高中数学 第一章 立体几何初步 1.3.2 空间几何体的体积学案 苏教版必修2.doc

1.3.2空间几何体的体积1了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)(重点)2会求柱、锥、台和球的体积(重点、易错点)3会求简单组合体的体积及表面积(难点)基础初探教材整理1柱体、锥体、台体的体积阅读教材p56p58第8行，完成下列问题柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体v柱体sh(s为底面面积，h为高)，v圆柱r2h(r为底面半径)锥体v锥体sh(s为底面面积，h为高)v圆锥r2h(r为底面半径)台体v台体h(ss)(s，s分别为上、下底面面积，h为高)，v圆台h(r2rrr2)(r，r分别为上、下底面半径)1若正方体的体对角线长为a，则它的体积为_【解析】设正方体的边长为x，则xa，故x，va3.【答案】a32若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为_【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2r2，即r，故圆柱的体积为vr2h22.【答案】3如图136，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1v2_.图136【解析】设三棱柱a1b1c1abc的高为h，底面三角形abc的面积为s，则v1shshv2，即v1v2124.【答案】124教材整理2球的体积和表面积阅读教材p58p59例1，完成下列问题若球的半径为r，则(1)球的体积vr3.(2)球的表面积s4r2.1若球的表面积为36，则该球的体积等于_【解析】设球的半径为r，由题意可知4r236，r3.该球的体积vr336.【答案】362两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为_. 【导学号：41292051】【解析】22.【答案】19小组合作型多面体的体积如图137，已知在直三棱柱abca1b1c1中，aa1ac4，bc3，acbc，点d是ab的中点，求三棱锥a1b1cd的体积图137【精彩点拨】法一：va1b1cdv柱va1adcvb1bdcvca1b1c1.法二：利用等体积法求解，va1b1cdvca1b1d.【自主解答】aa1ac4，bc3，acbc，aba1b15.法一由题意可知va1b1c1abcsabcaa143424.又va1adcsabcaa1sabcaa14.vb1bdcsabcbb1sabcbb14.vca1b1c1sa1b1c1cc18，va1b1cdva1b1c1abcva1adcvb1bdcvca1b1c1244488.法二在abc中，过c作cfab，垂足为f，由平面abb1a1平面abc知，cf平面a1b1ba.又sa1b1da1b1aa15410.在abc中，cf.va1b1cdvca1b1dsa1b1dcf108.几何体的体积的求法1直接法：直接套用体积公式求解2等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到3分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体4补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体再练一题1如图138，在三棱锥pabc中，paa，abac2a，pabpacbac60，求三棱锥pabc的体积图138【解】abac，bac60，abc为正三角形，设d为bc的中点，连结ad，pd，作po平面abc.pabpac且abac，oad.作peab于点e，连结oe，则oeab.在rtpae中，peasin 60a，ae.在rtaeo中，oetan 30a.opa.又sabcbcada2.vpabcsabcopa3.旋转体的体积圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？ 【导学号：41292052】【精彩点拨】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题【自主解答】如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，于是s圆台侧(rr)l100(cm2)圆台的高hbc4(cm)，v圆台h(ss)4(1636)(cm3)求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形再练一题2.如图139，abc的三边长分别是ac3，bc4，ab5，以ab所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积图139【解】如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和ab5，底面半径dc，故s表dc(bcac)，vcd2dacd2bdcd2(dabd).探究共研型球的表面积和体积探究1如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为多少？【提示】v1v2827rr，r1r223，s1s2rr49.探究2一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？【提示】因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为5，故球的表面积为4r2425100.已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积【精彩点拨】正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径【自主解答】如图所示，设正四面体pabc的高为po1，球的球心为o，半径为r，则ao1aba.在rtpo1a中，po1a，在rtoo1a中，ao2aooo，即r222，解得ra.所以球的表面积s4r242a2，体积vr33a3.处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径再练一题3已知过球面上三点a，b，c的截面到球心的距离等于球半径的一半，且acbc6，ab4，求球面面积与球的体积【解】如图，设球心为o，球半径为r，作oo1平面abc于点o1，由于oaobocr，则o1是abc的外心，设m是ab的中点，由于acbc，则o1cm.设o1mx，易知o1mab，则o1a，o1ccmo1mx.又o1ao1c，x，解得x.o1ao1bo1c.在rtoo1a中，o1o，oo1a90，oar，由勾股定理得22r2，解得r，则s球4r254，v球r327.1已知一个长方体共顶点的三个面的面积为，这个长方体的对角线长是_【解析】设ab，bc，ac，则abc，c，a，b1.l.【答案】2体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【解析】设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4()212.【答案】123已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3. 【导学号：41292053】【解析】设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积v226636 cm3.【答案】364如图1310，在abc中，ab2，bc1.5，abc120，若将abc绕直线bc旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_图1310【解析