中考数学复习 专题15 正比例函数和一次函数图象、性质及其应用试题（B卷含解析）.doc

正比例函数和一次函数图象、性质及其应用一、选择题1. （ 安徽，9，4分）一段笔直的公路ac长20千米，图中有一处休息点b,ab长15千米.甲、乙两名长跑爱好者同时从点a出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点b，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点c；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点c.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ）【答案】a.【逐步提示】甲的运动状况要分三种情况进行讨论，即：（1）甲以15千米/时的速度匀速跑至点b，（2）原地休息半小时后，（3）再以10千米/时的速度匀速跑至终点c；而乙的运动虽只有一种情况，但注意乙到达终点时甲还没有到达终点，从而做出正确的选择.【详细解答】解：甲的运动状态分三种情况：（1）从点a到点b，速度是15千米/时，路程是15千米，所用时间为1小时，函数的图象是一条线段，两个端点坐标为（0,0）和（1,15）；（2）在点b处休息半小时，函数图象是平行于x轴的线段，另一个端点的坐标是（，15）；（3）从点b到终点，图象也是一条线段，端点坐标为（，15）和（2,20）.反映乙的运动的函数图象是一条线段，端点坐标为（0,0），（，20）.符合题意的只有a，故选择a .【解后反思】行程问题中的数量关系是：路程=速度时间，在分析行程问题有关的问题时要抓住这个关系，并结合运动时间进行分类讨论，做到不重复、不遗漏，从而对反映运动状态的函数图象做出正确的判断.【关键词】函数的图象，分段函数，分类讨论2. （广东省广州市，8，3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）aab0 bab0 ca2b0 dab0【答案】c【逐步提示】利用一次函数的图象与性质，根据条件“图象经过第一、二、四象限”可先得到字母a，b的正负，然后结合不等式的性质逐一对各选项进行正误判别，即得正确结果【详细解答】解：一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，a0，b0，a20，则a2b0，选项c正确由a0，b0，可得ab0，ab0，又因a，b的绝对值大小不确定，所以ab的正负无法确定，因此，选项a、b、d均错误故选择c 【解后反思】（1）一次函数y=kx+b(k0)的图象是不平行于x轴的一条直线，可以通过平移直线y=kx(k0)得到一次函数y=kx+b(k0)中，k的符号决定着函数的增减性，b的符号决定着直线与y轴的交点位置一次函数的主要性质如下表：k的符号增减性b的符号所在象限k0y随x的增大而增大b0第一、二、三象限b0第一、三、四象限k0y随x的增大而减小b0第一、二、四象限b0第二、三、四象限（2）不等式的性质：性质1 不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变【关键词】一次函数的图象和性质；不等式的性质3. （ 河北省，5，3分）若k0，b0，则y=kx+b的图象可能是（ ）【答案】b【逐步提示】由k0可知y=kx+b属于一次函数，由b0可知其与y轴交于负半轴，由此判断出符合要求的图像.【详细解答】解：对于y=kx+b，当x=0时，y=b，即y=kx+b的图像与y轴的交点为（0，b），当b0时，（0，b）在x轴下方，故y=kx+b的图像为选项b.【解后反思】一次函数的图象及性质如下表所示：一次函数ykxb（k0）k、b符号k0k0b0b0b0b0b0b0图象xyoxyoxyoxyoxyoxyo性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【关键词】 一次函数y=kx+b的图像位置与k，b的关系4. （ 湖南省郴州市，7，3分）当b0时，一次函数yxb的图象大致是（ ） a. b. c. d.【答案】b【逐步提示】本题考查的是一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象及性质根据k10知y随x的增大而增大，b0知直线与y轴的交点在y轴的负半轴【详细解答】解：一次函数yxb，其中k10，而已知b0，图象经过第一、三、四象限故b选项正确，故选择b .