高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论学案（含解析）新人教B版必修2.doc

1.2.1平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)基础初探教材整理1平面阅读教材p35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍.如图121.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图121.图1213.平面的表示法上图中图的平面可表示为平面、平面abcd、平面ac或平面bd.下列说法正确的是()a.生活中的几何体都是由平面组成的b.平面无厚薄，但有边界线c.任何一个平面图形都是一个平面d.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项a、b错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项c错误；选项d正确.【答案】d教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材p35p37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内al，bl，且a，bl基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的平面使a，b，c基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线p，pl，且pl图122推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图122).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图122).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图122).判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3共面与异面直线阅读教材p37p38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1232.空间两条直线的位置关系判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)a，b；(2)l，m，ma，al；(3)pl，p，ql，q.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”，“”，“”，“”，“”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点a在平面内，点b不在平面内；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点a，且点a不在直线l上；(3)直线l经过平面外一点p和平面内一点q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.再练一题1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图124(1)点p与直线ab；(2)点c与直线ab；(3)点m与平面ac；(4)点a1与平面ac；(5)直线ab与直线bc；(6)直线ab与平面ac；(7)平面a1b与平面ac.【解】(1)点p直线ab；(2)点c直线ab；(3)点m平面ac；(4)点a1平面ac；(5)直线ab直线bc点b；(6)直线ab平面ac；(7)平面a1b平面ac直线ab.点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内. 【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于o，如图所示，od，经过d与点o有且只有一个平面.a、b、c分别是d与a、b、c的交点，a、b、c三点在平面内.由公理1知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，aba，经过a、b有且仅有一个平面，b、c.由公理1知c.同理，d，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.再练一题2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：abc，laa，lbb，lcc.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一ab，a，b确定一个平面，laa，lbb，a，b，故l.又ac，a，c确定一个平面.同理可证l，a且l.过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面，也就是说b在a、l确定的平面内.同理可证c在a、l确定的平面内.过a和l只能确定一个平面，a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定 如图125，正方体abcda1b1c1d1中，判断下列直线的位置关系：图125直线a1b与直线d1c的位置关系是_；直线a1b与直线b1c的位置关系是_；直线d1d与直线d1c的位置关系是_；直线ab与直线b1c的位置关系是_.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点a1、b、b1在一个平面a1bb1内，而c不在平面a1bb1内，则直线a1b与直线b1c “异面”.同理，直线ab与直线b1c “异面”.所以都应该填“异面”；直线d1d与直线d1c相交于d1点，所以应该填“相交”.【答案】平行异面相交异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.再练一题3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()a.acb.a、c是异面直线c.a、c相交d.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】d探究共研型点共线与线共点问题 探究1如图126，在正方体abcda1b1c1d1中，设a1c平面abc1d1e.能否判断点e在平面a1bcd1内？图126【提示】如图，连接bd1，a1c平面abc1d1e，ea1c，e平面abc1d1.a1c平面a1bcd1，e平面a1bcd1.探究2上述问题中，你能证明b，e，d1三点共线吗？【提示】由于平面a1bcd1与平面abc1d1交于直线bd1，又ebd1，根据公理3可知b，e，d1三点共线.如图127，在正方体abcda1b1c1d1中，点m，n，e，f分别是棱cd，ab，dd1，aa1上的点，若mn与ef交于点q，求证：d，a，q三点共线.图127【精彩点拨】欲证d、a、q三点共线，只需说明三点均在平面ad1和平面ac的交线da上即可.【自主解答】mnefq，q直线mn，q直线ef，又m直线cd，n直线ab，cd平面abcd，ab平面abcd.m、n平面abcd，mn平面abcd.q平面abcd.同理，可得ef平面add1a1.q平面add1a1，又平面abcd平面add1a1ad，q直线ad，即d，a，q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.再练一题4.如图128，在四边形abcd中，已知abcd，直线ab，bc，ad，dc分别与平面相交于点e，g，h，f.图128求证：e，f，g，h四点必定共线.【证明】abcd，ab，cd确定一个平面，又abe，ab，e，e，即e为平面与的一个公共点.同理可证f，g，h均为平面与的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，e，f，g，h四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()a.平行或异面b.相交或异面c.异面d.相交【解析】如图，在正方体abcda1b1c1d1中，aa1与bc是异面直线，又aa1bb1，aa1dd1，显然bb1bcb，dd1与bc是异面直线，故选b.【答案】b2.下列说法中正确的个数为()三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面.a.1 b.2c.3d.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故不正确，正确，故选c.【答案】c3.设平面与平面交于直线l，a，b，且直线ablc，则直线ab_. 【导学号：45722038】【解析】l，ablc，c，cab，abc.【答案】c4.有以下三个说法：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l”表示；已知平面与不重合，若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交.其中正确的序号是_.【解