高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 理 新人教版.doc

第八章 立体几何与空间向量 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 理 新人教版1直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：0，3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()1(教材改编)下列命题中不正确的是()a如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面b如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d如果平面平面，平面平面，l，那么l答案a解析根据面面垂直的性质，知a不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案a解析若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3(2017宝鸡质检)对于四面体abcd，给出下列四个命题：若abac，bdcd，则bcad；若abcd，acbd，则bcad；若abac，bdcd，则bcad；若abcd，acbd，则bcad.其中为真命题的是()a b c d答案d解析如图，取bc的中点m，连接am，dm，由abacambc，同理dmbcbc平面amd，而ad平面amd，故bcad.设a在平面bcd内的射影为o，连接bo，co，do，由abcdbocd，由acbdcobdo为bcd的垂心dobcadbc.4(2016济南模拟)如图，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，g为mc的中点则下列结论中不正确的是()amcanbgb平面amnc平面cmn平面amnd平面dcm平面abn答案c解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取an的中点h，连接hb，mh，gb，则mchb，又hban，所以mcan，所以a正确；由题意易得gbmh，又gb平面amn，mh平面amn，所以gb平面amn，所以b正确；因为abcd，dmbn，且abbnb，cddmd，所以平面dcm平面abn，所以d正确5(教材改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o.(1)若papbpc，则点o是abc的_心(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接oa，ob，oc，op，在rtpoa、rtpob和rtpoc中，papcpb，所以oaoboc，即o为abc的外心(2)如图2，延长ao，bo，co分别交bc，ac，ab于h，d，g.pcpa，pbpc，papbp，pc平面pab，ab平面pab，pcab，又abpo，popcp，ab平面pgc，又cg平面pgc，abcg，即cg为abc边ab的高同理可证bd，ah为abc底边上的高，即o为abc的垂心题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5，ac6，点e，f分别在ad，cd上，aecf，ef交bd于点h.将def沿ef折到def的位置od.证明：dh平面abcd.证明由已知得acbd，adcd.又由aecf得，故acef.因此efhd，从而efdh.由ab5，ac6得dobo4.由efac得.所以oh1，dhdh3.于是dh2oh2321210do2，故dhoh.又dhef，而ohefh，且oh，ef平面abcd，所以dh平面abcd.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2015江苏)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e.求证：(1)de平面aa1c1c；(2)bc1ab1.证明(1)由题意知，e为b1c的中点，又d为ab1的中点，因此deac.又因为de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de平面aa1c1c.(2)因为棱柱abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因为ac平面abc，所以accc1.又因为acbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.又因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac.因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.又因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn.证明(1)方法一取pa的中点h，连接eh，dh.又e为pb的中点，所以eh綊ab.又cd綊ab，所以eh綊cd.所以四边形dceh是平行四边形，所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad.所以ce平面pad.方法二连接cf.因为f为ab的中点，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形因此cfad，又cf平面pad，ad平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又ef平面pad，pa平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.(2)因为e、f分别为pb、ab的中点，所以efpa.又因为abpa，所以efab，同理可证abfg.又因为effgf，ef平面efg，fg平面efg.所以ab平面efg.又因为m，n分别为pd，pc的中点，所以mncd，又abcd，所以mnab，所以mn平面efg.又因为mn平面emn，所以平面efg平面emn.引申探究1在本例条件下，证明：平面emn平面pac.证明因为abpa，abac，且paaca，所以ab平面pac.又mncd，cdab，所以mnab，所以mn平面pac.又mn平面emn，所以平面emn平面pac.2在本例条件下，证明：平面efg平面pac.证明因为e，f，g分别为pb，ab，bc的中点，所以efpa，fgac，又ef平面pac，pa平面pac，所以ef平面pac.同理，fg平面pac.又effgf，所以平面efg平面pac.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2016江苏)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.求证：(1)直线de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.证明(1)由已知，de为abc的中位线，deac，又由三棱柱的性质可得aca1c1，dea1c1，又de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，aa1平面a1b1c1，aa1a1c1，又a1b1a1c1，且a1b1aa1a1，a1c1平面abb1a1，b1d平面abb1a1，a1c1b1d，又a1fb1d，且a1fa1c1a1，b1d平面a1c1f，又b1d平面b1de，平面b1de平面a1c1f.题型三垂直关系中的探索性问题例3如图，在三棱台abcdef中，cf平面def，abbc.(1)设平面ace平面defa，求证：dfa；(2)若efcf2bc，试问在线段be上是否存在点g，使得平面dfg平面cde？若存在，请确定g点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明在三棱台abcdef中，acdf，ac平面ace，df平面ace，df平面ace.又df平面def，平面ace平面defa，dfa.(2)解线段be上存在点g，且bgbe，使得平面dfg平面cde.证明如下：取ce的中点o，连接fo并延长交be于点g，连接gd，gf，cfef，gfce.在三棱台abcdef中，abbcdeef.由cf平面defcfde.又cfeff，de平面cbef，degf.gf平面cde.又gf平面dfg，平面dfg平面cde.此时，如平面图所示，延长cb，fg交于点h，o为ce的中点，efcf2bc，由平面几何知识易证hocfoe，hbbcef.由hgbfge可知，即bgbe.思维升华同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明(2016北京东城区模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，m为棱ac的中点abbc，ac2，aa1.