【解后反思】一次函数的图象和性质：k0，b0时，图象经过第一、二、三象限；k0，b0时，图象经过第一、三、四象限；k0，b0时，图象经过第一、二、四象限；k0，b0时，图象经过第二、三、四象限同时k0，y随x的增大而增大，k0，y随x增大而减小此题容易出错的地方是将一次函数的性质记错【关键词】 一次函数的图象和性质；5. （湖南湘西，16，4分）一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限【答案】c【逐步提示】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的图像特征根据k，b的取值画出一次函数图象即可得出答案【详细解答】解：k=20，b=30，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、四象限，不经过第三象限故选择c .【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能根据一次函数中k，b的取值范围来确定一次函数的位置一次函数y=kx+b的图象特征：当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；当k0，bo时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；当ko，b0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；当ko，bo时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）【关键词】一次函数的性质6.(湖南省岳阳市，8，3)对于实数a，b，我们定义符号maxa，b的意义为：当ab时，maxa，b=a；当ab时，maxa，b=b；如max4，-2=4，max3，3=3.若关于x的函数为y=maxx+3，-x+1，则该函数的最小值是 ( ) a. 0 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b【逐步提示】先阅读题意，了解定义符号maxa，b的意义，再根据x+3、-x+1的大小关系确定自变量x的取值范围，从而确定函数的最小值。【详细解答】当x+3-x+1，即x-1时，y=x+3，其最小值为2；当x+3-x+1，即x-1时，y=-x+1，y2，没有最小值，所以该函数的最小值是2. 故选择b【解后反思】阅读理解题的解题思路是阅读-理解-应用所给的新知识、新方法解题。解答时，需要综合应用所学的数学知识。【关键词】阅读理解题；一次函数及其性质；分类讨论7. （江苏省无锡市，9，3分）一次函数与的图像之间的距离等于3，则b的值为（ ）a2或4b2或4c4或6d4或6【答案】c【逐步提示】本题考查了一次函数的平移和相似的性质，解题的关键是将两直线之间的距离转化为两直线竖直方向或水平方向的距离本题的思路是先画出的图像，构造辅助线，将两直线之间距离转化为竖直方向的距离，将这个问题转化为直线上下平移的问题【详细解答】解：设的图像与x轴、y轴交点分别为c、b，则b(0，1)，c(，0)，与的图像之间的距离等于3，那么可能在上面，也可能在下面，设与y轴交于点a，过点a作bc的垂线，交直线bc于点e，则ae3，且aebcob，ab5，所以可看作由向上或向下平移5个单位得到，所以b的值为4或6故选择c .【解后反思】直线不管向哪个方向平移，最好转化为直线上下平移或左右平移的问题，而函数图像平移规律是“上加下减，左加右减”本题几种转化方法可参考下图【关键词】一次函数的平移；相似三角形的判定；转化思想；8. （ 镇江，16,3分）已知点p（m,n）是一次函数y=x1的图像位于第一象限部分上的点，其中实数m,n满足（m2）24mn(n2m)=8,则点p的坐标为（ ） a.（，） b. （，） c. （2，1） d. （，）【答案】d.【逐步提示】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是确定m+n的符号.结合条件转化为关于实数m,n的方程组求出m,n的值【详细解答】解：因为（m2）24mn(n2m)=8,整理得m2+2mn+n2=4，即(m+n)2=4，因为p（m,n）是一次函数y=x1的图像位于第一象限部分上的点，所以m+n=2，又p（m,n）在一次函数y=x1的图象上，所以n=m-1,联合m+n=2解得，m=，n=，因此点p的坐标为（，），故选择d .【解后反思】通常把已知点的坐标作为自变量和函数的对应值代入函数表达式，建立方程（组）求解.本题容易出错的地方是忽视条件“点p（m,n）是一次函数y=x1的图像位于第一象限部分上的点”而得到m+n=2.