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板材成本控制问题【摘要】本文解决了板材成本控制问题即如何下料，并建立初等模型来进行求解，并用线性规划的方法计算最大用材数与长宽比的关系。确定切割成的用材数最大以及最大数与板材长宽比的关系。根据四个问题建立不等式，运用分类讨论，线性规划等方法综合求解，最终结果通过LINGO软件运行，并给出结果表达式。关于确定最大用材数与长宽比的关系，题设的要求是，即要求原板材的面积与每个用材的面积的比值在16和25范围之内。依据此要求，我们在四个问题中分情况讨论可能的下料方式。除了第一个问题讨论一种情况，其余问题分别各讨论三种下料方式，根据其中各个变量的关系来确定最大用材数与长宽比的关系。问题一：正方形，按照最规则的顺序排列，依据正方形的边长与原矩形长宽的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题二：圆形，分为四种下料方式，一是整齐排列，即将每个圆看成是一个正方形，简化了问题；二是错位排列，使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，这种方法材料利用率比第一种高；第三种是将第一二种结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列；第四种为不规则排列，用料较多舍弃。根据每个情况中圆半径原板材长宽之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题三：长宽比为2的矩形，也分为三种下料方式，一是把两个长方形当成是一个正方形来处理；二是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可以把两个长方形当成是正方形来处理（其结果相同），分为许多种小情况；第三种为不规则排列，用料浪费所以舍弃。根据每个情况中各个变量之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。 问题四：长宽比为的矩形，分为四种下料方式分析。第一种是长方形横排，第二种是长方形竖排，而第三种是第一二种的结合，第四种不规则排列浪费所以舍弃。根据各个关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。关键词：板材成本控制、初等模型、线性规划、分类比较目录1问题重述12问题分析12.1总体分析12.2问题一的分析12.3问题二的分析12.4问题三的分析12.5问题四的分析23符号说明24模型假设35模型建立35.2问题二模型的建立45.3问题三模型的建立85.4问题四模型的建立116模型求解及结果分析146.1问题一的模型求解及结果分析146.1.1问题一的模型求解146.1.2问题一的结果分析166.2问题二的模型求解及结果分析166.2.1问题二的模型求解166.2.2问题二的结果分析226.3问题三的模型求解及结果分析226.3.1问题三的模型求解226.3.2问题三的结果分析246.4问题四的模型求解及结果分析246.4.1问题四的模型求解246.4.2问题四的结果分析297模型的优缺点分析297.1模型优点297.2模型缺点298改进方向299参考文献291问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。考虑一块面积为A，长宽比为的板材。现在需要切割成面积为B的用材。，不妨假设为整数。请根据下列需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数与的关系。（1）用材为正方形，。（2）用材为圆形，。并给出可能的不同下料方式。（3）用材为矩形，长宽比为2，。并给出可能的不同下料方式。（4）用材为矩形，长宽比为，。并给出可能的不同下料方式。2问题分析2.1总体分析这四个问题有个共同的特点：都是求解如何下料使得切割的用材数最大以及最大用材数和板材长宽比的关系。不同点就是同一种下料方式不一定都适用于这四种情况。2.2问题一的分析就第一个问题而言，相对于其他三个较为简单。下料方式就是使正方形整齐排列来切割板材使得得到的用材数最大。其他的下料方式（例如斜着切割）会导致板材浪费较多。2.3问题二的分析就问题二来说，可分为四大种情况来考虑。第一种是让圆形整齐排列，关键在于把每个圆形当成一个正方形来处理，简化了问题。第二种是使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，关键在于找出板材长与宽分别与能放的圆的个数的关系，然后根据这关系来解决问题。第三种是前两种情况的结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列，这种情况包括了很多种小情况，比如先整齐排列后是间隔排列，或者整齐排列与间隔排列相互交错，针对每一种情况都有不同的解题方式。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。2.4问题三的分析就问题三来说，可分为四种情况来考虑。第一种是把长方形全部横放来处理，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形其中两个上下紧挨着的长方形可以看做是两个长方形竖着紧挨着摆放。