高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 空间两条直线的位置关系学案 苏教版必修2.doc

1.2.2空间两条直线的位置关系1会判断空间中直线与直线的位置关系(重点)2能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题(难点)3了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角(难点)基础初探教材整理1空间两直线的位置关系阅读教材p25p26公理4以上部分内容，完成下列问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果ab，bc，则ac.()(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线()(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交()(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面()2已知棱长为a的正方体abcdabcd中，m，n分别为cd，ad的中点，则mn与ac的位置关系是_【解析】如图所示，mn綊ac，又ac綊ac，mn綊ac.【答案】平行教材整理2公理4及等角定理阅读教材p26p27，完成下列问题1公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示：ac.2等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等已知abpq，bcqr，abc30，则pqr等于_【解析】abc的两边与pqr的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，pqr30或150.【答案】30或150教材整理3异面直线的判定及其所成的角阅读教材p28p30练习以上部分内容，完成下列问题1异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l，a，b，bl，则直线l与ab是异面直线2异面直线所成的角(1)定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当时，a与b互相垂直，记作ab.已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b的位置关系是_【解析】a，b是异面直线，直线c直线a，因而c不平行于b，若cb，则ab，与已知矛盾，因而c不平行于b.【答案】相交或异面小组合作型空间中直线的位置关系(1)下列命题中正确的有_(填序号)两条直线无公共点，则这两条直线平行；两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：若ab，bc，则ac；ab是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行其中正确的有_(填序号)【精彩点拨】根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断【自主解答】(1)对于，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此不正确；对于，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以正确；对于，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此不正确；对于，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此不正确(2)由公理4知正确；由平行线的定义知正确；若l，a，b，al，bl，则ab.错误【答案】(1)(2)空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面再练一题1如图1216，正方体abcda1b1c1d1中，判断下列直线的位置关系：图1216直线a1b与直线d1c的位置关系是_；直线a1b与直线b1c的位置关系是_；直线d1d与直线d1c的位置关系是_；直线ab与直线b1c的位置关系是_【解析】直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点a1，b，b1在一个平面a1bb1内，而c不在平面a1bb1内，则直线a1b与直线b1c异面同理，直线ab与直线b1c异面，所以都应该填“异面”；直线d1d与直线d1c显然相交于d1点，所以应该填“相交”【答案】平行异面相交异面求异面直线所成的角如图1217，正方体ac1中，e，f分别是a1b1，b1c1的中点，求异面直线db1与ef所成角的大小图1217【精彩点拨】先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解【自主解答】(1)(2)法一：如图(1)，连结a1c1，b1d1，并设它们相交于点o，取dd1的中点g，连结og，a1g，c1g，则ogb1d，efa1c1，goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角ga1gc1，o为a1c1的中点goa1c1.异面直线db1与ef所成的角为90.法二：如图(2)，连结a1d，取a1d的中点h，连结he，hf，则hedb1，且hedb1.于是hef为异面直线db1与ef所成的角或补角连结hf，设aa11.则ef，he，取a1d1的中点i，连结if，ih，则hiif，hf2hi2if2，hf2ef2he2.hef90，异面直线db1与ef所成的角为90.(3)法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结dq，b1q，则b1qef.于是db1q为异面直线db1与ef所成的角或其补角设aa11，则dq，b1d，b1q，所以b1d2b1q2dq2，从而异面直线db1与ef所成的角为90.求两条异面直线所成角的步骤：(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角再练一题2.如图1218所示，在空间四边形abcd中，abcd，abcd，e，f分别为bc，ad的中点，求ef和ab所成的角图1218【解】如图所示，取bd的中点g，连结eg，fg.e，f，g分别为bc，ad，bd的中点，abcd，eg綊cd，gf綊ab.gfe就是ef与ab所成的角或其补角abcd，eggf，egf90.abcd，eggf，efg为等腰直角三角形，gfe45，即ef和ab所成的角为45.探究共研型公理4与等角定理的应用探究1如图1219，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，若e，f，g，h分别为pa，pb，pc，pd的中点那么四边形efgh是什么四边形？为什么？图1219【提示】平行四边形因为在pab中，e，f分别是pa，pb的中点，ef綊ab，同理gh綊dc.四边形abcd是平行四边形，ab綊cd，ef綊gh，四边形efgh是平行四边形探究2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？【提示】这两条直线所成的锐角(或直角)相等如图1220，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，e1，f1分别为棱ad，ab，b1c1，c1d1的中点求证：ea1fe1cf1.图1220【精彩点拨】解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即a1ece1，a1fcf1，然后根据等角定理，得出结论【自主解答】如图所示，在正方体ac1中，取a1b1的中点m，连结bm，mf1，则bfa1mab.又bfa1m，四边形a1fbm为平行四边形，a1fbm.而f1，m分别为c1d1，a1b1的中点，则f1m綊c1b1.而c1b1綊bc，f1mbc，且f1mbc.四边形f1mbc为平行四边形，bmf1c.又bma1f，a1fcf1.同理取a1d1的中点n，连结dn，e1n，则a1n綊de，200四边形a1nde为平行四边形，a1edn.又e1ncd，且e1ncd，四边形e1ndc为平行四边形，dnce1，a1ece1.ea1f与e1cf1的两边分别对应平行即a1ece1，a1fcf1，ea1fe1cf1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现再练一题3已知棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd，ad的中点图1221 (1)求证：四边形mna1c1是梯形；(2)求证：dnmd1a1c1. 【导学号：41292021】【证明】(1)在adc中，m，n分别是cd，ad的中点，mn是adc的中位线mn綊ac.由正方体性质知，ac綊a1c1，mn綊a1c1，即mna1c1.四边形mna1c1是梯形(2)由(1)可知mna1c1，又因为nda1d1，而dnm与d1a1c1均是直角三角形的锐角，dnmd1a1c1.1若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是_【解析】若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线【答案】平行或异面2一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是_【解析】如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1与bc是异面直线，又aa1bb1，aa1dd1，显然bb1bcb，dd1与bc是异面直线【答案】相交或异面3分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是_. 【导学号：41292022】【答案】平行或相交或异面4空间中有一个a的两边和另一个b的两边分别平行，a70，则b_.【解析】a的两边和b的两边分别平行，ab或ab180，又a70，b70或110.【答案】70或1105如图1222，已