【关键词】 一次函数；完全平方公式；因式分解；整式乘法；整式加减；二元一次方程组9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （甘肃兰州，20，4分）对于个矩形abcd及m给出如下定义，在同平面内，如果矩形abcd的四个顶点到m上一点的距离相等，那么称这个矩形abcd是m的“伴侣矩形”如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=交x轴于点m，m的半径为2，矩形abcd沿直线l运动（bd在直线l上）bd=2，aby，当矩形abcd是m的“伴侣矩形”时，点c的坐标为_【答案】或【逐步提示】第一步，根据一次函数解析式求出直线l与x轴、y轴交点坐标及它们到原点的距离，借助锐角三角函数定义进一步求mpo的度数，由aby轴得到bcx轴；第二步，因为只有矩形两对角线的交点到矩形四个顶点的距离相等，而m交直线l于e、f两点，故分矩形两对角线的交点与e重合和与f重合两种情况分类讨论；第三步，矩形abcd沿直线l运动到两对角线交点与e重合时，借助平行线性质与互余关系求得ebc与bmn度数，从而可证ebc是等边三角形，求得bc的长；第四步，借助解直角三角形求得bn、mn的长，再由点m的坐标通过适当平移求得c的坐标；第六步，矩形abcd沿直线l运动到两对角线交点与f重合时，与“第三步”、第四步类似方法可求得c的坐标，从而归纳得到答案答图1 答图2【详细解答】解：易知直线y=与x轴交点m的坐标为（，0），与y轴交点p的坐标为（0，-3），所以op=3，dm=，在rtpom中，tanmpo=，所以mpo=30，因为aby轴，x轴y轴，所以abx轴，矩形abcd中，abc=90，所以abbc，所以bcx轴设y=与m交于e、f两点，其中e在第一象限，f在第四象限，因为只有矩形两对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，所以，矩形abcd沿直线l运动到两对角线交点与e重合时（见答图1），矩形abcd是m的“伴侣矩形”此时，延长ab交x轴于n，因为aby轴，所以nbm=mpo=30，因为abx轴，所以bnm=90，bmn=90nbm=60，因为bcx轴，所以ebc=bmn=60，矩形abcd中，be=bd=1，ce=ac，bd=ac=2，所以be=ce=1，所以ebc是等边三角形，所以bc=be=1，所以bm=mebe=2-1=1，在rtbmn中，nbm=30，所以mn=bm=，bn=，又m的坐标为（，0），所以m向右移动mn的长再向上移动bn的长得b的坐标为（，），点b再向右移动bc长得c的坐标为（，）；矩形abcd沿直线l运动到两对角线交点与f重合时（见答图2），矩形abcd是m的“伴侣矩形”此时，延长ab交x轴于n，因为aby轴，所以nbm=mpo=30，因为abx轴，所以bnm=90，bmn=90nbm=60，因为bcx轴，所以fbc=bmn=60，矩形abcd中，bf=bd=1，cf=ac，bd=ac=2，所以bf=cf=1，所以fbc是等边三角形，所以bc=bf=1，所以bm=mfbf=21=3，在rtbmn中，nbm=30，所以mn=bm=，bn=，又m的坐标为（，0），所以m向左移动mn的长再向下移动bn的长得b的坐标为（，-），点b再向右移动bc长得c的坐标为（，-），综合以上两种情况，故答案为或.【解后反思】本题是 “矩形的对角线在过已知圆圆心的直线上移动”为背景的阅读理解题，解题的关键是理解“伴侣矩形”含义，明确“到矩形四个顶点距离相等点是矩形对角线的交点”，从而知道符合条件的情况有两种，需分类讨论来求解另外，利用已知点坐标通过适当平移来求点的坐标，体现了变换思想的运用.【关键词】 一次函数；矩形的性质；圆；解直角三角形；分类讨论思想；转化思想2. （湖北省荆州市，14，3分）若点m（k1，k1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y（k1）xk的图象不经过第 象限【答案】一【逐步提示】先根据关于y轴的对称点特征可列不等式组，解得k的取值范围，再根据一次函数的一次函数的性质与图像即可结果【详细解答】解：根据题意得 ，解得 ，一次函数y（k1）xk， ，函数图象经过第二、三、四象限，所以不经过第一象限，故答案为一.【解后反思】（1）本题考查关于y轴的对称点特征和象限坐标特征；（2）本题考查了一次函数的性质一次函数y=kx+b的图象有四种情况：当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小【关键词】象限坐标特征；一元一次不等式组；关于y轴对称点特征；一次函数的图像性质3. 4. （ 湖南省益阳市，9，5分）将正比例函数的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限【答案】四 【逐步提示】考查函数图象的平移，可直接根据平移规律即得，或先得出将正比例函数的图象向上平移3个单位后解析式，然后根据一次函数的性质和图象即得【详细解答】解：法一：因为正比例函数的图象分布在第一、三象限，将正比例函数的图象向上平移3个单位后必经过一、二、三象限；法二：正比例函数的图象向上平移3个单位后变为：，图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为四 .【解后反思】一次函数ykx+b的图象是一条直线，直线ykx沿竖直方向上下平移|b|个单位长度得到直线ykx+b即当b0时，向上平移；当b0时，向下平移.归纳起来就是这样一个原则：“上加下减，左加右减”.