高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离.doc

第45讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离解密考纲空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，距离主要是点到直线的距离或点到平面的距离，这些知识有时在选择题或填空题中考查，有时在解答题立体几何部分的第(2)问或第(3)问考查，难度适中一、选择题1已知三棱锥sabc中，sa，sb，sc两两互相垂直，底面abc上一点p到三个面sab，sac，sbc的距离分别为，1，则ps的长度为(d)a9bcd3解析 由条件可分别以sa，sb，sc为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系sxyz，则点s的坐标为(0,0,0)，点p的坐标为(，1，)，由两点之间的距离公式可得ps3.2在直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于(c)a30b45c60d90解析 不妨设abacaa11，建立空间直角坐标系如图所示，则b(0，1,0)，a1(0,0,1)，a(0,0,0)，c1(1,0,1)，所以(0,1,1)，(1,0,1)，所以cos，所以，60，所以异面直线ba1与ac1所成的角等于60.3在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为(b)abcd解析 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，所以(0,1，1)，.设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则(b)alblcldl与斜交解析 u2a，ua，则l.5已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为(b)abcd解析 如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设p在平面abc上射影为o，则可求得ao长为1，故ap的长为2.故pao，即pa与平面abc所成的角为.6已知三棱锥sabc中，底面abc是边长等于2的等边三角形，sa底面abc，sa3，那么直线ab与平面sbc所成角的正弦值为(d)abcd解析 如图所示，过点a作adbc于点d，连接sd；作agsd于点g，连接gbsa底面abc，abc为等边三角形，bcsa，bcadbc平面sad又ag平面sad，agbc又agsd，ag平面sbcabg即为直线ab与平面sbc所成的角ab2，sa3，ad，sd2.在rtsad中，ag，sinabg.二、填空题7在正三棱柱abca1b1c1中，ab1，点d在棱bb1上，若bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正切值为_.解析 如图，设ad与平面aa1c1c所成的角为，e为ac的中点，连接be，则beac，所以be平面aa1c1c，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .8如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为_.解析 不妨令cb1，则cacc12，可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，0.所以与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，所以直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.9正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为_.解析 以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a1(0,0,1)，e，f，d1(0,1,1)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又，点f到平面a1d1e的距离为d.三、解答题10如图，直三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点(1)求证：平面ab1d平面abb1a1；(2)求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；(3)求平面ab1d与平面abc所成锐二面角的大小解析 (1)证明：取ab1的中点e，ab的中点f，连接de，ef，cf.e，f分别是ab1，ab的中点，efbb1，且efbb1.三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，d是cc1的中点，cdef，且cdef，四边形cdef为平行四边形，decf.abc是正三角形，cfab三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，bb1cf，而bb1abb，cf平面abb1a1.decf，de平面abb1a1.de平面ab1d，平面ab1d平面abb1a1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则a，c(0，a,0)，d，b1(0,0，a)，(0，a,0)，设异面直线ab1与bc所成角为，则cos ，故异面直线ab1与bc所成角的余弦值为.(3)由(2)得，.设n(1，y，z)为平面ab1d的一个法向量由得即n.显然平面abc的一个法向量为m(0,0,1)则cosm，n，故m，n.即所求二面角的大小为.11(2016全国卷)如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点(1)证明：mn平面pab；(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值解析 (1)证明：由已知得amad2.取bp的中点t，连接at，tn，由n为pc的中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tnam，故四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab(2)取bc的中点e，连接ae.由abac得aebc，从而aead，且ae.以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.由题意知，p(0,0,4)，m(0,2,0)，c(，2,0)，n，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面pmn的法向量则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.即直线an与平面pmn所成角的正弦值为.12(2017天津卷)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2.(1)求证：mn平面bde；(2)求二面角cemn的正弦值；(3)已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长解析 如图，以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得b(2,0,0)，c(0,4,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0,2,2)，m(0,0,1)，n(1,2,0)(1)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为mn平面bde，所以mn平面bde.(2)易知n1(1,0,0)为平面cem的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面emn的法向量，则因为(0，2，1)