高考数学 第五章 平面向量 专题18 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考场高招大全.doc

专题十八 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点40平面向量的线性运算和几何意义考场高招1 向量的线性运算的解题规律1.解读高招规律解读典例指引转化到图形中进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解典例导引1(1)巧借几何性质善于利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解典例导引1(2)善于利用结论记忆三角形中某些特殊点的向量线性表示对解题大有益处,常见的结论如下:(1)=0p为abc的重心;(2)d是abc中bc边的中点;(3)p为abc的垂心;(4)()=()=()=0|=|=|o为abc的外心典例导引1(3)2.典例指引1(1)(2016湖北武汉调研)设m为平行四边形abcd对角线的交点,o为平行四边形abcd所在平面内的任意一点,则等于()a.b.2c.3d.4(2)(2016河北衡水中学质检)若点m是abc所在平面内的一点,且满足|3|=0,则abm与abc的面积之比等于()a.b.c.d.(3)(2016四川成都模拟)o是面上一定点,a,b,c是面上abc的三个顶点,b,c分别是边ac,ab的对角.以下命题正确的序号是.动点p满足,则abc的外心一定在满足条件的p点集合中;动点p满足+(0),则abc的内心一定在满足条件的p点集合中;动点p满足+(0),则abc的重心一定在满足条件的p点集合中;动点p满足+(0),则abc的垂心一定在满足条件的p点集合中.【解析】 (1)因为m是平行四边形abcd对角线ac,bd的交点,所以=2=2,所以=4,故选d.(3)对于,由=0,故点p是abc的重心,故错;对于,由+=,因为分别表示方向上的单位向量,故ap平分bac,因此abc的内心一定在满足条件的p点集合中,故正确;对于,由+可知=.在abc中,由于|sinb,|sinc表示bc边上的高h,故)=(其中d为bc的中点),即点p在bc边的中线所在直线上,因此abc的重心一定在满足条件的p点集合中,故正确;对于,由已知可得=.则=,得=0,即点p在边bc的高线所在直线上,因此abc的垂心一定在满足条件的p点集合中,故正确.【答案】 (1)d(2)c(3) 3.亲临考场1 (2013四川,理12)在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,=,则=.(kz)【答案】 22.(2017广东惠州二调)如图,在正方形abcd中,点e为dc的中点,点f为bc上靠近点b的三等分点,则=()a.b.c.d.【答案】 d在cef中,.因为点e为dc的中点,所以.因为点f为bc上靠近点b的三等分点,所以.所以,故选d 考场高招2 三法(定理法、坐标法、结论法)搞定平面向量共线问题 1. 解读高招方法解读适合题型典例指引定理法利用ab的充要条件a=b(b0),可判断两个向量是否共线,三点是否共线等问题已知向量的几何意义或线性表示典例导引2(3)坐标法利用坐标形式,设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab(x1,y1)=(x2,y2),即或x1y2-x2y1=0已知向量的坐标表示或能够建系后利用典例导引2(1)结论法(1)对于向量a,b,|ab|=|a|b|a与b共线.(2)利用三点共线的结论=+(,为实数),若a,b,c三点共线,则+=1已知向量满足结论成立的条件典例导引2(2)2.典例指引2(1)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()a.b.2c.-d.-2(2)(2017广东佛山质检)一直线l与平行四边形abcd中的两边ab,ad分别交于点e,f,且交其对角线ac于点k,若=2=3=(r),则=()a.2b.c.3d.5(3)在abc中,点h是边bc上异于端点b,c的一点,m是ah的中点,=+,则+=. (2)由平行四边形法则,知,)=(2+3)=.e,k,f三点共线,=1,解得=5.故选d.(3)点h是边bc上异于端点b,c的一点,存在实数t使得=t(0t1),+t+t()=(1-t)+t.m为ah中点,+=.【答案】 (1)d(2)d(3)3.亲临考场1.(2012四川,理7)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()a.a=-bb.abc.a=2bd.ab且|a|=|b|【答案】 c因为,则向量是方向相同的单位向量,所以a与b共线同向,即使成立的充分条件为选项c.2.(2015课标,理13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=. 【答案】考点41平面向量的基本定理和坐标运算考场高招3 平面向量基本定理的应用方法1.解读高招方法解读典例指引基底法通过观察图象直接寻求向量之间的关系.具体步骤为:第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则将待求向量表示成两个(或多个)相关向量的和或差;第二步,把相关向量分别进行分解,直到用基底表示出来;第三步,代入第一步中的式子,从而得到结果典例导引3(1)坐标法建立平面直角坐标系,根据向量的坐标运算求解.其一般步骤为:第一步,建立适当的平面直角坐标系;第二步,把基底e1,e2,待求向量m的坐标分别表示出来;第三步,设m=xe1+ye2;第四步,根据向量e1,e2,m的坐标列出相应的方程组,求出x,y,从而得到结果典例导引3(2)2.典例指引3(1)在平行四边形abcd中,ac与bd交于点o,e是线段od的中点,ae的延长线与cd交于点f.若=a,=b,则=()a.a+bb.a+bc.a+bd.a+b(2)(2017河北石家庄一检)已知的夹角为90,|=2,|=1,=+(,r),且=0,则的值为.(2)根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则a(0,0),b(0,2),c(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设m(x,y),则=(x,y),所以=(x,y)(1,-2)=x-2y=0.所以x=2y.又=+,即 (x,y)=(0,2)+(1,0)=(,2),所以x=,y=2.所以. 3.亲临考场1.(2015课标,理7)设d为abc所在平面内一点,=3,则()a.=-b.c.d.2.(2017四川四市第一次联考)如图,四边形abcd是正方形,延长cd至点e,使得de=cd,若点p为cd的中点,且=+,则+=()a.3b.c.2d.1【答案】 b由题意,不妨设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则a(0,0),b(1,0),e(-1,1),p,所以=(1,0),=(-1,1).由=+=(-,)=,得解得所以+=.故选b.考场高招4 向量的坐标表示及运算常用技巧 1.解读高招技巧解读向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底系数,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数2.典例指引4已知向量满足|=|=1,=+(,r).若m为ab的中点,并且|=1,则+的最大值是()a.1-b.1+c.d.1+因为=+(,r),所以=+=(1,0)+(0,1)=(,),即点c(,).所以.因为|=1,所以=1,即点c(,)在以为圆心,1为半径的圆上.令t=+,则直线+-t=0与此圆有公共点,所以d=1,解得-+1t+1,即+的最大值是1+.故选b.【答案】 b3.亲临考场1.(2014福建,理8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是() a.e1=(0,0),e2=(1,2)b.e1=(-1,2),e2=(5,-2) c.e1=(3,5),e2=(6,10)d.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【答案】 b由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,a中e1=0e2,b中e1,e2为两个不共线向量,c中e2=2e1,d中e2=-e1.故选b. 2.