【关键词】函数图象的平移；一次函数的图象5. (湖南省永州市，19，4分)已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所能取到的整数值为_【答案】1【逐步提示】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键在于能根据一次函数图象的性质列出不等式组求解对于一次函数，图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，则有b0；函数值y随x的增大而减小，则有k0 ，据此列不等式组求解【详细解答】解：根据题意得，解得，所以k=1，故答案为1【解后反思】一次函数的图象与性质：k、b的符号k0 ，b0k0 ，b0k0 ，b0k0，b0图像的大致位置经过象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限性质y随x的增大而增大 y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小【关键词】一次函数的图象；一次函数的性质17. 6.（山东省德州市，17，4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l1、l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点a1，过点a1作y轴的垂线交l2于点a2，过点a2作x轴的垂线交l1于点及a3，过点a3作y轴 的垂线交l2于点a4，依次进行 下去，则点a2017的坐标为 。【答案】【逐步提示】(1)先根据题意找到点的循环规律：每四个点一循环，因为20174=504余1所以第2017个点在第一象限；(2)再根据点的坐标规律，发现第一象限内点的横坐标是以2为底数，指数是序号减一的一半，所以很容易得到第2017个点的横坐标是21008，进而得到其纵坐标为21009，可得a2017的坐标为.【详细解答】解：由题意可知：a1点的横坐标为1，把x=1代入l1：y=2x得，y=2，a1（1，2）；把y=2代入l2：y=-x得，x=-2, a2（-2，2）；把x=-2代入l1：y=2x得，y=-4，a3（-2，-4）；把y=-4代入l2：y=-x得，x=4, a4（22，-22）；依次类推可得，a5（22，23），a6（-23，23），a7（-23，-24），a8（24，-24）， 由此可知：每四个点一循环，20174=5041，a2017在第一象限，其横坐标为21008，把x=21008代入l1：y=2x得，y=21009， ，故答案为 .【解后反思】（1）本题属于找规律的题目，这类问题在选择填空的最后一题中出现的频率较高，计算量大，需要仔细认真的计算和严密的逻辑思维能力；（2）当然，把此类问题放在坐标系中，符号的正负也是关键；（3）在解决找规律问题时，一般需要多计算几个点才能正确的找到数字中蕴含的规律。【关键词】一次函数的图像性质；规律探索型问题；坐标与点；探索点的坐标变化规律；特殊与一般思想7. （ 镇江，11,2分）如图1，o的直径ab=4cm，点c在o上，设abc的度数为x（单位：度，0x90）,优弧的弧长与劣弧的弧长的差设为y(单位：厘米)，图2表示y与x的函数关系，则a= 度 .【答案】22.5【逐步提示】本题考查了弧长公式及一次函数的图像，解题的关键是熟记弧长公式先用x表示优弧的弧长与劣弧的弧长，再求它们的差，从而表示出y，最后把点（a,3）代入关系式求出a的值.【详细解答】解：连结oc，abc=x，aoc=2x，,boc=（180-x）。.把点（a,3）代入,得，解得a=22.5. 故答案为 22.5.【解后反思】（1）弧长的计算公式是l=，其中n是圆弧所对的圆心角大小，r是圆弧所在圆的半径，要运用公式首先要找准圆心，找对半径.（2）一个点在函数的图像上，则这个点的坐标满足函数关系式.【关键词】弧长；数形结合；待定系数法8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （ 甘肃省天水市，24，10分）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成 ，约定这批粽子的出厂价为每只4元为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系（1）（3分）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）（7分）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本）ox（天）p（元/只）32919【逐步提示】本题是分段函数应用题，考查了一次函数和二次函数在实际生活中的应用，需要利用一次函数和二次函数的增减性求最值，解题的关键是读懂题目信息，列出函数关系式具体地，（1）把y260代入，解方程即可求得（2）根据图像，运用待定系数法求得p与x之间的函数表达式，然后