第二种情况是把长方形竖着摆放，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形，其中两个左右紧挨着的长方形可以看做是两个横着上下紧挨着的长方形摆放。第三种情况是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可是把两个长方形当成是正方形来处理（其结果相同）都有即有许多种小情况，这种情况可以简化成先是横着排列再是竖着排列，其结果与这许多小情况结果形同。其边角料处理方法与第一种类似。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。2.5问题四的分析就问题四来说有四种情况，第一种是长方形横着整齐排列，排剩余的边角料部分判断是否可以竖着放进去长方形，分情况处理。第二种是长方形竖着排列，其方法与第一种类似。第三种是几排横着，几排竖着排列，可见其中有几种小情况，但都可简化为先横着排列在竖着排列的情况处理。第四种情况是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。3符号说明符号表示说明板材的面积用材的面积板材的宽板材的长宽比板材的长用材（正方形）边长用材（圆形）半径用材（矩形）宽用材（长宽之比为2的矩形）长用材（长宽之比为)长最大的用材数4模型假设1 假设不考虑刀具的厚度；2 假设不考虑在切割板材的过程中的损耗；3 假设不考虑板材厚度的影响；4 假设不考虑人为的损耗；5 假设不考虑切割工艺的不同；6 切割过程中不会出现机器故障等其他非正常故障。7 假设每次切割都准确无误。 5模型建立5.1问题一模型的建立作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材的长宽比，所以决策变量为,引入参数正方形的边长。决策者的目的是使用材数最大，根据问题一的分析,下料情况如图5.1所示 图5.1.正方形下料方式所以目标函数为（1）又因为板材面积与用材面积有关系 (2) (3) (4)所以有约束条件 (5)即 (6)另外有 (7)所以约束条件为 (6) (7) (8)5.2问题二模型的建立 作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材的长宽比，所以决策变量为,引入参数圆形的半径r,决策者的目的是使用材数最大。根据问题二的分析，第一种下料情况如图5.2.1所示 图5.2.1.圆形第一种下料方式所以目标函数为 (9)又因为板材面积与用材面积有关系 (2) (3) (10)所以 (11)即 (12)另外有 (7)所以约束条件为 (12) (7) (13) （14）第二种下料情况如图5.2.2所示 图5.2.2.圆形第二种下料方式 图5.2.2.圆形第二种下料方式所以针对图5.2.2,一共排的行数 (14)根据归纳分析得当为奇数时，即第一排最后一个圆大于半个圆但不是整圆，所以每一行的整圆的个数是相同的，第一行整圆的个数是，所以总共的用材数为,当为偶数时，第一排最后一个圆小于半个圆，奇数行的整圆的个数总比偶数行正圆的个数大1，第一行整圆的个数为，所以总共的用材数为。所以目标函数为(15)约束条件有 (12) (7) (13) （16）所以针对图5.2.2，同5.2.2处理方法，所以目标函数为(17)约束条件有 (12) (7) (13) （16） 第三种下料情况如图5.2.3所示图5.2.3.圆形第三种下料方式引进参数，整齐摆放的圆形的行数，相互错开紧密摆放的圆形的行数，由归纳分析得 （18）所在长上，整齐摆放的整个圆形的个数为；相互错开紧密摆放的整个圆中，偶数行摆放的整圆的个数为，若是 （19）则奇数行摆放的整圆的个数为，则目标函数为 （20）若是 （21）则奇数行摆放的整圆的个数为，则目标函数为 （22）所以目标函数为（23）约束条件为 （18） (12) (7) (13) （16）5.3问题三模型的建立作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材的长宽比，所以决策变量为，引入参数用材（矩形）宽,则长为,决策者的目的是使用材数最大。根据问题三的分析，第一种下料情况如图5.3.1所示 图5.3.1.长宽比为2的矩形第一种下料方式 所以目标函数为 (24)若是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即 (25)则还能放进个长方形，即 (26)若是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即 (27)所以此时 (24)因此目标函数为 (28)又因为板材面积与用材面积有关系 (2) (3) (29)所以 (30)即 (31)另有 (7) (32) (33)所以约束条件为 (31) (7) (32) (33)第二种下料情况如图5.3.2所示 图5.3.2.长宽比为2的矩形第二种下料方式同第一种情况，所以目标函数为 (34)约束条件为 (31) (7) (32) (33)第三种下料情况如图5.3.3所示图5.3.3.