高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（普通高中）.doc

课时跟踪检测（四十五） 立体几何中的向量方法(一)普通高中适用作业a级基础小题练熟练快1在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1，bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值等于()a.b.c. d.解析：选d建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n，.故cos，.2直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为()a.b.c. d.解析：选c建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，设bc2，则b(0,2,0)，a(2,0,0)，m(1,1,2)，n(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1，0,2)，故bm与an所成角的余弦值cos .3在直三棱柱abca1b1c1中，aa12，二面角baa1c1的大小为60，点b到平面acc1a1的距离为，点c到平面abb1a1的距离为2，则直线bc1与直线ab1所成角的正切值为()a. b.c. d2解析：选a由题意可知，bac60，点b到平面acc1a1的距离为，点c到平面abb1a1的距离为2，所以在三角形abc中，ab2，ac4，bc2，abc90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.4.如图所示，在三棱锥pabc中，pa平面abc，d是棱pb的中点，已知pabc2，ab4，cbab，则异面直线pc，ad所成角的余弦值为()a bc. d.解析：选d因为pa平面abc，所以paab，pabc.过点a作aecb，又cbab，则ap，ab，ae两两垂直如图，以a为坐标原点，分别以ab，ae，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(4,0,0)，c(4，2,0)因为d为pb的中点，所以d(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线pc，ad所成的角为，则cos |cos，|.5.如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，e，f，g分别为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：选a设正三棱柱的棱长为2，取ac的中点d，连接dg，db，分别以da，db，dg所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则b1，f(1,0,1)，e，g(0,0,2)，(1,0，1)设平面gef的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面gef的一个法向量，所以cosn，所以b1f与平面gef所成角的正弦值为.故选a.6在正方体abcd a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选b以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为.7.如图所示，在正方体abcd a1b1c1d1中，e，f分别是正方形a1b1c1d1和正方形add1a1的中心，则ef和cd所成的角的大小是_解析：以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0，0)，c(0，1,0)，e，f，(0,1,0)，cos，135，异面直线ef和cd所成的角的大小是45.答案：458.如图，已知四棱柱abcd a1b1c1d1的侧棱aa1垂直于底面，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc，adabaa12bc，e为dd1的中点，f为a1d的中点则直线ef与平面a1cd所成角的正弦值为_解析：因为ab，ad，aa1两两垂直，故以a为坐标原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设bc1，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，c(2,1,0)，d(0，2,0)，e(0，2,1)，f(0,1,1)，(0,1,0)，(0,2，2)，(2,1,0)设平面a1cd的一个法向量为n(1，y，z)，则故n(1,2,2)，则sin |cosn，|，故直线ef与平面a1cd所成角的正弦值为.答案：9.如图，菱形abcd中，abc60，ac与bd相交于点o，ae平面abcd，cfae，ab2，cf3.若直线fo与平面bed所成的角为45，则ae_.解析：如图，以o为原点，以oa，ob所在直线分别为x轴，y轴，以过点o且平行于cf的直线为z轴建立空间直角坐标系设aea，则b(0，0)，d(0，0)，f(1,0,3)，e(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)，(1，a)设平面bed的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线fo与平面bed所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，ae2.答案：210.如图，已知四棱锥p abcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，且acbd，ac与bd交于o，po底面abcd，po2，ab2，e，f分别是ab，ap的中点则二面角f oe a的余弦值为_解析：以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，由题知，oaob2，则a(0，2,0)，b(2,0,0)，p(0,0,2)，e(1，1,0)，f(0，1,1)，则(1，1,0)，(0，1,1)，设平面oef的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面oae的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角foea为锐角，所以二面角foea的余弦值为.答案：b级中档题目练通抓牢1(2017江苏高考)如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，且abad2，aa1，bad120.(1)求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值；(2)求二面角ba1da的正弦值解：(1)在平面abcd内，过点a作aead，交bc于点e.因为aa1平面abcd，所以aa1ae，aa1ad.故以ae，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz.因为abad2，aa1，bad120，则a(0,0,0)，b(，1,0)，d(0,2,0)，e(，0,0)，a1(0，0，)，c1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线a1b与ac1所成角的余弦值为.(2)可知平面a1da的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面ba1d的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面ba1d的一个法向量，从而cos，m.设二面角ba1da的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角ba1da的正弦值为.2(2017北京高考)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上，pd平面mac，papd，ab4.(1)求证：m为pb的中点；(2)求二面角bpda的大小；(3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值解：(1)证明：设ac，bd的交点为e，连接me.因为pd平面mac，平面mac平面pdbme，所以pdme.因为底面abcd是正方形，所以e为bd的中点所以m为pb的中点(2)取ad的中点o，连接op，oe.因为papd，所以opad.又因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，op平面pad，所以op平面abcd.因为oe平面abcd，所以opoe.因为底面abcd是正方形，所以oead.以o为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则p(0,0，)，d(2,0,0)，b(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面bdp的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z.于是n(1,1，)又平面pad的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角bpda为锐角，所以二面角bpda的大小为60.(3)由题意知m，c(2,4,0)，则.设直线mc与平面bdp所成角为，则sin |cosn，|.所以直线mc与平面bdp所成角的正弦值为.3(2017全国卷)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值解：(1)证明：取pa的中点f，连接ef，bf.因为e是pd的中点，所以efad，efad.由badabc90，得bcad，又bcad，所以ef綊bc，所以四边形bcef是平行四边形，cebf，又bf平面pab，ce平面pab，故ce平面pab.(2)由已知得baad，以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1，0,0)，c(1,1,0)，p(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，