根据“利润出厂价成本”得“w(4p)y”，分情况代入数或式整理即得w与x之间的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的增减性求解最大利润【详细解答】解：（1）将y260代入y32x，得26032x，解得x此时，x值不满足0x5，故这种情况不存在5x19时，则有20x60260，解得x10李红第10天生产的粽子数量为260只（2）由图可知p12(0x9)设p2kxb(9x19)，将(9，2)，(19，3)代入，得，解得p20.1x1.1(9x19)当0x5时，w(42)32x64x，由一次函数的性质，知当x5时，w最大320当5x9时，w(42)(20x60)40x120，由一次函数的性质，知当x9时，w最大480当9x19时，w4(0.1x1.1)(20x60)2x252x1742(x13)2512，由二次函数的性质，知当x13时，w最大512w与x之间的函数表达式为，由320480512，知第13天时利润最大，最大利润是512元【解后反思】此题第（1）问不难，难在解答第（2）问，需要分情况讨论根据已知条件中的0x5，5x19，及由函数图像分析得出的0x9，9x19这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0x5，5x9，9x19这三种利润计算情况【关键词】解一元一次方程；一次函数的图像与性质；实际问题；二次函数的表达式；二次函数的性质；分类讨论思想；数形结合思想；方程与函数思想；待定系数法；配方法2. （广东省广州市，23，12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3与x轴交于点c，与直线ad交于点a(，)，点d的坐标为（0，1）（1）求直线ad的解析式；（2）直线ad与x 轴交于点b，若点e是直线ad上一动点（不与点b重合），当bod与bce相似时，求点e的坐标a d c o x y 【逐步提示】（1）已知直线ad上的两点a，d的坐标，故可直接用待定系数法确定其解析式；（2）显然，需分bec为直角或bce为直角两种情况进行探讨，在利用比例式求解相关线段长度时，也可充分利用点e在直线ad上的条件，借助解析式计算坐标【详细解答】解：设直线ad的解析式为y=kx+b，把a(，)，d(0，1)代入，得解得直线ad的解析式为y=x+1（2）当y=0时，x+1=0，解得x=2b(2，0)，ob=2点d的坐标为（0，1），od=1由勾股定理，得bd=y=x+3与x轴交于点c，c(3，0)，oc=3bc=5如图，bod与bce相似，有两种情况：当bodbe1c时，有，即，解得be1=2，ce1=设点e1的纵坐标为h，根据三角形的面积公式，有bch=e1cbe1，即5h=2，h=2当y=2时，x+1=2，解得x=2e1 (2，2)当bodbce2时，ce2x轴，此时点e2的横坐标为3，纵坐标y=3+1=，e2 (3，)综上可知，当bod与bce相似时，点e的坐标为(2，2)或(3，)a b e2 e1 d c o x y 【解后反思】（1）确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，一般只需两个点的坐标即可（2）在平面直角坐标系中，很多几何图形与函数的综合题，最基本的方法就是由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标，这是解决该类问题最基本的途径，也是沟通解证思路的重要入手点在此前提下，再结合几何证明与函数解析式的确定等相关知识，逐步探寻解决问题的最终途径即可（3）当用语言表述两个三角形相似时，如本题中“bod与bce相似”，由于未指明两三角形的对应元素，故往往需要分类讨论全面获解，这与用相似符号表示不尽相同，应引起注意【关键词】确定一次函数的解析式；一次函数的图象和性质；点的坐标；相似三角形的判定与性质；勾股定理；待定系数法；分类讨论思想3. （ 河北省，24，10分）某商店能过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x（元）满足一次函数关系，如下表：第1个第2个第3个第4个第n个调整前单价x（元）x1x2=6x3=72x4xn调整后单价x（元）y1y2=4y3=59y4yn已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.（1）求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？（3）这n个玩具调整前、后的平均单价分别为，猜想与的关系式，并写出推导出过.【逐步提示】本题是一次函数与平均数的综合题，理解平均数的意义是解答第（3）问的关键.（1）已知y是x的一次函数及表格中x，y的对应值，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式，由“调整后的单价都大于2元”列出关于x的不等式，解不等式即可求得x的取值范围；（2）将x=108代入（1）中所求的函数表达式中求得y，进而可求得节省的钱数xy；（3）根据平均数的意义可知，再结合y=x1可求得与之间的关系式.