比数列的求和公式及裂项相消法求之即可；（ii）由数列的通项公式可知，当时，所以的最大值为，故使成立的正整数解：（1）由题意，可知，所以可得，又由，得公比（舍去）所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为考点：1.等差、等比数列的定义及性质；2.等差、等比数列的求和公式；3.裂项相消法求和；4.数列与不等式20（2017长沙模拟）函数，记为的从小到大的第个极值点。（i）证明：数列是等比数列；