高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修21.doc

2.3.2双曲线的简单几何性质1.掌握双曲线的简单几何性质.(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(难点)基础初探教材整理1双曲线的几何性质阅读教材p56“思考”以下p58“思考”以上内容，完成下列问题.标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_对称性对称轴：_，对称中心：_顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长_，虚轴长_离心率_渐近线yx_【答案】xa或xaya或ya坐标轴原点2a2be1yx1.若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_.【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0).【答案】(，0)，(，0)2.设中心在原点的双曲线与椭圆y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是_.【解析】椭圆的焦点为(1,0)，双曲线的焦点为(1,0)，椭圆的离心率e，双曲线的离心率e，又c2a2b2，12a2，a2b2，所求双曲线方程为2x22y21.【答案】2x22y21教材整理2双曲线的中心和等轴双曲线阅读教材p56倒数第三自然段和p57最后一自然段内容，完成下列问题.1.双曲线的中心双曲线的_叫做双曲线的中心.【答案】对称中心2.等轴双曲线_的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e_.【答案】实轴和虚轴等长经过点a(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.【解析】设双曲线的方程为mx2my21，将a(3，1)代入得9mm1，解得m，双曲线方程为1.【答案】1小组合作型根据双曲线方程研究几何性质求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【精彩点拨】【自主解答】把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0).渐近线的方程为yxx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.再练一题1.将本例1双曲线方程改为“16x29y2144”，试求实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【导学号：37792072】【解】方程变形为1，a4，b3，c5，实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点为(0,5)，(0，5)，渐近线方程为yx，顶点为(0,4)，(0，4)，离心率e.利用几何性质求双曲线的标准方程求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点a(2，3).【精彩点拨】【自主解答】(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c13，因为，所以a5，b12.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：1(a0，b0)，则.因为点a(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点a(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0).因为点a(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法.首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值.当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解.为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求解.2.(1)若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程可表示为(0)；(2)与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可表示为(a0，b0，0)；与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可表示为(a0，b0，0).再练一题2.已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3,0)，离心率等于，则双曲线c的方程是()a.1b.1c.1d.1【解析】右焦点为f(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为，故a2，b2c2a232225，故双曲线c的方程为1，选b.【答案】b求双曲线的离心率(1)设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得(|pf1|pf2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()a. b.c.4d.(2)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与圆(x3)2y29相交于a，b两点，若|ab|2，则该双曲线的离心率为() 【导学号：37792073】a.8 b.2 c.3d.【精彩点拨】(1)利用双曲线定义|pf1|pf2|2a求解；(2)由点到直线的距离找出关系求解.【自主解答】(1)根据双曲线的定义，得|pf1|pf2|2a.又(|pf1|pf2|)2b23ab，所以4a2b23ab，即(ab)(4ab)0，又ab0，所以b4a，所以e.(2)双曲线的一条渐近线方程为bxay0，圆心为(3,0)，半径为3，由|ab|2，可知圆心到直线ab的距离为2，于是2，解得b28a2，于是c3a，e3.【答案】(1)d(2)c求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解.(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解.再练一题3.已知双曲线1的离心率为，则双曲线1的离心率为_.【解析】由1，得离心率为，得，则1的离心率为.【答案】探究共研型直线与双曲线的位置关系探究1如何判定直线与双曲线的位置关系？【提示】讨论直线与双曲线的位置关系时，一般化为关于x(或y)的一元二次方程，这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x(或y)的一元一次方程，只有一个解，这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项的系数不为0时，利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系.探究2如何解决双曲线中弦的问题？【提示】对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决，另外在弦的问题中，经常遇到与弦中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决，另外要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可转化为中点、弦长问题来解决.已知双曲线c：x2y21及直线l：ykx1，(1)若直线l与双曲线c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线c交于a，b两点，o是坐标原点，且aob的面积为，求实数k的值.【精彩点拨】联立方程并消元得到关于x的方程.【自主解答】(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与c有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，).(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|ab|x1x2|.又点o(0,0)到直线ykx1的距离d，saob|ab|d，即2k43k20，解得k0或k.实数k的值为或0.1.直线与双曲线的位置关系的判定方法直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用来解决.设直线方程为axbyc0(a，b不同时为0)，双曲线方程为1(a0，b0)，两方程联立消去y得mx2nxq0(*)形式的方程.(1)若m0，方程(*)为关于x的一元二次方程，当0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；当0时，方程有一解，则直线与双曲线相切；当0时，方程无解，则直线与双曲线相离.(2)若m0，方程(*)为关于x的一次方程，x，直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线).2.双曲线的弦长公式与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样，设直线ykxb与双曲线交于点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|或|ab|y1y2|.再练一题4.已知双曲线y21，求过点a (3，1)且被点a平分的弦mn所在直线的方程. 【导学号：37792074】【解】法一由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y1k(x3)，即ykx3k1，由消去y，整理得(14k2)x28k(3k1)x36k224k80.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，x1x2.a(3，1)为mn的中点，3，即3，解得k.当k时，满足0，符合题意，所求直线mn的方程为yx，即3x4y50.法二设m(x1，y1)，n(x2，y2)，m，n均在双曲线上，两式相减，得yy，.点a平分弦mn，x1x26，y1y22.kmn.经验证，该直线mn存在.所求直线mn的方程为y1(x3)，即3x4y50.1.已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()a.2 b.c.d.1【解析】由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.【答案】d2.若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()a.y23x236 b.x23y236c.3y2x236d.3x2y236【解析】椭圆4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双