【详细解答】解：（1）设y=kx+b，依题意，得x=6，y=4；x=72，y=59.解得y=x1.依题意，得x12，解得x，即为x的取值范围.（2）将x=108代入到y=x1，得y=1081=89.10889=19，省了19元.（3）.推导过程：由（1），.=.【解后反思】1. 已知函数类型及若干组自变量与函数的对应值时，一般用待定系数法求函数关系式；2.算术平均数(x1x2 x3xn)，其变形应用为：x1x2 x3xn=n.【关键词】 一次函数的表达式；自变量的取值范围；待定系数法；平均数4. （湖北省荆州市，22，9分）为更新果树品种，某果园计划购进a、b两个品种的果树苗栽植培育若计划购进这两种果树苗共45棵，其中a种树苗的单价为7元/棵，购买b种树苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，b种树苗的数量不超过35棵，但不少于a种树苗的数量请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用【逐步提示】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围对于最值问题，借助于一次函数的性质进行解答（1）观察电价y与月用电量x的函数图象有两段：当0x20时，图象经过（0，0）和（20，160）；当x20时，图象过（20，160）和（40，288）两点，利用待定系数法可以求得一次函数解析式.（2）设总费用为z（元），根据x在不同的范围内 z与用电量x之间的函数关系式，利用函数的相关性质得出函数的最小值，设计购买方案即可.【详细解答】解：（1）当0x20时，图象经过（0，0）和（20，160），设yk1x，把（20，160）代入，得16020k1，解得k18；当x20时，设yk2xb，把（20，160）和（40，288）代入，得，解得y与x的函数关系式是（其中x为整数）（2）依题意得，解得22.5x35，此时y6.4x32设总费用为z（元），依题意得zy7（45x）6.4x323157x0.6x347，0.60，z随x的增大而减小，22.5x35，且x为整数，当x35时，z最小，此时z0.635347326，45x10购买a种树苗10棵，b种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元【解后反思】用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设一次函数关系式；（2）利用待定系数法求出一次函数关系式；（3）确定自变量取值范围；（4）依据一次函数的性质确定相应的值，并看看是否符合实际意义【关键词】函数的应用；一次函数的表达式5. （ 湖北省十堰市，22，8分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本是80元/千克，销售单价不低于120元/千克，且不高于180元/千克，经销一段时间后得到如下的数据：销售单价x（元/kg）120130180每天销售量y(kg)1009570 设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系 (1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围; (2)当销售单价为多少时？销售利润最大？最大是多少？【逐步提示】本题主要考查用待定系数法确定一次函数的关系式，根据实际意义列二次函数的解析式（自变量的取值范围在某一范围），二次函数的性质的实际应用等.解答第（1）题的关键是从所给的数据关系中知道y与x是一次函数关系；解答第（2）问的关键是根据增减性及自变量的范围确定最大值.本题的解题思路：（1）可以用虚拟二次函数的方法确定y=ax2+bx+c的中a、b、c的值；（2）顶点不在自变量的取值范围内，不能用顶点的坐标确定其最大值.【详细解答】解：(1)y= -x+160 (120x180);(2)设销售利润为w元，则w=y(x-80)=(- +160)(x-80)即w=-x2+200x-12800=-(x-200)2+7200因为a=-0，所以,当x200时，w随x的增大而增大，又120x180,所以，当x=180时,w取最大值此时，w=-(180-200)2+7200=7000.所以，当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元.【解后反思】本题的重点是确定一次函数、二次函数的解析式，难点是第二步，根据增减性确定二次函数的最大值. 