高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 5 立体几何教学案 理.doc

5.立体几何要点重温1几何体的三视图排列规则：俯视图放在正视图下面，侧视图放在正视图右面，“长对正，高平齐，宽相等”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体应用1“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图11，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是() 图11解析俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，故选b.答案b2空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法应用2如图12所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()【导学号：07804184】图12a4b3c2d答案d应用3如图13，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，点e，f为pa，pd的中点，则平面bcfe将四棱锥pabcd所分成的上下两部分的体积的比值为_图13解析设棱锥的底面abcd的面积为s，高为h，vpabcdsh，vfbdcsdbcsh，同理vpadbhsh，由于四棱锥badfe和三棱锥bpad等高，而，所以vbadfeshsh，所以下半部分的体积为sh，上半部分的体积为shshsh，所以上下两部分体积之比为.答案3多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4r2a2b2c2求解应用4一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()a96b16c24d48解析如图，设球的半径为r，由r3，得r2.所以正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，所以a4，所以v(4)2448.答案d应用5已知三棱锥abcd内接于球o，且bcbdcd2，若三棱锥abcd体积的最大值为4，则球o的表面积为() 【导学号：07804185】a16b25c36d64解析如图，当三棱锥的体积最大值为4，即(2)2h4，解得h4，点a在如图所示的位置时，三棱锥的体积最大，即ao4，并且在如图所示的三角形中，oaocr，oo4r，oc22，所以在直角三角形ooc中，r2(4r)222，解得r，球的表面积为s4r225，故选b.答案b4空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等应用6下列命题正确的序号是_(1)如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面(2)如果直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行(3)如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab.(4)如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么b.答案(4)5空间垂直问题的转化关系垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等应用7已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()a3b2c1d0答案b6平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”应用8(1)如图14(1)，在rtabc中，abc90，bac60，ab2，d、e分别为ac、bd的中点，连接ae并延长交bc于f，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，如图14(2)所示图14(1)图14(2)(1)求证：ae平面bcd；(2)求平面aef与平面adc所成的锐二面角的余弦值；(3)在线段af上是否存在点m使得em平面adc？若存在，请指出点m的位置；若不存在，说明理由解(1)证明：在rtabc中，abc90，d为ac的中点，adbddc，又bac60，所以三角形abd为等边三角形；又e为bd的中点，aebd.因为平面abd平面bcd，交线为bd，ae平面abd，所以ae平面bcd.(2)由ae平面bcd可知aeef.由题意知efbd，aebd，故以e为坐标原点，分别以ef、ed、ea所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系exyz.由(1)得，abbddcad2，beed1，计算得ae，bc2，bf，则e(0,0,0)，d(0,1,0)，b(0，1,0)，a(0,0，)，f，c(，2,0)，则(，1,0)，(0,1，)，易知平面aef的一个法向量为(0,1,0)设平面adc的法向量为n(x，y，z)，则，即，令z1，得y，x1，n(1，1)cosn，.所以平面aef与平面adc所成的锐二面角的余弦值为(3)设，其中0,1，其中0,1，由n0，解得(0,1)所以在线段af上存在点m，使em平面adc，且amaf34.7. “转化法”求空间角(1)设两条异面直线a，b所成的角为，两条直线的方向向量分别为a，b.因为，故有cos |cosa，b|.(2)设直线l和平面所成的角为，l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则sin |cosl，n|.(3)设二面角l的大小为，n1，n2是二面角l的两个半平面的法向量，则|cos |cosn1，n2|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定应用9在三棱锥pabc中，abbc，abbcpa，点o，d分别是ac，pc的中点，op底面abc，求直线pa与平面pbc所成角的正弦值解op平面abc，oaoc，abbc，oaob，oaop，obop.以o为原点，射线op为z轴正方向，oa为x轴正方向，ob为y轴正方向，建立空间直角坐标系oxyz(如图)设aba，则a，b，c，设oph，则p(0,0，h)，由paab，则pa2a，则p，.可求得平面pbc的一个法向量为n，cos，n，设pa与平面pbc所成的角为，则sin |cos，n|.8求点到平面的距离的方法(1)“等积法”：求解点到面的距离常转化为锥体的高，利用三棱锥体积公式求点到平面的距离(2)“向量法”：如图，设p在平面外，n为平面的法向量，在平面内任取一点q，则点p到平面的距离d.