高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理.doc

第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理1二项式定理二项式定理(ab)ncancan1b1cankbkcbn(nn*)二项展开式的通项公式tk1cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数c(k0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)c1，c1.ccc.(2)cc.(3)n是偶数时，项的二项式系数最大；n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大(4)cccc2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c，c，一直到c，c.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()1(教材改编)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()ac bccc d(1)m1c答案d解析(xy)n展开式中第m项的系数为c(1)m1.2(2016四川)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()a15x4 b15x4c20ix4 d20ix4答案a解析由题意可知，含x4的项为cx4i215x4.故选a.3(2016云南部分名校1月统一考试)已知，那么n展开式中含x2项的系数为()a130 b135 c121 d139答案b解析根据题意，则6中，由二项式定理得通项公式为tk1c(3)kx62k，令62k2，得k2，所以系数为c9135.4在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_答案7解析由题意知15，解得n8，()8的展开式的通项tk1c()8k()k，令80，得k6，则展开式中的常数项为(1)6268c7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016全国乙卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)(2)(2015课标全国)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()a10 b20c30 d60答案(1)10(2)c解析(1)(2x)5展开式的通项公式 k0,1,2,3,4,5，令53，解得k4，得x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为t3c(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为cx4xcx5.所以x5y2的系数为cc30.故选c.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为cc30.故选c.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(1)(2015课标全国)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(2)(2016山东)若5的展开式中x5的系数为80，则实数a_.答案(1)3(2)2解析(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)10k5，解得k2，a3c80，解得a2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可(1)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(2)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案(1)20(2)解析(1)x2y7x(xy7)，其系数为c，x2y7y(x2y6)，其系数为c，x2y7的系数为cc82820.(2)设通项为tk1cx10kak，令10k7，k3，x7的系数为ca315，a3，a.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为ccc210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为ccc29，偶数项的二项式系数和为ccc29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，br)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.(1)(2016北京海淀区模拟)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m等于()a5 b6 c7 d8答案b解析由题意得ac，bc，13c7c，13，解得m6，经检验符合题意，故选b.(2)若(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016，则的结果是多少？解当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01.即1.题型三二项式定理的应用例4(1)设az且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()a0 b1 c11 d12(2)1.028的近似值是_(精确到小数点后三位)答案(1)d(2)1.172解析(1)512 012a(521)2 012ac522 012c522 011c52(1)2 011c(1)2 012a，c522 012c522 011c52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，c(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)1.028(10.02)8cc0.02c0.022c0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)190c902c903c(1)k90kc9010c除以88的余数是()a1 b1 c87 d87答案b解析190c902c903c(1)k90kc9010c(190)108910(881)108810c889c881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值解原式46n5na4(51)n5na4(c5nc5n1c52c5c)5na4(c5nc5n1c52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.15二项展开式的系数与二项式系数典例(1)(2016河北武邑中学期末)若()n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为_(2)(2016河北邯郸一中调研)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是35，则a1a2a7_.错解展示解析(1)()n展开式中，令x1可得4n1 024，n5，()n展开式的通项tk1(3)kc，令1，得k1.故展开式中含x项的系数为c5.(2)a1a2a7ccc271.答案(1)5(2)271现场纠错解析(1)在()n的展开式中，令x1，可得()n展开式的各项系数绝对值之和为4n22n1 024210，n5.故()5展开式的通项为tk1(3)kc，令1，得k1，故展开式中含x项的系数为15.(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7，令x0，a0(m)7.又展开式中x4的系数是35，c(m)335，m1.a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中，令x1，得01a1a2a7，即a1a2a3a71.答案(1)15(2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1在x2(1x)6的展开式中，含x4项的系数为()a30 b20 c15 d10答案c解析因为(1x)6的展开式的第k1项为tk1cxk，x2(1x)6的展开式中含x4的项为cx415x4，所以系数为15.2(2015湖南)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于()a. b c6 d6答案d解析5的展开式通项令k，则k1，ac30，a6，故选d.3(4x2x)6(xr)展开式中的常数项是()a20 b15c15 d20答案c解析设展开式中的常数项是第k1项，则tk1c(4x)6k(2x)kc(1)k212x2kx2kxc(1)k212x3kx，12x3kx0恒成立，k4，t5c(1)415.4(2015湖北)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()a29 b210 c211 d212答案a解析由题意，cc，解得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129.故选a.5若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为()a4 b. c4 d.答案c解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.6若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2a3(1)nan等于()a.(3n1) b.(3n2)c.(3n2) d.(3n1)答案d解析在展开式中，令x2，得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)7若(xa)2(1)5的展开式中常数项为1，则a的值为()a1 b9c1或9 d1或9答案d解析由于(xa)2x22axa2，而(1)5的展开式通项为tk1(1)kcxk5，其中k0,1,2，5.于是(1)5的展开式中x2的系数为(1)3c10，x1项的系数为(1)4c5，常数项为1，因此(xa)2(1)5的展开式中常数项为1(10)2a5a2(1)a210a10，依题意a210a101，解得a210a90，即a1或a9.8(2016北京)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答)答案60解析展开式的通项tk1c16k(2x)kc(2)kxk.令k2，得t3c4x260x2，即x2的系数为60.9(2016天津)8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)答案56解析8的通项tk1c(x2)8kk(1)kcx163k，当163k7时，k3，则x7的系数为(1)3c56.10若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为tk1c(1x)5k(1)k，t3c(1x)3(1)210(1x)3，a310.11(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_答案168解析(1x)8的通项为cxk，(1y)4的通项为cyt，(1x)8(1y)4的通项为ccxkyt，令k2，t2，得x2y2的系数为cc168.12已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1