思路拓展：遇到规律性探究问题（第1小题实际是找数字之间的规律）,解决的途径主要有两个:一是显规律性问题,可以通过观察、分析、探究、归纳、检验找出规律；二是隐规律性问题，可以采用虚拟二次函数的方法，通过假设是二次函数（当然也包括一次函数）、确定二次函数、检验特殊值（这一步必不可少）等步骤找出其中的规律. 用虚拟二次函数的方法探究隐规律问题,只能解决其规律是二次函数(或一次函数)的问题,而对于那些非二次函数(或一次函数)的问题,此方法只能望尘莫及.方法拓展：虚拟二次函数求隐规律问题的解题步骤是: (1)找出四组对应值; (2)设出相应的二次函数,并用其中的三组值确定系数,求出相应的函数; (3)再用另一组值检验是否与题意相符; (4)做出答案.【关键词】一次函数的表达式；实际问题探究；二次函数的表达式；二次函数的性质；实际问题6.（湖北宜昌，19，7分）如图，直线与两坐标轴分别交于a，b两点（1）求abo的度数；（2）过点a的直线l交x轴正半轴于c，ab=ac，求直线l的函数解析式 【逐步提示】本题考查了三角函数及待定系数法求直线解析式，系数的关系，解答本题的关键是根据题意求解相关点的坐标，进而运用待定系数法求出函数表达式【详细解答】解：(1)对于y= x+,令x=0,则y= a的坐标为（0， ）ao=,令y=0,则x=-1 ，bo=1. 在rt boa 中，tanabo.abo= 60， (2)在rt bca 中，ac=bc，又aobcbo=coc点的坐标为（1，0）设直线l的函数解析式为y=kx+b，（k,b为常数）依题意有 解得直线l的函数解析式为y=-x+ 【解后反思】1.求一次函数解析式的基本方法就是待定系数法，当直线和30、45、60等特殊角度联系在一起时，其k值就是、1、等；2.本题采用了多种学生熟悉的几何图形组合在一起，如oba为一个锐角为30度的直角三角形，obc为等边三角形，因此熟悉和这些图形有关的一些常用结论对解题帮助很大.【关键词】待定系数法；一次函数；等边三角形；三角函数；7. （湖南省衡阳市，25，10分）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，abc的三个顶点坐标为a（，0）、b（，0）、c（0，3）.（1）求abc内切圆d的半径.（2）过点e（0，-1）的直线与d相切于点f（点f在第一象限），求直线ef的解析式.（3）以（2）为条件，p为直线ef上一点，以p为圆心，以为半径作p，若p上存在一点到abc三个顶点的距离相等，求此时圆心p的坐标. 【逐步提示】（1）先判断abc的形状：由a、b、c三点坐标可知abc为等边三角形，故cbo=60；第2步计算dbo的度数：因为点d是abc的内心，所以bd平分cbo，求得dbo的度数；第3步，然后利用锐角三角函数即可求出od的长度；（2）第1步利用切线性质及特殊角三角函数求出f点的坐标：根据题意可知，df为半径，且dfe=90，过点f作fg轴于点g，求得fg和og的长度，即可求出点f的坐标；第2步设出函数关系式并代入求解：设直线ef的解析式为：，将e和f的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法求出直线ef的解析式；（3）第1步先确定外接圆圆心：p上存在一点到abc三个顶点的距离相等，该点是abc的外接圆圆心，即为点d；第2步确定pf的长度：dp=，又因为点p在直线ef上，所以这样的点p共有2个，且由勾股定理可知pf=3；第3步构造直角三角形，求出p点坐标：当p在轴上方时，过点作m轴于m，利用特殊角三角函数值分别求出m、om的长度，即可确定点坐标；当p在轴下方时，过点作n轴于n，利用特殊角三角函数值分别求出n、on的长度，即可确定点坐标.【详细解答】解：（1）将连接bd，b（，0）、c（0，3），ob=，oc=3，cbo=60，点d是abc的内心，bd平分cbo，dbo=30，od=1，abc内切圆d的半径为1.（2）连接df，过点f作fg轴于点g，e（0，-1），oe=1，de=2，直线ef与d相切，dfe=90，df=1，def=30，gdf=60，在rtdgf中，dfg=30，dg=，由勾股定理可理得：gf=，f（，）,设直线ef的解析式为：，直线ef的解析式为：.（3）p上存在一点到abc三个顶点的距离相等，该点必为abc外接圆的圆心，由（1）知：abc为等边三角形，abc外接圆的圆心为点d，dp=，设直线ef与轴交于点h，令=0代入，=，h（，0），fh=，当p在轴上方时，过点作m轴于m，由勾股定理可求得：f=3，h=f+fh=，def=hm=30，hm=h=，m=5，om=2，（2，5）；当p在轴下方时，过点作n轴于n，由勾股定理可求得：f=3，h=f-fh=， def=30，ohe=60，令=-4代入，=-，（-，-4），综上所述，若p上存在一点到abc三个顶点的距离相等，此时圆心p的坐标为（2，5）或（-，-4）.【解后反思】(1)切线问题是中考的高频考点，一般涉及切线问题，首先连接过切点的半径，利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径做为切入点进行解答；(2)涉及三角函数问题时，通常把有关的角转化到直角三角形中求解【关键词】 三角形的内切圆与外接圆；圆的切线性质；锐角三角函数；一次函数；8. （ 湖南省怀化市，18，8分）已知一次函数y2x4.