高中数学 第一章 解直角三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离和高度问题学业分层测评 新人教B版必修5.doc

距离和高度问题(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.为了测量b，c之间的距离，在河岸a，c处测量，如图126，测得下面四组数据，较合理的是()图126a.c与b.c与bc.b，c与d.b，与【解析】因为测量者在a，c处测量，所以较合理的应该是b，与.【答案】d2.轮船a和轮船b在中午12时同时离开海港o，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() a.50 n mileb.70 n milec.90 n miled.110 n mile【解析】到14时，轮船a和轮船b分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l70 (n mile).【答案】b3.如图127所示，长为3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁，木棒的一端a在离堤足c处1.4 m的地面上，另一端b在离堤足c处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()图127a.b.c.d.【解析】由题意，可得在abc中，ab3.5 m，ac1.4 m，bc2.8 m，且acb.由ab2ac2bc22acbccosacb，得3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .【答案】a4.如图128，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()图128a.8 km/hb.6 km/hc.2 km/hd.10 km/h【解析】设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.【答案】b5.如图129，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于()图129a.240(1)mb.180(1)mc.120(1)md.30(1)m【解析】tan 15tan(6045)2，bc60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选c.【答案】c二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长_千米.【解析】如图，bao75，c30，ab1，abcbaobca753045.在abc中，ac(千米).【答案】7.如图1210，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a，b，望对岸的标记物c，测得cab30，cba75，ab120 m，则河的宽度是_m.图1210【解析】tan 30，tan 75，又addb120，adtan 30(120ad)tan 75，ad60，故cd60.【答案】608.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点a开始做匀速直线运动，到达点b时，发现足球在点d处正以2倍于自己的速度向点a做匀速直线滚动，如图1211所示，已知ab4 dm，ad17 dm，bac45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距a点_dm的c处截住足球. 图1211【解析】设机器人最快可在点c处截住足球，点c在线段ad上，设bcx dm，由题意知cd2x dm，acadcd(172x)dm.在abc中，由余弦定理得bc2ab2ac22abaccos a，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.ac172x7(dm)，或ac(dm)(舍去).该机器人最快可在线段ad上距a点7 dm的点c处截住足球.【答案】7三、解答题9.a，b，c，d四个景点，如图1212，cdb45，bcd75，adc15.a，d相距2 km，c，d相距(3)km，求a，b两景点的距离. 图1212【解】在bcd中，cbd180bcdcdb60，由正弦定理得，即bd2.在abd中，adb451560，bdad，abd为等边三角形，ab2.即a，b两景点的距离为2 km.10.如图1213所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔cd，今在距离b点60 m的地面上取一点a，若测得cad45，求此电视塔的高度.图1213【解】设cdx m，bac，则abc中，tan .又dab45，tandabtan(45).又tan(45)3，3，解得x150 m，所以电视塔的高度为150 m.能力提升1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()a.d1d2b.d1d2c.d1d2d.不能确定大小【解析】如图，b，c，d分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知.在pbc中，在pcd中，sin sin ，sinpcbsinpcd，.pbpd，d1d2.【答案】c2.如图1214所示，d，c，b三点在地面同一直线上，dca，从c，d两点测得a点的仰角分别是，()，则a点离地面的高ab等于()图1214a.b.c.d.【解析】设abh，则ad.因为cad，所以，所以，所以h.【答案】a3.如图1215所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路bc，现在又新架设了一条索道ac.小明在山脚b处看索道ac，此时视角abc120；从b处攀登200米到达d处，回头看索道ac，此时视角adc150；从d处再攀登300米到达c处.则石竹山这条索道ac长为_米.图1215【解析】在abd中，bd200米，abd120.因为adb30，所以dab30.由正弦定理，得，所以.所以ad200(米).在adc中，dc300米，adc150，所以ac2ad2dc22addccosadc(200)230022200300cos 150390 000，所以ac100(米).故石竹山这条索道ac长为100米.【答案】1004.2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶m，n间的距离，无人机沿水平方向在a，b两点进行测量，a，b，m，n在同一个铅垂平面内(如图1216)，无人机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤.图1216【解】方案一：需要测量的数据有：a点到m，n点的俯角1，1；b点到m，n的俯角2，2；a，b间的距离d.第一步：计算am.由