高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题 理 北师大版.doc

第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题 理 北师大版1二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0或axbyc0时，区域为直线axbyc0的上方；(2)当b(axbyc)0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线axbyc0同侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0，异侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)5(2)解析(1)显然，当m2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为a(1,1)，b(m1,1)，c(，)由图可知，当直线yxz经过点c时，z取得最小值，最小值为.由题意，得1，解得m5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点a时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件(1)已知变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()a2 b1 c1 d2(2)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_答案(1)c(2)1，解析(1)对于选项a，当m2时，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故a不正确；对于选项b，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故b不正确；对于选项c，当m1时，可行域如图，当直线y2xz过点a(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故c正确；对于选项d，当m2时，可行域如图，直线y2xz与直线ob平行，截距最小为0，z最大为0，不符合题意，故d不正确(2)画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1，题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点a时，有最大值，由得a(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台a型和b型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台a型和b型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且a型和b型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解设生产a型电视机x台，b型电视机y台，则根据已知条件知线性约束条件为即线性目标函数为z6x4y.根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l0：3x2y0，当直线l0平移至点a时，z取最大值，解方程组得所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大8含参数的线性规划问题典例(1)在直角坐标系xoy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.错解展示解析(1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k1或0k2时，不等式组表示一个三角形区域(2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点a(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3现场纠错解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由得a(1,1)zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，即直线yaxz在y轴上的截距最大为4.若zaxy在a(1,1)处取得最大值，则直线yaxz在y轴的上截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a0所表示的平面区域内，则m的取值范围是()am1 bm1 cm1答案d解析由2m350，得m1.2若函数ylog2x的图像上存在点(x，y)，满足约束条件则实数m的最大值为()a. b1 c. d2答案b解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数ylog2x的图像过点(2,1)时，实数m有最大值1.3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()a0个 b1个c2个 d无数个答案b解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点a(5,0)，且其斜率k2kab，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点a(5,0)4若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()a. b(0,1c. d(0,1答案d解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，a，b两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.5(2016天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()a4 b6 c10 d17答案b解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点a时z最小又知点a的坐标为(3,0)，zmin23506.故选b.6某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗a、b原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()a1 800元 b2 400元c2 800元 d3 100元答案c解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y满足的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图画出直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点m时，目标函数取得最大值由解得即m的坐标为(4,4)，zmax300440042 800(元)故选c.7(2016枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()a2 b2c1 d1答案d解析作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点p(x，y)与定点a(0，1)所在直线的斜率，由图像可知当p位于点d(1,0)时，直线ap的斜率最小，此时的最小值为1.故选d. 8.已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是()a(6，2) b(3,2)c(，2) d(，3)答案c解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1,0)处取得最大值1，在点(1,1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx1，则k0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.12(2016宜春中学、新余一中联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是_答案3,11解析设z12，设z，则z的几何意义为动点p(x，y)到定点d(1，1)的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则即zkda，kdb，即z1,5，z12z3,11 13.给定区域d：令点集t(x0，y0)d|x0，y0z，(x0，y0)是zxy在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定_条不同的直线答案6解析作出图形可知，abf所围成的区域即为区域d，其中a(0,1)是z在d上取得最小值的点，b，c，d，e，f是z在d上取得最大值的点，则t中的点共确定ab，ac，ad，ae，af，bf共6条不同的直线14.已知d是以点a(4,1)，b(1，6)，c(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域d的不等式组；(2)设点b(1，6)，c(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解(1)直线ab，ac，bc的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域d内，故表示区域d的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)15某客运公司用a、b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次a、b两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求b型车不多于a型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营