高考数学 考点48 正态分布试题解读与变式.doc

考点48 正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【命题规律】在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题.【典型高考试题变式】正态分布例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值.【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为_【答案】【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位： ）的数据，如下表：x258911y1210887（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差，求.附：回归方程中， ， .， ，若，则， .【解析】（1）因为令,， ,所以， 所以 所以（或者： ） 所以所求的回归方程是 【数学思想】数形结合思想转化与化归思想.【温馨提示】曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相同p(xa)1p(xa)，p(xa)p(xa)【典例试题演练】1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）a80 b100 c120 d200【答案】d【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知， 成绩不低于分的学生人数约为人，故选d.2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：,)a. b. c. d.【答案】d 【解析】由已知得，故，故选d3.【2017山西晋城市模拟考试】已知展开式中的常数项为,且,则（ ）(附：若随机变量,则,)a b c d【答案】b4.设随机变量服从正态分布n（3，7），若p（a+2）=p（a2），则a=（ ）a1b2c3d4【答案】c【解析】由已知若p（a+2）=p（a2），则5.已知随机变量x服从正态分布n（3，1），且p（lx5）=0682 6，则（ ） a0158 8 b0158 7 c0158 6 d0158 5【答案】b【解析】依题意，故选b.6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（ ）a. 0.49 b. 0.48 c. 0.47 d. 0. 46【答案】d【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以，则，所以，应选d.7. 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（ ）a. b. c. d.【答案】c【解析】由 无相异实根得 ，因此函数没有极值点的概率是，选c.8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)e (xr)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()a.10与8 b.10与2 c.8与10 d.2与10【答案】b【解析】f(x)e，所以2，10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选b.9. 已知三个正态分布密度函数i(x)e(xr，i1，2，3)的图象如图所示，则()a.123，123 b.123，123c.123，123 d.123，123【答案】d【解析】由正态曲线关于直线x对称，知123；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则123.实际上，由1(1)2(2)3(3)，则 ，即123.故选d.10. (2017石家庄模拟)设xn(1，2)，其正态分布密度曲线如图所示，且p(x3)0.022 8，那么向正方形oabc中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附：(随机变量服从正态分布n(1，2)，则p()0.682 6，p(22)0.954 4)a12 076 b13 174 c14 056 d7 539【答案】b11.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知，且，则若，则 .【答案】【解析】因为，故由可得，解得，故.由可得，由正态曲线的对称性可知，所以.12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量x服从正态分布n(2，)，且p(0x2)0.3，则p(x4)_【答案】0.2；【解析】由题意结合正态分布的性质可知： ，则.13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量服从正态分布，且，则_【答案】0.3【解析】14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，依题意，故.（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2故.15.(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(