高考数学一轮复习 第5章 数列 5.1 数列的概念与表示学案 文.doc

51数列的概念与表示知识梳理1数列的有关概念2数列的分类3数列an的an与sn的关系(1)数列的前n项和：sna1a2an.(2)an特别提醒：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示诊断自测1概念思辨(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()(4)如果数列an的前n项和为sn，则对nn*，都有an1sn1sn.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修a5p31t2)已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()a21 b33 c152 d153答案c解析代n值进行验证，n1时，a满足；n2时，b满足；n12时，d满足故选c.(2)(必修a5p33t4)在数列an中，a12，an1an，则数列a5_.答案解析a12，a22，a3，a4，a5.3小题热身(1)(2017石家庄模拟)数列an：1，的一个通项公式是()aan(1)n1(nn*)ban(1)n1(nn*)can(1)n1(nn*)dan(1)n1(nn*)答案d解析由分子3,5,7,9归纳为2n1，由分母3,8,15,24归纳为n(n2)，奇数项为正，偶数项为负故选d.(2)已知数列an满足：a1a21，an1(n3，nn*)，则a6_.答案解析由题意可得a31，a411，a611.题型1知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1,0，0，0，0，；(4)，1，.注意项与项数的关系，相邻项的变化关系；(1)n在摆动数列中的应用；统一分式观察分子、分母间的关系解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)把数列改写成，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示为an.(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为an.方法技巧由数列的前几项求数列通项公式的策略1对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系如典例(4)2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如典例(1)冲关针对训练(2017青岛模拟)数列1,3,6,10,15，的一个通项公式是()aann2(n1) bann21can dan答案c解析代入进行验证可得选项c成立故选c.题型2数列的周期性在数列an中，a11，a25，an2an1an(nn*)(1)求a2018；(2)求s100.本题采用累加法解(1)由a11，a25，an2an1an(nn*)可得该数列为1,5,4，1，5，4,1,5,4，.由此可得a2018a33662a25.(2)anan1an2，an1an2an3，a3a2a1这n1个式子相加得：anan1a3an1a1，snan1a2(nn*且n2)，s100a99a2a1663a2a3a29.方法技巧数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期冲关针对训练(2018大兴一中模拟)数列an满足an1a1，则数列的第2018项为_答案解析a1，a22a11.a32a2.a42a3.a52a41，a62a51，.该数列周期为t4.a2018a2.题型3由an与sn的关系求通项公式(2017河南八校一联)在数列an中，sn是其前n项和，且sn2an1，则数列的通项公式an_.转化法snan.答案2n1解析依题意得sn12an11，sn2an1，两式相减得sn1sn2an12an，即an12an，又s12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，an2n1.条件探究将本典例条件变为“an2snsn10(n2，nn*)，a1”，则an的通项公式为_答案an解析当n2，nn*时，ansnsn1，snsn12snsn10，易知snsn10，所以2.又s1a1，2，数列是以2为首项，公差为2的等差数列2(n1)22n.sn.当n2，nn*时，an2snsn12.an方法技巧1已知sn求an的三个步骤(1)先利用a1s1求出a1.(2)用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利用ansnsn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如条件探究2sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用ansnsn1(n2)转化为只含sn，sn1的关系式(2)利用snsn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解见典例冲关针对训练设数列an的前n项和为sn，数列sn的前n项和为tn，满足tn2snn2，nn*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，t12s11.t1s1a1，a12a11.a11.(2)当n2时，tn12sn1(n1)2，则sntntn12snn22sn1(n1)22(snsn1)2n12an2n1.当n1时，a1s11也满足上式，sn2an2n1(n1)当n2时，sn12an12(n1)1，两式相减，得an2an2an12，an2an12(n2)an22(an12)(n2)a1230，数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列an232n1，an32n12.当n1时也满足a11，an32n12.题型4由递推关系求通项公式角度1形如an1anf(n)，求an(多维探究)(2015江苏高考)设数列an满足a11，且an1ann1(nn*)，求an.累加法(或凑配法)解由题意可得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n.条件探究将本典例条件“an1ann1”变为“an1an2n”，其他条件不变，则an的通项公式为_答案2n1解析由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.角度2形如an1anf(n)，求an已知数列an满足a1，an1an，则通项公式an_.累乘法答案解析由已知得，分别令n1,2,3，(n1)，代入上式得n1个等式累乘，即，所以，an.又因为a1也满足该式，所以an.角度3形如an1panq，求an(多维探究)已知数列an中，a11，an12an3，则通项公式an_.待定系数法、转化法、构造法答案2n13解析递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12antt3.故递推公式为an132(an3)，令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1，所以an2n13.条件探究1将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，an12an43n1”，求an.解原递推式可化为an13n2(an3n1)比较系数得4，式即an143n2(an43n1)则数列an43n1是一个等比数列，其首项a143115，公比是2.an43n152 n1.即an43n152n1.条件探究2将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，a22，当nn*，an25an16an”，求an.解an25an16an可化为an2an1(5)(an1an)比较系数得3或2，不妨取2.代入可得an22an13(an12an)则an12an是一个等比数列，首项a22a122(1)4，公比为3，an12an43n1.利用上题结果有an43n152n1.当3时结果相同条件探究3将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，an1”，求an.解两边同取倒数得.故是以1为首项，为公差的等差数列，an.