高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案 理.doc

34函数yasin(x)的图象及应用知识梳理1“五点法”作函数yasin(x)(a0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yasin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yasin(x)在r上的图象2函数ysinx的图象经变换得到yasin(x)(a0，0)的图象的步骤如下：诊断自测1概念思辨(1)将函数y3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数yacos(x)的最小正周期为t，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅a的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修a4p57t1)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点()a向左平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动个单位长度d向右平行移动个单位长度答案d解析ysin可变形为ysin，所以将ysin2x的图象向右平行移动个单位长度即可，故选d.(2)(必修a4p70t18)函数f(x)sinxcosxcos2x的最小正周期和振幅分别是()a，1 b，2 c2，1 d2，2答案a解析由f(x)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin，得最小正周期为，振幅为1，故选a.3小题热身(1)(2017柳州模拟)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图，则()a5 b4c3 d2答案b解析由图象可知，x0x0，即t，故4.故选b.(2)(2018成都检测)为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysinx的图象上所有的点向_平移_个单位长度为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度答案左1左题型1函数yasin(x)的图象(2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值用五点法解(1)根据表中已知数据，解得a5，2，.数据补全如下表：x02xasin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysinx的对称中心为(k，0)，kz.令2x2k，kz，解得x，kz.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，kz，解得，kz.由0可知，当k1时，取得最小值.方法技巧函数yasin(x)(a0，0)图象的作法1五点法：用“五点法”作yasin(x)的简图如典例2图象变换法：由函数ysinx的图象通过变换得到yasin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”冲关针对训练(2018济南模拟)设函数f(x)sinxcosx(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到的解(1)f(x)sinxcosx22sin.又t，即2.f(x)2sin.函数f(x)sinxcosx的振幅为2，初相为.(2)令x2x，则y2sin2sinx.列表，并描点画出图象：(3)把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象；再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin2x上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象题型2函数yasin(x)的图象与性质的综合应用(2018滨州模拟)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间本题用方程组法解(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin.由题意知g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)，得sin1，因为00，0)的方法1求a，b，已知函数的最大值m和最小值m，则a，b.2求，已知函数的周期t，则.3求，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，a，b已知)，或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口冲关针对训练(2017朝阳区模拟)已知函数y2cos(x)的图象与y轴相交于点m(0，)，且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点a，点p是该函数图象上一点，点q(x0，y0)是pa的中点，当y0，x0时，求x0的值解(1)将x0，y代入函数y2cos(x)得cos.0，.由已知周期t，且0，2.(2)q(x0，y0)是pa的中点，点a，y0，点p的坐标为(2x0，.又点p在y2cos的图象上，且x0，2cos，4x0，从而得4x0或4x0，解得x0或.1.(2017全国卷)已知曲线c1：ycosx，c2：ysin，则下面结论正确的是()a把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2b把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2c把c1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2d把c1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2答案d解析c2：ysinsincoscos，根据三角函数图象变换的规律，可得d正确故选d.2(2016全国卷)若将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()ax(kz) bx(kz)cx(kz) dx(kz)答案b解析将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y2sin2sin的图象，由2xk(kz)，可得x(kz)则平移后图象的对称轴为x(kz)，故选b.3(2016北京高考)将函数ysin图象上的点p向左平移s(s0)个单位长度得到点p.若p位于函数ysin2x的图象上，则()at，s的最小值为 bt，s的最小值为ct，s的最小值为 dt，s的最小值为答案a解析点p在函数ysin的图象上，tsin，所以p.将点p向左平移s(s0)个单位长度是p.因为p在函数ysin2x的图象上，所以sin(kz)，即cos2s，所以2s2k或2s2k，即sk或sk(kz)，又s0，所以s的最小值为.故选a.4(2017湖北七市联考)函数f(x)asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()a1 b. c. d.答案d解析由题图知a1，函数f(x)的最小正周期t2，所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因为点在图象的上升段上，所以2k(kz)，所以2k(kz)，又|0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点p，则的值可以是()a. b. c. d.答案b解析因为函数f(x)的图象过点p，所以，所以f(x)sin.又函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)sin的图象，所以sin，所以可以为，故选b.5(2018湖北调研)如图所示，某地一天614时的温度变化曲线近似满足函数yasin(x)b的图象，则这段曲线的函数解析式可以为()ay10sin20，x6,14by10sin20，x6,14cy10sin20，x6,14dy10sin20，x6,14答案a解析由三角函数的图象可知，b20，a10，1468t16，则y10sin20，将(6,10)代入得10sin2010sin12k(kz)，取k0，故选a.6(2015安徽高考)已知函数f(x)asin(x)(a，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()af(2)f(2)f(0) bf(0)f(2)f(2)cf(2)f(0)f(2) df(2)f(0)，且2，2，0，f(2)f(2)f(0)，即f(2)f(2)0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数ysin的图象，则需将函数ysinx的图象向_平移_个单位长度答案左解析由图象知函数ysinx的周期为t4，故ysinx.又ysinsin，将函数ysinx的图象向左平移个单位长度，即可得到函数ysin的图象12(2017河南一模)将函数f(x)2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是_答案解析将函数f(x)2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，得g(x)2cos2cos，由2k2x2k，得kxk，kz.当k0时，函数的增区间为，当k1时，函数的增区间为.要使函数g(x)在区间和上均单调递增，则解得a.13(2017三明一模)已知函数f(x)mcos(x)(m0，0,0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，acbc，c90，则f的值为_答案解析依题意，知abc是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边ab上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故m，2，f(x)cos(x)又函数f(x)是奇函数，于是有k，kz.由00)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为_答案解析函数f(x)的图象关于点对称，2k(kz)，解得k，kz.f(x)cos，kz.f(x)的图象向右平移m个单位得到函数ycos(kz)为偶函数，x0为其对称轴，即2mkk1(kz，k1z)，m(kz，k1z)，m0，m的最小正值为，此时kk11，kz，k1z.三、解答题15(2017九原期末)已知函数f(x)3sin3.(1)指出f(x)的最小正周期，并用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求f(x)在0,4上的单调区间；并求出f(x)在0,4上最大值及其对应x的取值集合；(3)说明此函数图象是由ysinx在0,2上的图象经怎样的变换得到的解(1)f(x)的最小正周期为周期t4，列表如下：x02y36303(2)增区间为和；减区间为；f(x)在0,4上的最大值为6，此时x的取值集合为.(3)由ysinx的图象上各点向左平移个长度单位，得ysin的图象；由ysin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得ysin的图象；由ysin的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y3sin的图象；由y3sin的图象上各点向上平移3个长度单位，得y3sin3