高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业.doc

第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业a组基础对点练1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a50 mb100 mc120 m d150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，bac60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：a2如图，两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10 b北偏西10c南偏东80 d南偏西80解析：由条件及图可知，acba40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此灯塔a在灯塔b南偏西80.答案：d3如图，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为()a50 m b50 mc25 m d m解析：由正弦定理得，ab50，故a，b两点的距离为50 m.答案：a4(2018昆明市检测)在abc中，已知ab，ac，tanbac3，则bc边上的高等于()a1 bc. d2解析：因为tanbac3，所以sinbac，cosbac.由余弦定理，得bc2ac2ab22acabcosbac522()9，所以bc3，所以sabcabacsinbac，所以bc边上的高h1，故选a.答案：a5(2018西安模拟)游客从某旅游景区的景点a处至景点c处有两条线路线路1是从a沿直线步行到c，线路2是先从a沿直线步行到景点b处，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达c处经测量，ab1 040 m，bc500 m，则sinbac等于_解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为ab1 040，bc500，所以，解得：ac1 260，在abc中由余弦定理可知cosbac，所以sinbac.答案：6如图所示，在一个坡度一定的山坡ac的顶上有一高度为25 m的建筑物cd，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的a处测得dac15，沿山坡前进50 m到达b处，又测得 dbc45，根据以上数据可得cos _.解析：由dac15，dbc45可得bda30，dba135，bdc90(15)3045，由内角和定理可得dcb180(45)4590，根据正弦定理可得，即db100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.答案：17已知在岛a南偏西38方向，距岛a 3海里的b处有一艘缉私艇岛a处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析：如图，设缉私艇在c处截住走私船，d为岛a正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则bc0.5x，ac5海里，依题意，bac1803822120，由余弦定理可得bc2ab2ac22abaccos 120，所以bc249，bc0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinabc，所以abc38，又bad38，所以bcad，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船8如图，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba.解析：(1)由已知得pbc60，所以pba30.在pba中，由余弦定理得pa232cos 30.故pa.(2)设pba，由已知得pbsin .在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanpba.b组能力提升练1一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10海里 b10海里c20海里 d20海里解析：如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)答案：a2如图，在山脚a测得山顶p的仰角为30，沿倾斜角15的斜坡向上走a米到b，在b处测得山顶p的仰角60，则山高h()a.a米 b米c.a米 da米解析：在pab中，pab15，bpa(90)(90)30，所以，所以pba，所以pqpccqpbsin asin asin 60asin 15a(米)答案：a3如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()a8.4 km b6.6 kmc6.5 km d5.6 km解析：因为ab1 000 km，所以bcsin 30(km)所以航线离山顶的高度hsin 75sin(4530)11.4 km.所以山高为1811.46.6(km)答案：b4如图所示，为了测量某湖泊两侧a，b间的距离，李宁同学首先选定了与a，b不共线的一点c，然后给出了三种测量方案：(abc的角a，b，c所对的边分别记为a，b，c)测量a，c，b测量a，b，c测量a，b，a则一定能确定a，b间距离的所有方案的个数为()a3 b2c1 d0解析：对于，利用内角和定理先求出bac，再利用正弦定理解出c，对于，直接利用余弦定理cos c即可解出c，对于，先利用内角和定理求出cab，再利用正弦定理解出c.答案：a5(2018福州市质检)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的a，b，c处，依次测得塔顶的仰角分别为，.若90，则塔高为_解析：设塔高为h m依题意得，tan ，tan ，tan .因为90，所以tan()tan tan(90)tan 1，所以tan 1，所以1，解得h80，所以塔高为80 m.答案：80 m6(2018遂宁模拟)海轮“和谐号”从a处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在a处北偏东45的方向，且与a相距10海里的c处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得abc中，ac10，ab21x，bc9x，acb120，由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍)所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时答案：7如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片aob上剪出一个平行四边形mnpq，使点p在弧ab上，点q在oa上，点m，n在ob上，设bop，平行四边形mnpq的面积为s.(1)求s关于的函数关系式(2)求s的最大值及相应的角解析：(1)分别过p，q作pdob于点d，qeob于点e，则四边形qedp为矩形由扇形半径为1 m，得pdsin ，odcos .在rtoeq中，oeqepd，mnqpdeodoecos sin ，smnpdsin sin cos sin2，.(2)ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，smax(m2)8(2018宜宾模拟)一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行(22)n mile到达海岛b，然后从b出发，沿北偏