高考数学二轮复习 考前专题七 概率与统计 第1讲 排列、组合、二项式定理讲学案 理.doc

第1讲排列、组合、二项式定理1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查2二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘例1(1)(2017东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有()a20种b21种c22种d24种答案b解析分类讨论当广告牌没有蓝色时，有1种结果；当广告牌有1块蓝色时，有c6(种)结果；当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有c10(种)结果；当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有c4(种)结果；由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌根据分类加法计数原理有1610421(种)结果故选b.(2)(2016全国)如图，小明从街道的e处出发，先到f处与小红会合，再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()a24 b18c12 d9答案b解析从e到f的最短路径有6条，从f到g的最短路径有3条，所以从e到g的最短路径为6318(条)，故选b.思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()a18种b24种c36种d48种答案c解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有aa12(种)，若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有aa12(种)，若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有ac6(种)，若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有a6(种)，根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种故选c.(2)(2017江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是()a24 b32c48 d84答案a解析首先安排文科学生，文科两个班的学生有a种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有aa种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为aaa24(种)故选a.热点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同例2(1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的a，b，c，d四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中a户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()a18种b24种c36种d48种答案b解析若a户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有c2212(种)方法，若a户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有c2212(种)，所以共有121224(种)方法，故选b.(2)(2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)答案1 080解析当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为cca960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为a120.故符合题意的四位数一共有9601201 080(个)思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”跟踪演练2(1)(2017兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()aa种ba种caaa种daa种答案d解析先排美、俄两国领导人，方法有a种，剩下18人任意排有a种，故共有aa种不同的站法(2)(2017广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有()a25种b60种c90种d150种答案d解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有a90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有ca60(种)分配方法，共有9060150(种)分法，故选d.热点三二项式定理(ab)ncancan1bcankbkcbn，其中各项的系数c(k0,1，n)叫做二项式系数；展开式中共有n1项，其中第k1项tk1cankbk(其中0kn，kn，nn*)称为二项展开式的通项公式例3(1)(2017河南省普通高中质量监测)(32xx4)(2x1)6的展开式中，含x3项的系数为()a600 b360c600 d360答案c解析依题意，由排列组合知识可知，展开式中x3项的系数为3c23(1)32c22(1)4600.故选c.(2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xr)，则a12a23a34a42 016a2 0162 017a2 017等于()a2 017 b4 034c4 034 d0答案c解析因为(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xr)，两边同时求导可得22 017(12x)2 016a12a2(x1)2 016a2 016(x1)2 0152 017a2 017(x1)2 016 (xr)，令x0，则22 017a12a22 016a2 0162 017a2 017 (xr)4 034，故选c.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法跟踪演练3(1)(2017全国)(1x)6的展开式中x2的系数为()a15 b20 c30 d35答案c解析因为(1x)6的通项为cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1cx2和cx4.因为cc2c230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选c.(2)(2017吉林调研)n的展开式中，各项系数之和为a，各项的二项式系数之和为b，若32，则n等于()a5 b6c7 d8答案a解析令x1，得各项系数之和为a4n，二项式系数之和为b2n，故32，解得n5，故选a.真题体验1(2017全国改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种答案36解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为cca36(种)，或列式为ccc3236(种)2(2016上海)在n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_答案112解析2n256，n8，通项ckc(2)k，令k2，则常数项为c(2)2112.3(2017浙江)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.答案164解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4cc2cc2216.a5是常数项，由二项式的展开式得a5cc224.4(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有c种方法；再选3名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法由分步乘法计数原理，知共有cca480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法由分步乘法计数原理知，共有ca180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法方法二不考虑限制条件，共有ac种不同的选法，而没有女生的选法有ac种，故至少有1名女生的选法有acac840180660(种)押题预测1某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()a8种b16种c18种d24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点答案a解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有a种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有a种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有a种根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有aaa8(种)故选a.2为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()a60 b120c240 d360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类答案d解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有c种，其余5名分成一人组和四人组有ca种，共cac20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有cca40(种)，则第一种情况共有204060(种)(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有ccac40(种)，王教练分配到三人组有ccca120(种)，王教练分配到两人组有ccca80(种)，所以第二种情况共有4080120240(种)(3)对于第三种情况，共有cccc60(种)综上所述，共有6024060360(种)分配方案3设(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a56a67a7的值为()a14 b7c7 d14押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性答案a解析对已知等式的两边求导，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.故选a.4(12x)10的展开式中系数最大的项是_押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力答案15 360x7解析设第k1项的系数最大，由通项公式tk1c2kxk，依题意知tk1项的系数不小于tk项及tk2项的系数，即解得所以k，即k7.故最大的项为t8c27x715 360x7.a组专题通关1在(21x)n的二项展开式中，若第四项的系数为7，则n等于()a9 b8c7 d6答案b解析t31c()n33c，c7，c5656，解得n8，故选b.25名学生进行知识竞赛笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()a54 b72c78 d96答案c解析由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有a24(种)，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有a6(种)，故有63354(种)，所以一共有245478(种)3(2017届四川省成都市九校模拟)某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()a60 b40c120 d240答案a解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有3(种)不同的分法；再将两组安排在其中的两个部门，共有3a60(种)不同的安排方法，故选a.4(2017届江西省重点中学盟校联考)将a，b，c，d，e这5名同学从左至右排成一排，则a与b相邻且a与c之间恰好有一名同学的排法有()a18种b20种c21种d22种答案b解析当a，c之间为b时，看成一个整体进行排列，共有aa12(种)，当a，c之间不是b时，先在a，c之间插入d，e中的任意一个，然后b在a之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有caa8(种)，所以共有20种不同的排法5(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()a80 b40 c40 d80答案c解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为c2240，x3y3y(x3y2)，其系数为c2380.所以x3y3的系数为804040.故选c.6(2017届河北省唐山市模拟)若(1x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|等于()a1 b513c512 d511答案d解析令x0，得a01，令x1，得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291511.7(2017浙江省台州市一模)已知5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为()a270x1b270xc405x3d243x5答案b解析令x1 ，(a1)532，解得a3，即5中共有6项，其中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为c(3x)5243x5，c(3x)32270x，c(3x)4，所以系数最大的项为270x，故选b.8(2017届安徽省黄山市模拟)中国诗词大会(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()a144种b288种c360种d720种答案a解析将进酒、望岳和另确定的两首诗词进行全排列共有a种排法，满足将进酒排在望岳的前面的排法共有种，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在4个空里(最后一个空不排)，有a种排法，将进酒排在望岳的前面、山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有a144(种)，故选a.9(2017黑龙江省虎林市模拟)2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案有_种答案65解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有333381(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街每人有2种选择方法，则4人一共有222216(种)情况，故哈西站一定要有人去的游览方案有811665(种)10(2017届云南省曲靖市第一中学月考)若(12x)2 017a0a1xa2 017x2 017(xr)，则的值为_答案1 解析令等式中的x0，得a01；再令x，得a00，所以a01.11(2017浙江省杭州市二模)若n的展开式中所有二项式系数和为64，则n_；展开式中的常数项是_答案6240解析由二项式定理性质可知，二项式系数和为2n64，所以n6，则原式为6，根据二项展开式可知通项公式为tk1c(2x)6kkc(1)k26kx63k，令k2，则t3c24240，所以展开式中的常数项为240.12(2017湖北省六校联考)把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为_答案1 200 解析(1234)a1 200(种)b组能力提高13.6的展开式中，x6的系数为()a2