(1)求证：b1c平面a1bm；(2)求证：ac1平面a1bm；(3)在棱bb1上是否存在点n，使得平面ac1n平面aa1c1c？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由(1)证明连接ab1与a1b，两线交于点o，连接om，在b1ac中，m，o分别为ac，ab1中点，omb1c，又om平面a1bm，b1c平面a1bm，b1c平面a1bm.(2)证明侧棱aa1底面abc，bm平面abc，aa1bm，又m为棱ac中点，abbc，bmac.aa1aca，bm平面acc1a1，bmac1.ac2，am1.又aa1，在rtacc1和rta1am中，tanac1ctana1ma.ac1ca1ma，即ac1cc1aca1mac1ac90，a1mac1.bma1mm，ac1平面a1bm.(3)解当点n为bb1中点，即时，平面ac1n平面aa1c1c.证明如下：设ac1中点为d，连接dm，dn.d，m分别为ac1，ac中点，dmcc1，且dmcc1.又n为bb1中点，dmbn，且dmbn，四边形bndm为平行四边形，bmdn，bm平面acc1a1，dn平面acc1a1.又dn平面ac1n，平面ac1n平面aa1c1c.17立体几何证明问题中的转化思想典例(12分)如图所示，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点求证：(1)an平面a1mk；(2)平面a1b1c平面a1mk.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答证明(1)如图所示，连接nk.在正方体abcda1b1c1d1中，四边形aa1d1d，dd1c1c都为正方形，aa1dd1，aa1dd1，c1d1cd，c1d1cd.2分n，k分别为cd，c1d1的中点，dnd1k，dnd1k，四边形dd1kn为平行四边形，3分kndd1，kndd1，aa1kn，aa1kn，四边形aa1kn为平行四边形，ana1k.4分a1k平面a1mk，an平面a1mk，an平面a1mk.6分(2)如图所示，连接bc1.在正方体abcda1b1c1d1中，abc1d1，abc1d1.m，k分别为ab，c1d1的中点，bmc1k，bmc1k，四边形bc1km为平行四边形，mkbc1.8分在正方体abcda1b1c1d1中，a1b1平面bb1c1c，bc1平面bb1c1c，a1b1bc1.mkbc1，a1b1mk.四边形bb1c1c为正方形，bc1b1c.10分mkb1c.a1b1平面a1b1c，b1c平面a1b1c，a1b1b1cb1，mk平面a1b1c.又mk平面a1mk，平面a1b1c平面a1mk.12分1若平面平面，平面平面直线l，则()a垂直于平面的平面一定平行于平面b垂直于直线l的直线一定垂直于平面c垂直于平面的平面一定平行于直线ld垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直答案d解析对于a，垂直于平面的平面与平面平行或相交，故a错误；对于b，垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内，故b错误；对于c，垂直于平面的平面与直线l平行或相交，故c错误；易知d正确2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则答案d解析a中，m与n可垂直、可异面、可平行；b中，m与n可平行、可异面；c中，若，仍然满足mn，m，n，故c错误；故选d.3(2016包头模拟)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1垂直底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是()acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae与b1c1是异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e答案c解析a不正确，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线；b不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1；c正确，因为ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；d不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确，故选c.4如图，以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕，把abd和acd折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：bdac；bac是等边三角形；三棱锥dabc是正三棱锥；平面adc平面abc.其中正确的是()a bc d答案b解析由题意知，bd平面adc，故bdac，正确；ad为等腰直角三角形斜边bc上的高，平面abd平面acd，所以abacbc，bac是等边三角形，正确；易知dadbdc，又由知正确；由知错故选b.5.如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的是()a bc d答案b解析对于，pa平面abc，pabc，ab为o的直径，bcac，bc平面pac，又pc平面pac，bcpc；对于，点m为线段pb的中点，ompa，pa平面pac，om平面pac，om平面pac；对于，由知bc平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确6.如图，bac90，pc平面abc，则在abc和pac的边所在的直线中，与pc垂直的直线有_；与ap垂直的直线有_答案ab、bc、acab解析pc平面abc，pc垂直于直线ab，bc，ac；abac，abpc，acpcc，ab平面pac，与ap垂直的直线是ab.7.如图，直三棱柱abca1b1c1中，侧棱长为2，acbc1，acb90，d是a1b1的中点，f是bb1上的动点，ab1，df交于点e.要使ab1平面c1df，则线段b1f的长为_答案解析设b1fx，因为ab1平面c1df，df平面c1df，所以ab1df.由已知可得a1b1，设rtaa1b1斜边ab1上的高为h，则deh.又2h，所以h，de.在rtdb1e中，b1e .由面积相等得 x，得x.8.如图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论：afpb；efpb；afbc；ae平面pbc.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知pa平面abc，pabc.又acbc，且paaca，bc平面pac，bcaf.afpc，且bcpcc，af平面pbc，afpb，又aepb，aeafa，pb平面aef，pbef.故正确9(2016保定模拟)如图，在直二面角mn中，等腰直角三角形abc的斜边bc，一直角边ac，bc与所成角的正弦值为，则ab与所成的角是_答案解析如图所示，作bhmn于点h，连接ah，则bh，bch为bc与所成的角sinbch，设bc1，则bh.abc为等腰直角三角形，acab，ab与所成的角为bah.sinbah，bah.10(2016全国乙卷)如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，平面abef为正方形，af2fd，afd90，且二面角dafe与二面角cbef都是60.(1)证明：平面abefefdc；(2)求二面角ebca的余弦值(1)证明由已知可得afdf，affe，dffef，所以af平面efdc，又af平面abef，故平面abef平面efdc.(2)解过d作dgef，垂足为g，由(1)知dg平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系gxyz.由(1)知dfe为二面角dafe的平面角，故dfe60，则|df|2，|dg|，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0，)由已知，abef，ab平面efdc，ef平面efdc，所以ab平面efdc，又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef，由beaf，可得be平面efdc，所以cef为二面角cbef的平面角，cef60，从而可得c(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面abcd的法向量，则同理可取m(0，4)，则