方法技巧已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an1anf(n)，常用累乘法(2)形如an1anf(n)，常用累加法(3)形如an1band(其中b，d为常数，b0,1)的数列，常用构造法(4)形如an1(p，q，r是常数)的数列，将其变形为.若pr，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；若pr，则采用(3)的方法来求以上几种为常见的命题方式，下边再列举一些偶有命题形式的几种，以供参考：(5)形如an2pan1qan(p，q是常数，且pq1)的数列，构造等比数列，将其变形为an2an1(q)(an1an)，则anan1(n2，nn*)是等比数列，且公比为q，可以求得anan1f(n)，然后用累加法求得通项(6)形如a12a23a3nanf(n)的式子，由a12a23a3nanf(n)，得a12a23a3(n1)an1f(n1)，再由可得an.(7)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可(8)形如anan1f(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可(9)an1anqan1an(q0)型，将方程的两边同时除以an1an，可构造一个等差数列(10)anpa(n2，p0)型，一般利用取对数构造等比数列冲关针对训练(2014全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.证明是等比数列，并求an的通项公式解由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.1(2018安徽皖江名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为sn则s2018为()a504 b. c d504答案c解析a12，an1，a2，a3，a43，a52，数列an的周期为4，且a1a2a3a4，20184504余2，s20185042.故选c.2(2017河南许昌二模)已知等差数列an满足a11，an2an6，则a11等于()a31 b32 c61 d62答案a解析等差数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.故选a.3(2016浙江高考)设数列an的前n项和为sn.若s24，an12sn1，nn*，则a1_，s5_.答案1121解析解法一：an12sn1，a22s11，即s2a12a11，又s24，4a12a11，解得a11.又an1sn1sn，sn1sn2sn1，即sn13sn1，由s24，可求出s313，s440，s5121.解法二：由an12sn1，得a22s11，即s2a12a11，又s24，4a12a11，解得a11.又an1sn1sn，sn1sn2sn1，即sn13sn1，则sn13，又s1，是首项为，公比为3的等比数列，sn3n1，即sn，s5121.4(2018福州模拟)设数列an的前n项和为sn，满足sn2nan13n24n，nn*，且s315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的第4项解(1)依题意有解得a13，a25，a37.(2)解法一：由s315，sn2nan13n24n得s323a43324315，解得a49.解法二：sn2nan13n24n，当n2时，sn12(n1)an3(n1)24(n1)并整理得an1(n2)a49.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018海南三亚一模)在数列1,2，中，2是这个数列的()a第16项 b第24项 c第26项 d第28项答案c解析设题中数列为an，则a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令2，解得n26.故选c.2数列an中，a11，对于所有的n2，nn*都有a1a2a3ann2，则a3a5 ()a. b. c. d.答案a解析解法一：令n2,3,4,5，分别求出a3，a5，a3a5.故选a.解法二：当n2时，a1a2a3ann2，a1a2a3an1(n1)2.两式相除得an2，a3，a5，a3a5.故选a.3(2018安徽江南十校联考)在数列an中，an1an2，sn为an的前n项和若s1050，则数列anan1的前10项和为()a100 b110 c120 d130答案c解析anan1的前10项和为a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12s10102120.故选c.4(2018广东测试)设sn为数列an的前n项和，且sn(an1)(nn*)，则an()a3(3n2n) b3n2c3n d32n1答案c解析由题意知解得代入选项逐一检验，只有c符合故选c.5(2018金版原创)对于数列an，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()a必要不充分条件 b充分不必要条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析当an1|an|(n1,2，)时，|an|an，an1an，an为递增数列当an为递增数列时，若该数列为2,0,1，则a2|a1|不成立 ，即an1|an|(n1,2，)不一定成立故综上知，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的充分不必要条件故选b.6已知数列an满足：a1，对于任意的nn*，an1an(1an)，则a1413a1314()a b. c d.答案d解析a1，a2，a3，a4，.归纳可知当n为大于1的奇数时，an；当n为正偶数时，an.故a1413a1314.故选d.7(2018江西期末)定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bn.则b10等于()a15 b17 c19 d21答案c解析由得sna1a2an5n2，则sn15(n1)2(n2)，ansnsn110n5(n2)，当n1时，a15也满足故an10n5，bn2n1，b10210119.故选c.8(2018西安模拟)已知函数f(x)(a0且a1)，若数列an满足anf(n)(nn*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()a(0,1) b. c(2,3) d(1,3)答案c解析因为an是递增数列，所以解得2a3，所以实数a的取值范围是(2,3)故选c.9(2018广东三校期末)对于数列xn，若对任意nn*，都有xn1成立，则称数列xn为“减差数列”设bn2t，若数列b3，b4，b5，是“减差数列”，则实数t的取值范围是()a(1，) b(，1c(1，) d(，1答案c解析由数列b3，b4，b5，是“减差数列”，得bn1(n3)，即tt.化简得t(n2)1.当n3时，若t(n2)1恒成立，则t恒成立，又当n3时，的最大值为1，则t的取值范围是(1，)故选c.10(2018湖北八校模拟)已知数列an满足：a11，an1(nn*)若bn1(n2)(nn*)，b1，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围是()a b1 c d答案a解析数列an满足：a11，an1(nn*)，an0，1，则12，数列是等比数列，且首项为12，公比为2，12n.bn1(n2)(n2)2n(nn*)，bn(n12)2n1(n2)，数列bn是单调递增数列，bn1bn，(n2)2n(n12)2n1(n2)，可得(n2)，b1，(12)2，解得，综上，的取值范围是0，且na(2n1)an1an2a0.设m(x)表示整数x的个位数字，则m(a2017)_.答案6解析由已知得(nan1an)(an12an)0，an0，an12an0，则2，a11，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an12n12n1.a22，a34，a48，a516，a632，a764，a8128，n2时，m(an)依次构成以4为周期的数列m(a2017)m(a5)6，故答案为6.13(2017吉林模拟)若数列an满足a1，an1(n2且nn*)，则a2016等于_答案2解析a1，an1(n2且nn*)，a2111，a3112，