长宽比为2的矩形第三种下料方式引进参数，横着摆放矩形的行数，竖着摆放矩形的行数，则 （35）所以在长上，横着摆放的矩形个数为，竖着摆放的矩形个数为，所以目标函数 （36）若是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即 (25)则还能放进个长方形，即 （37）若是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即 (27)所以此时 （36）因此目标函数为（38）约束条件为 （35） (31) (7) (32) (33)5.4问题四模型的建立作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材的长宽比，所以决策变量为，引入参数用材（矩形）宽,则长为,决策者的目的是使用材数最大。根据问题四的分析，第一种下料情况如图5.4.1所示图5.4.1.长宽比为的矩形第一种下料方式所以目标函数为 (39)若是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即 (40)则还能放进个长方形，即 (41)若是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即 (42)所以此时 (39)因此目标函数为 (43)又因为板材面积A与用材面积B有关系 (2) (3) (44)所以 (45)即 (46)另有 (7) (47) (32) (48)所以约束条件为 (46) (7) (47) (32) (48)第二种下料情况如图5.4.2所示 图5.4.2.长宽比为的矩形第二种下料方式同第一种情况，所以目标函数为 (49)约束条件为 (46) (7) (47) (32) (48) 第三种下料情况如图5.4.3所示 图5.4.3.长宽比为的矩形第三种下料方式引进参数，横着摆放矩形的行数，竖着摆放矩形的行数，则 （49）所以在长上，竖着摆放的矩形个数为，横着摆放的矩形个数为，所以目标函数 （50）若是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即 (40)则还能放进个长方形，即 （51）若是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即 (42)所以此时 （50）因此目标函数为（52）约束条件为 （49） (46) (7) (47) (32) (48)6模型求解及结果分析6.1问题一的模型求解及结果分析6.1.1问题一的模型求解 根据问题一的模型，用LINGO求解最优解，程序代码如下所示，max=n*m;bnd(1,l,2);b0;a0;s=a2*l/b2;gin(s);s=16;s0;a0;s=a2*l/(PI()*r2);floor(s)=16;floor(s)0;a=2*r;s=a2*l/(PI()*r2);gin(s);s=16;s=25;d=a/r;gin(n);d=(n-1)*sqrt(3)+2;m=floor(d*l);g=mod(m,2);max=if(g#eq#0,m/2*n-floor(n/2),floor(m-1)/2*n);bnd(1,l,2);r0;a=2*r;s=a2*l/(PI()*r2);gin(s);s=16;s=25;d=a*l/r;gin(n);d=(n-1)*sqrt(3)+2;m=floor(d/l);g=mod(m,2);运行结果如图6.2.1.2所示 图6.2.1.2.问题二第二种下料方式运行结果 图6.2.1.2.问题二第二种下料方式运行结果所以，对于当,时最大，。对于当,时最大，。第三种下料方式程序代码如下所示max=if(mod(n,2)#eq#0,n/2*(m1+m2)-floor(m2/2),(n-1)/2*(m1+m2);bnd(1,l,2);r0;a=2*r;s=a2*l/(PI()*r2);gin(s);s=16;s=0;m2=0;n=floor(d*l);d=(m2-1)*sqrt(3)+2*m1+2;运行结果如图6.2.1.3所示 图6.2.1.3。问题二第三种下料方式运行结果所以，当,，时最大，。6.2.2问题二的结果分析 这三种方案进行比较，第一种方案切割的用材数最大，其他的下料方式（例如斜着切割）会导致板材浪费较多。所以，按照第一种切割方式切割较为合理，即按照第一种切割方式，当,时最大，。6.3问题三的模型求解及结果分析6.3.1问题三的模型求解 根据问题三的模型，用LINGO求解最优解，第一种下料方式程序代码如下所示，max=floor(c*d/2);bnd(1,l,2);b0;ab;gin(s);s=a2*l/(2*b2);s=16;s0;ab;gin(s);s=a2*l/(m*b2);s=16;s=25;gin(n);n=floor(d*l/m);d=a/b;c=floor(d/m);d*l/m-n=0;n0;运行结果如图6.4.1.1所示 图6.4.1.1问题四第一种下料方式运行结果所以，当，时最大，第二种下料方式程序代码如下所示，max=if(d/l-n*m#ge#0#and#d/l-n*m#lt#1,n*floor(d),n*floor(d)+c);bnd(1,l,2);bnd(1,m,2);b0;ab;gin(s);s=a2*l/(m*b2);s=16;s=25;gin(n);n=floor(d/l/m);d=a*l/b;c=floor(d/m);d/l/m-n=0;n0;运行结果如图6.4.1.2所示 图6.4.1.2.问题四第二种情况运行结果所以当，时最大，第三种下料方式程序代码如下所示，max=c*e+f*floor(c/m)+d*floor(a*l/b);bnd(1,l,2);bnd(1,m,2);