高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理学案 苏教版必修5.doc

正弦定理一、考点突破知识点课标要求题型说明正弦定理1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理。2. 能运用正弦定理解三角形。填空题解答题高考常考既可以单独考查正弦定理，也可以与其它知识（如向量、三角函数）综合进行考查。二、重难点提示重点：正弦定理的运用（解三角形，判定三角形的形状，解决实际生活中的问题）。难点：判定三角形解的情况。1. 正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法 正弦定理的证明方法较多，但都离不开化斜三角形为直角三角形这一基本思想，同时需要分类讨论。2. 正弦定理的内容及其常见变形内容：（三角形的各边和它所对角的正弦之比相等）。变形：（1）；（2）； （3）其它变形。3. 正弦定理解斜三角形的两种类型（1）aas、asa；（2）ssa。4. 已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况试一试：分别满足如下条件，试判定解的情况。（1）已知；（2），；（3）已知。 小结：已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边和角时，怎样判断解的个数? （1）求小边所对的角时，有一个解。（2）求大边所对的角时，若所求的正弦值等于1时，有一个解；若所求的正弦值小于1时，有两个解；若所求的正弦值大于1时，没有解。此外，三角形的解的情况也可以结合图形进行思考。例题1 （天津高考）在中，a，b，c所对的边分别是，已知8b=5c，c=2b，则cosc= 。思路分析：两个已知条件需要统一化为边（或角）的关系，一种是均化为边，需要对c=2b两边同时进行正弦变形，再运用正弦定理求解；另一种思路是均化为角，即8b=5c直接运用正弦定理化为，再进行求解。答案：解：因为，所以。根据正弦定理有，又8b=5c，所以。得，则。另解：8b=5c，由正弦定理得： ，得，从而。例题2 （江苏高考）在中，已知。（1）求证：；（2）若求a的值。思路分析：本题一个题设两个小问，而且第1问的结论对于第2问显然成立。首先将向量的数量积表示为三角形的边角关系，运用正弦定理将边化为角，第一问可以证出。第2问的求解，必须解决两个角度的问题，一是角c与角a、b的关系，二是余弦与正切的关系，进而尝试求特殊角a的值。解：（1）证明：因为，所以，即，由正弦定理得，知同正，故得。（2）解：由得，则，结合第（1）问的结论，解关于的方程组消掉tanb，得，因为，故。 技巧点拨：本题要体会在三角函数求值时取正切的优越性，考虑答案的取舍及推理的规范，善于发现两小问的联系，并能进行三角与向量的综合。【方法提炼】在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边长，且c=3bcosa，tanc=。 （1）求tanb的值； （2）若，求abc的面积。思路分析：1. 正弦定理可以灵活实现边角的互化，本题显然是化边为角。2. 在三角形中，求解三角函数的值通常需要消掉一个角（消“元”），消哪一个角既要有全局意识，有时还需要反复尝试。本题先消c有利于变形。3. 第2小问实质上是一个广义的解三角形问题，即已知三个等量关系求解三角形。解题时要充分重视第一问的提示功能。答案：解：（1）由正弦定理，得，即。展开得，所以。 因为，所以。 又，由（1）知，解得。（2）由（1），得 ，由正弦定理，得，所以abc的面积为。技巧点拨：两角和、差的三角函数问题，正切的运算量通常要小于正弦或余弦。【易错警示】在锐角中，则的取值范围是 。 错解：本题容易想到化边为角，结合正弦定理得，由得ac的范围是（0，2）。错因分析：第一种错误是没有想到运用三角函数的有界性，对此可适当加强解题方法的总结；第二种错误是