高考数学 考点突破——推理与证明：合情推理与演绎推理学案.doc

合情推理与演绎推理【考点梳理】1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断【考点突破】考点一、归纳推理【例1】(1)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()a2 018b2 019c2 020 d2 021(2)观察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515n(n1)(n2)(n3)_.(3)分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 018_.答案 (1) d(2) n(n1)(n2)(n3)(n4) (3) 解析 (1)根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a7，a8，a9，第三层的五个数为a14，a15，a16，a17，a18，这九个数之和为a3a245a809a104.由9a1042 021，得a213，是自然数，故选d.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n1)(n2)(n3)(n4)n(n1)(n2)(n3)(n4)(3)根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1，0)，第2行记为(2，1)，第3行记为(5，4)，第4行的白圈数为25414，黑圈数为52413，所以第4行的“坐标”为(14，13)，同理可得第5行的“坐标”为(41，40)，第6行的“坐标”为(122，121)，.各行黑圈数乘2，分别是0，2，8，26，80，即11，31，91，271，811，所以可以归纳出第n行的黑圈数an(nn*)，所以a2 018.【类题通法】破解归纳推理的思维步骤【对点训练】1数列，的第20项是()abcd答案 c解析 数列在数列中是第123m项，当m5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选c.2观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.答案 n(n1)解析 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1)3下面图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_. 答案 (nn*)解析 由题图知第n个图形的小正方形个数为123n.所以总个数为(nn*)考点二、类比推理【例2】(1)设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列bn的前n项积为tn，则_成等比数列(2) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于_答案 (1) t4，(2) b2a解析 (1)利用类比推理把等差数列中的差换成商即可(2)椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积v2(v圆柱v圆锥)2b2a.【类题通法】1进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键2类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等【对点训练】1若p0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过p0作椭圆的两条切线的切点为p1，p2，则切点弦p1p2所在的直线方程是1，那么对于双曲线，则有如下命题：若p(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过p0作双曲线的两条切线，切点为p1，p2，则切点弦p1p2所在直线的方程是_答案 1解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线1的切点弦方程为1.2若等差数列an的前n项之和为sn，则一定有s2n1(2n1)an成立若等比数列bn的前n项之积为tn，类比等差数列的性质，则有()at2n1(2n1)bn bt2n1(2n1)bnct2n1(2n1)bn dt2n1b答案 d解析 在等差数列an中，a1a2n12an，a2a2n22an， ，故有s2n1(2n1)an，在等比数列bn中，b1b2n1b，b2b2n2b，故有t2n1b1b2b2n1b.考点三、演绎推理【例3】来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是()a甲日德、乙法德、丙英法、丁英德b甲日英、乙日德、丙德法、丁日英c甲日德、乙法德、丙英德、丁英德d甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案 a解析 分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除b选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除d选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除c选项，故选a.【类题通法】演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.【对点训练】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是