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文档简介
课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性基础巩固一、选择题1已知函数f(x)x22cosx,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()解析设g(x)f(x)2x2sinx,g(x)22cosx0,所以函数f(x)在r上单调递增答案a2若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为()a(,0)b(,2)c(2,1)d(2,0)解析设幂函数f(x)x,因为图象过点,所以,2,所以f(x)x2,故g(x)exx2,令g(x)exx22exxex(x22x)0,得2x0,故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)答案d3.如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是()a函数f(x)在区间(3,0)上是减函数b函数f(x)在区间(3,2)上是减函数c函数f(x)在区间(0,2)上是减函数d函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析由图可知,当3x0时,f(x)0)的单调递增区间为()a.bc.d(,a)解析由f(x)a0,得0x0,f(x)1.要使函数f(x)xalnx不是单调函数,则需方程10在x0上有解,所以a2,则f(x)2x4的解集为()a(1,1)b(1,)c(,1)d(,)解析由f(x)2x4,得f(x)2x40.设f(x)f(x)2x4,则f(x)f(x)2.因为f(x)2,所以f(x)0在r上恒成立,所以f(x)在r上单调递增,而f(1)f(1)2(1)42240,故不等式f(x)2x40等价于f(x)f(1),所以x1,选b.答案b二、填空题7函数f(x)x2ax3在(1,)上是增函数,则实数a的取值范围是_解析f(x)2xa,f(x)在(1,)上是增函数,2xa0在(1,)上恒成立即a2x,a2.答案(,28已知函数f(x)(xr)满足f(1)1,且f(x)的导数f(x),则不等式f(x2)的解集为_解析设f(x)f(x)x,f(x)f(x),f(x),f(x)f(x)0,即函数f(x)在r上单调递减f(x2),f(x2)f(1),f(x2)1,即x(,1)(1,)答案(,1)(1,)9已知函数f(x)axx3,若对区间(0,1)上的任意x1,x2,且x1x2x1成立,则实数a的取值范围是_解析问题等价于函数g(x)f(x)x在区间(0,1)上为增函数,即g(x)a13x20,即a13x2在(0,1)上恒成立,即a4,所以实数a的取值范围是4,)答案4,)三、解答题10已知函数f(x)lnx,其中ar,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x),由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2,解得a.(2)由(1)知f(x)lnx,则f(x).令f(x)0,解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0,)内,故舍去当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,)内为增函数综上,f(x)的单调增区间为(5,),单调减区间为(0,5)能力提升11已知函数f(x)xsinx,xr,则f,f(1),f的大小关系为()aff(1)fbf(1)ffcff(1)fdfff(1)解析由f(x)(x)sin(x)xsinxf(x),知f(x)是偶函数f(x)sinxxcosx,当0x0,所以f(x)在(0,)上为增函数又01,所以ff(1)f(1)f.故选a.答案a12(2017湖北华北师大附中模拟)若f(x)exaex为偶函数,则f(x1)的解集为()a(2,)b(0,2)c(,2)d(,0)(2,)解析由f(x)exaex为偶函数,得f(x)f(x)(1a)(exex)0恒成立,所以a1,即f(x)exex,则f(x)exex.当x(,0)时,f(x)0,即f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,且图象关于y轴对称由f(x1)f(1)得|x1|1,解得0x2,即f(x1)0)设g(x)2x2(a6)xa(x0),因为函数f(x)在(0,3)上不是单调函数,等价于函数g(x)2x2(a6)xa(x0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零又g(0)a,g(3)4a,所以解得0a3时,g(x)0,当x3时,g(x)0,所以exf(x)ex(x22)在r上单调递增,故f(x)x22具有m性质故填.答案15(2015全国卷改编)已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(2,)上为单调函数,求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a.若a0,则f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增;若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时f(x)在单调递增,在单调递减(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增,符合要求;当a0时,f(x)在上单调递减,则2,即a.实数a的取值范围是(,0.16(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.讨论f(x)的单调性解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()设a0,则当x(,1)时,f(x)0,所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增()设a,则ln(2a)0;当x(ln(2a),1)时,f(x)0,所以f(x)在(,ln(2a),(1,)上单调递增,在(ln(2a),1)上单调递减若a1,故当x(,1)(ln(2a),)时,f(x)0;当x(1,ln(2a)时,f(x)0)若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是_
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