高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第二课时练习 理 新人教A版.doc

第七章 第7节 立体几何中的向量方法 第二课时 基础训练组1(导学号14577717)已知四棱锥sabcd的底面为平行四边形，sd底面abcd，sd1，ab2，ad1，dab60，m、n分别为sb、sc中点，过mn作平面mnpq分别与线段cd、ab相交于点p、q.若，求二面角mpqb的平面角大小()a60b30c45 d75解析：a在abcd中，设ab2ad4，dcb60，所以由余弦定理求得bd，有ab2ad2bd2，所以adbd，6分以d为原点，直线da为x轴，直线db为y轴，直线ds为z轴建立空间直角坐标系，且a(1,0,0)，b(0，0)，s(0,0,1)，m，又，则q.设平面mnpq的法向量为n(x，y，z)，由，得n(0，1), 易知平面abcd的法向量为m(0,0,1)，则cosm，n，所以二面角mpqb为60.2(导学号14577718)(2018秦皇岛市模拟)已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：c以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，e(1,0,1)，d1(0,0,2)所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以cos，.3(导学号14577719)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，ac2，bc，d，e分别是ac1和bb1的中点，则直线de与平面bb1c1c所成的角为()a. b.c. d.解析：aab1，ac2，bc，ac2bc2ab2，abbc.三棱柱为直三棱柱，bb1平面abc.以b为原点，bc，ba，bb1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系bxyz，则a(0,1,0)，c(，0,0)设b1(0,0，a)，则c1(，0，a)，d，e，平面bb1c1c的法向量(0,1,0)设直线de与平面bb1c1c所成的角为，则sin |cos，|，.4(导学号14577720)如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为平行四边形，且bc平面pab，paab，m为pb的中点，paad2.若ab1，则二面角bacm的余弦值为()a. b.c. d.解析：abc平面pab，adbc，ad平面pab，paad，又paab，且adaba，pa平面abcd.以点a为坐标原点，分别以ad，ab，ap所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz.则a(0,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，b(0,1,0)，m，(2,1,0)，求得平面amc的一个法向量为n(1，2,1)，又平面abc的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角bacm的余弦值为.5(导学号14577721)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b.c2 d.解析：a如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面b1cd的法向量为m(x，y，z)由，得，令z1，则m(a,1，1)又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60，得，解得a，所以ad.故选a.6(导学号14577722)(2018郑州市模拟)在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为_.解析：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，c1(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2，1)，(1,2,0)设n(x，y，z)为平面a1bc1的法向量，则即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，设所求线面角为，则sin |cosn，|.答案：7(导学号14577723)如图，在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成角为_.解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案：308(导学号14577724)设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是_.解析：如图建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0) .设平面a1bd的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点d1到平面a1bd的距离d.答案：9(导学号14577725)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，bcd135，侧面pab底面abcd，bap90，abacpa2，e，f分别为bc，ad的中点，点m在线段pd上(1)求证：ef平面pac；(2)如果直线me与平面pbc所成的角和直线me与平面abcd所成的角相等，求的值解：(1)证明：在平行四边形abcd中，因为abac，bcd135，所以abac.由e，f分别为bc，ad的中点，得efab, 所以efac.2分因为侧面pab底面abcd，且bap90，所以pa底面abcd.又因为ef底面abcd，所以paef.4分又因为paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以ef平面pac.5分(2)因为pa底面abcd，abac，所以ap，ab，ac两两垂直，故以ab，ac，ap分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，p(0,0,2)，d(2,2,0)，e(1,1,0)，7分所以(2,0，2)，(2,2，2)，(2,2,0)，设(0,1)，则(2，2，2)，所以m(2，2，22)，(12，12，22)，易得平面abcd的法向量m(0,0,1)设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，9分由得令x1，得n(1,1,1)10分因为直线me与平面pbc所成的角和直线me与平面abcd所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，解得，或(舍)综上所得：12分10(导学号14577726)(2018济宁市一模)如图甲：o的直径ab2，圆上两点c，d在直径ab的两侧，使cab，dab，沿直径ab折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，f为bc的中点，根据图乙解答下列各题：(1)若点g是的中点，证明：fg平面acd；(2)求平面acd与平面bcd所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：连接of，fg，og，f，o是bc，ab的中点，foac，fo平面acd，ac平面acd，fo平面acd，dab，且g是bd弧的中点，bog，则adog，og平面acd，ad平面acd，og平面acd，foogo，fo，og平面fog，平面fog平面acd，又fg平面fog，fg平面acd(2)如图，设h为弧dg的中点，建立以o为坐标原点，oh，ob，oc分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图；则a(0，1,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，d(，0)，g(，0)，设平面acd的法向量为m(x，y，z)，则(0,1,1)，(，0)，则由myz0，mxy0，得，令y，则m(1，)，同理可得平面bcd的法向量为n(，1,1)，则cosm，n，即平面acd与平面bcd所成的锐二面角的余弦值是.能力提升组11(导学号14577727)在正三棱柱abca1b1c1中，若abaa14，点d是aa1的中点，则点a1到平面dbc1的距离是()a. b.c. d.解析：过点a作ac的垂线为x轴，以ac为y，轴以aa1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱abca1b1c1中，若abaa14，点d是aa1的中点，b(2，2,0)，c1(0,4,4)，d(0,0,2)，a1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，点a1到平面dbc1的距离d.故选a.12(导学号14577728)已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.解析：a如图，以a1c1中点e为原点建立空间直角坐标系exyz，设棱长为1，则a，b1.设ab1与平面acc1a1所成的角为，eb1为平面acc1a1的法向量则sin |cos，|，故选a.13(导学号14577729)如图，已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值为_.解析：如图，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得，a(1,0,0)，e，f，.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abc所成的二面角为，由，得.令y1，则n(1,1，3)又平面abc的一个法向量为m(0,0，1)，则cos |cos n，m|，所以tan .答案：14(导学号14577730)(2018汕头市二模)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，a1b12，aa1h，e为bb1的中点(1)若h2，请画出该正三棱柱的正(主)视图与侧(左)视图(2)求证：平面a1ec平面aa1c1c；(3)当平面a1ec与平面a1b1c1所成的锐二面角为45时，求该正三棱柱外接球的体积解：(1)abc是边长为2的正三角形，abc的高为，又h2，正视图为边长为2的正方形，左视图为边长为2和的矩形，作出正(主)视图与侧：(左)视图如下：(2)证明：连接ac1交a1c于f，取a1c1的中点m，连接ef，fm，mb1.四边形acc1a1是矩形，f是ac1的中点efmb1.a1b1c1是正三角形，mb1a1c1.aa1平面a1b1c1，mb1平面a1b1c1，aa1mb1，又aa1a1c1a1，mb1平面acc1a1，又mb1ef，ef平面acc1a1，又ef平面a1ec，平面a1ec平面aa1c1c.(3)以m为原点，以mc1，mb1，mf所在直线