图15应用10正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为_. 【导学号：07804186】解析建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o.设平面abc1d1的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,0,1)，又，o到平面abc1d1的距离d.答案查缺补漏1已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若m，m，则b若m，mn，则nc若m，mn，则nd若m，m，则d对于选项a，若m，m，则可能，相交，或者，所以选项a不正确；对于选项b，若m，mn，则可能n，或n，所以选项b不正确；对于选项c，若m，mn，则n，或n，所以选项c不正确；对于选项d，若m，m，则由线面平行可得在平面内存在一条直线l，使得ml，然后由m可得l，进而得出，故选d.2. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yoz平面为投影面，则得到的正视图可以为()a由图可得，故选a. 3如图16，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，p，q分别是aa1，a1d1，cc1，bc的中点，给出以下四个结论：a1cmn；a1c平面mnpq；a1c与pm相交；nc与pm异面其中不正确的结论是()图16a b c db作出过m，n，p，q四点的截面交c1d1于点s，交ab于点r，如图中的六边形mnspqr，显然点a1，c分别位于这个平面的两侧，故a1c与平面mnpq一定相交，不可能平行，故结论不正确4如图17，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为()【导学号：07804187】图17a8b12c18d24b由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为v14324，三棱柱的体积为v22v1248，所以该几何体的体积为v12，故选b.5.如图18，已知六棱锥pabcdef的底面是正六边形，pa平面abc，pa2ab，则下列结论正确的是()图18apbadb平面pab平面pbcc直线bc平面paed直线pd与平面abc所成的角为45d若pbad，则adab，但ad与ab成60角，a错误；平面pab与平面abd垂直，所以平面pab一定不与平面pbc垂直，b错误；bc与ae是相交直线，所以bc一定不与平面pae平行，c错误；直线pd与平面abc所成角为pda，在rtpad中，adpa，所以pda45，d正确6设三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，bca90，bcca2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线b1c与直线ac1所成角的余弦值为()abcdb由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体8个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为4，由于长方体底面为边长为2的正方形，故侧面的对角线为2，由余弦定理可知，直线b1c与直线ac1所成角的余弦值为.7三棱锥pabc中，abbc，ac6，pc平面abc，pc2，则该三棱锥外接球的表面积为()a.bc.dd由题意可知，abc中ac边上的高为，球心o在底面abc的投影即为abc的外心d，设dadbdcx，x2322，解得x，r2x21(其中r为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面积s4r2，故选d.8在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_. 【导学号：07804188】过点c作ce垂直ad所在直线于点e，梯形abcd绕ad所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段ab的长为底面圆半径，线段bc为母线的圆柱挖去以线段ce的长为底面圆半径，ed为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为vv圆柱v圆锥ab2bcce2de122121.9如图19，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，bc2，ac，aa13，m为线段bb1上的一动点，则过a，m，c1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为_图193由图形可知，当ammc1最小时，所得截面的周长最小，如图所示把平面a1abb1与平面c1cbb1展开成一个平面aa1c1c，则ammc1最短为ac13，所以截面的最小周长为33.10在封闭的直三棱柱abca1b1c1内有一个体积为v的球，若abbc，ab6，bc8，aa15，则v的最大值是_由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为r，abc的内切圆半径为2，abc的内切球半径为2，r2，又2r5，即r，取交集r2，vmax23.11如图20，四棱锥pabcd中，abcbad90，bc2ad，pab与pad都是等边三角形图20(1)证明：pbcd；(2)求二面角apdb的余弦值解(1)证明：如图，取bc的中点e，连接de，则adeb为正方形，过p作po平面abcd，垂足为o，连接oa，ob，oe，od，则由pab和pad都是等边三角形可知papbpd，oaobod，即点o为正方形adeb对角线的交点，故oebd，从而oe平面pbd，oepb，o是bd的中点，e是bc的中点，oecd，因此pbcd.(2)由(1)可知，oe，ob，op两两垂直，以o为原点，oe方向为x轴正方向，ob方向为y轴正方向，op方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，设ab2，则a(，0,0)，d(0，0)，p(0,0，)，(，0)，(，0，)，设平面pad的法向量n(x，y，z)，nxy0，nxz0，取x1，得y1，z1，得n(1,1，1)，oe平面pbd，设平面pbd的法向量为m，取m(1,0,0)，由图象可知二面角apdb的大小为锐角，二面角apdb的余弦值为cos .12已知三棱柱abca1b1c1，侧面bcc1b1底面abc.图21(1)若m，n分别是ab，a1c的中点，求证：mn平面bcc1b1.(2)若三棱柱abca1b1c1的各棱长均为2，侧棱bb1与底面abc所成的角为60.问：在线段a1c1上是否存在一点p，使得平面b1cp平面acc1a1？若存在，求c1p与pa1的比值；若不存在，说明理由