（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）求图象与x轴的交点a的坐标，与y轴的交点b的坐标；（3）在（2）条件下，求aob的面积；（4）利用图象直接写出：当y0时，x的取值范围.【逐步提示】此题考查一次函数的图象，一次函数与方程（组）或不等式的联系.(1)用描点法画出函数y2x4的图象即可； (2)求出x0时，y的值，可得交点b的坐标；求出y0时，x的值，可得交点a的坐标； (3)由交点a、b的坐标，得线段oa, ob，由三角形的面积公式可得aob的面积；(4) 当y0时，图象位于x轴的下方，交点a向左的部分为x的取值范围.【详细解答】解：(1)如图所示，（2）令x0，则y4；令y0，则x2；a（2，0），b（0，4）.（3）a（2，0，），b（0，4），oa2，ob4aob的面积oaob244 .(4) 由图象得，x的取值范围为x2. 【解后反思】此题考查一次函数的图象，一次函数与方程（组）或不等式的联系.解题的关键会求直线与坐标轴的交点坐标.本题中，由交点a、b的坐标，可得线段oa, ob的长，进而得aob的面积；由交点a的坐标，可判断x的取值范围.【关键词】 一次函数的图像；一次函数与方程（组）或不等式的联系9.（ 江苏省淮安市，26，10分）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠，优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中拆线oab表示y2与x之间的函数关系（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1，y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图像，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围【逐步提示】本题考查了一次函数的应用，求出各个分段内的函数解析式是解题的关键 （1）根据单价=，即可解决问题；（2）y1函数表达式=50+单价数量，y2与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决（3）画出函数图象后，当y1在y2下面时为选择甲采摘园所需总费用较少，由此求出自变量的取值范围【详细解答】解：（1）由图像可知，乙在时，未优惠当x=10时，y=300（2）因为甲需要购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠直线oa段：直线ab段：设直线ab段解析式为 ，解得： 所以y1与x的函数关系式为y1=18x+602与x的函数关系式为当直线y1与y2交于oa段时 18x+60=30x ， 解得 x=5 当直线y1与y2交于ab段时，18x+60=15x+150 解得： x=30所以当5x30时，选择甲采摘园的总费用最少【解后反思】一般来说，使用待定系数法有以下四步：（1）设按照所求函数类型，设出解析式，其系数是待定的；（2） 列把题目中提供的坐标代入所设解析式中，列出关于待定系数的方程或者方程组；（3）解解这个方程或方程组，得到待定系数的值；（4）代将第（3）步中求出的结果，代入第（1）步所设的解析式中，从而得到完整的函数解析式【关键词】一次函数的应用 ；待定系数法；10. （江苏省南京市，23，8分）下图中的折线abc 表示某汽车的耗油量y（单位：l / km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30x120）已知线段bc 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0002 l / km（1）当速度为50 km/h、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为 l / km、 l / km（2）求线段ab 所表示的y与x之间的函数表达式（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【逐步提示】本题考查了一次函数以及利用一次函数解决实际问题，解题的关键是根据题意求出函数的解析式（1）这是分段函数，读懂题意可以根据实际问题推断50 km/h、100 km/h 时耗油量；（2）根据图象由点（30，015）与（60，012）求出ab的所在直线的解析式；（3）求出ab与bc所在直线的解析式后，发现交点纵坐标最小，联立方程组即可得到最低耗油量【详细解答】解：（1）013，014 （2）设线段ab 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y