高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 课时跟踪训练52 抛物线 文.doc

课时跟踪训练(五十二) 抛物线 基础巩固一、选择题1若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右焦点重合，则p的值为()a4 b4 c2 d2解析抛物线的焦点坐标为，由双曲线的方程可知a23，b21，所以c2a2b24，即c2，所以右焦点为(2,0)，所以2，p4.答案b2(2018广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y22px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()a4 b9 c10 d18解析抛物线y22px的焦点为，准线为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p10.答案c3(2016全国卷)设f为抛物线c：y24x的焦点，曲线y(k0)与c交于点p，pfx轴，则k()a. b1 c. d2解析抛物线c的焦点坐标为f(1,0)，pfx轴，xpxf1.又y4xp，y4.yp(k0)，yp2，kxpyp2.故选d.答案d4(2017全国卷)过抛物线c：y24x的焦点f，且斜率为的直线交c于点m(m在x轴的上方)，l为c的准线，点n在l上且mnl，则m到直线nf的距离为()a. b2 c2 d3解析解法一：依题意，得f(1,0)，则直线fm的方程是y(x1)由得x或x3.由m在x轴的上方，得m(3,2)，由mnl，得|mn|mf|314，又nmf等于直线fm的倾斜角，即nmf60，因此mnf是边长为4的等边三角形，点m到直线nf的距离为42，选c.解法二：依题意，得直线fm的倾斜角为60，则|mn|mf|4，又nmf等于直线fm的倾斜角，即nmf60，因此mnf是边长为4的等边三角形，点m到直线nf的距离为42，选c.答案c5已知抛物线y24x的焦点为f，准线为l，点p为抛物线上一点，且在第一象限，pal，垂足为a，|pf|4，则直线af的倾斜角等于()a. b.c. d.解析由抛物线定义知|pf|pa|，p点坐标为(3，2)，所以a点坐标为(1,2)，af与x轴夹角为，所以直线af的倾斜角为，选b.答案b6设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5.若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x解析由已知得抛物线的焦点f，设点a(0,2)，抛物线上点m(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，m.由|mf|5得，165，又p0，解得p2或p8，故选c.答案c二、填空题7已知抛物线y24x，过焦点f的直线与抛物线交于a，b两点，过a，b分别作y轴垂线，垂足分别为c，d，则|ac|bd|的最小值为_解析由题意知f(1,0)，|ac|bd|af|fb|2|ab|2，即|ac|bd|取得最小值时，当且仅当|ab|取得最小值由抛物线定义知，当|ab|为通径，即|ab|2p4时，取得最小值，所以|ac|bd|的最小值为2.答案28(2017武汉市武昌区高三三调)已知抛物线：y28x的焦点为f，准线与x轴的交点为k，点p在上且|pk|pf|，则pkf的面积为_解析由已知得，f(2,0)，k(2,0)，过p作pm垂直于准线，则|pm|pf|，又|pk|pf|，|pm|mk|pf|，pfx轴，pfk的高等于|pf|，不妨设p(m2，2m)(m0)，则m224，解得m，故pfk的面积s428.答案89(2016沈阳质量监测)已知抛物线x24y的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，过p作pal于点a，当afo30(o为坐标原点)时，|pf|_.解析设l与y轴的交点为b，在rtabf中，afb30，|bf|2，所以|ab|，设p(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|pf|pa|y01.答案三、解答题10已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于5，过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.(1)求抛物线的方程；(2)若过m作mnfa，垂足为n，求点n的坐标解(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)点a的坐标是(4,4)，由题意得b(0,4)，m(0,2)又f(1,0)，kfa.mnfa，kmn.又fa的方程为y(x1)，故mn的方程为y2x，解方程组得x，y，n的坐标为.能力提升11已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到x轴的最短距离为()a. b. c1 d2解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点a作aa1l交l于点a1，过点b作bb1l交l于点b1，设弦ab的中点为m，过点m作mm1l交l于点m1，则|mm1|.因为|ab|af|bf|(f为抛物线的焦点)，即|af|bf|6，当直线ab过点f时，等号成立，所以|aa1|bb1|6,2|mm1|6，|mm1|3，故点m到x轴的距离d2，选d.答案d12(2016全国卷)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点已知|ab|4，|de|2，则c的焦点到准线的距离为()a2 b4 c6 d8解析如图，设圆的方程为x2y2r2(r0)，抛物线方程为y22px(p0)，a(m，n)，抛物线y22px关于x轴对称，圆关于x轴对称，且|ab|4，|ya|2，xa.a在圆上，8r2.由抛物线y22px知，它的准线方程为x，|de|2，r25.联立可解得p4，c的焦点到准线的距离为4.故选b.答案b13(2017全国卷)已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点，则|fn|_.解析解法一：依题意，抛物线c：y28x的焦点f(2,0)，准线x2，因为m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n，m为fn的中点，设m(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以n(0,4)，|fn|6.解法二：依题意，抛物线c：y28x的焦点f(2,0)，准线x2，因为m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n，m为fn的中点，则点m的横坐标为1，所以|mf|1(2)3，|fn|2|mf|6.答案614(2017山东潍坊期末)已知点a为抛物线m：x22py(p0)与圆n：(x2)2y2r2在第二象限的一个公共点，满足点a到抛物线m准线的距离为r.若抛物线m上动点到其准线的距离与到点n的距离之和的最小上值为2r，则p_.解析圆n：(x2)2y2r2的圆心n(2,0)，半径为r.设抛物线x22py的焦点为f，则|an|af|2r.由抛物线m上一动点到其准线与到点n的距离之和的最小值为2r，即动点到焦点f与到点n的距离之和的最小值为2r，可得a，n，f三点共线，且a为nf的中点由n(2,0)，f，可得a，代入抛物线m的方程可得，12p，解得p.答案15(2017河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在比如我们利用几何画板软件作出抛物线c：x2y的图象(如图)，过焦点f作直线l交c于a，b两点，过a，b分别作c的切线，两切线交于点p，过点p作x轴的垂线交c于点n，拖动点b在c上运动，会发现是一个定值，试求出该定值解由题意，得线段ab是过抛物线x2y焦点f的弦过a，b两点分别作抛物线的切线，两切线相交于p点，则p点在抛物线的准线上下面给出证明：由抛物线c：x2y，得其焦点坐标为f.设a(x1，x)，b(x2，x)，直线l：ykx.将直线l的方程代入抛物线c的方程x2y，得x2kx0.x1x2.又抛物线c的方程为yx2，求导得y2x，抛物线c在点a处的切线的斜率为2x1，切线方程为yx2x1(xx1)；抛物线c在点b处的切线的斜率为2x2，切线方程为yx2x2(xx2)由得y.点p的轨迹方程得y，即点p在抛物线的准线上根据抛物线的定义知|nf|np|，是一个定值1.16设a，b为抛物线y2x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以a，b为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点p.(1)求点p的坐标；(2)m为a，b间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由解(1)由题知a(1,1)，b(4，2)，设点p的坐标为(xp，yp)，切线l1：y1k(x1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k，即l1：yx，同理，l2：yx1.联立l1，l2的方程，可解得即点p的坐标为.(2)设m(y，y0)，且2y01.由得，即解得则1，即为定值1.延伸拓展(2017广西玉林陆川中学期末)从抛物线y24x的准线l上一点p引抛物线的两条切