信号与系统课程设计.doc

唐山学院课程实践目 录1 引言12 MATLAB程序入门和基础应用22.1 MATLAB软件的基本使用方法设计的总体设计22.2数值运算22.3符号运算32.4可视化功能42.4.1 plot(y)函数42.4.2 plot(t,y)函数42.4.3 plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)函数52.4.4二维特殊图形函数53 时域分析63.1零状态响应63.2阶跃响应和冲激响应63.3连续信号卷积83.4小结114 频域分析124.1傅立叶变换124.2时移特性124.3频移特性144.3小结165 复频域分析176总结21参考文献221引言信号与系统中的计算和图像都比较抽象，学习的时候对其中的理论和分析方法都难以把握，用MATLAB可以较好的解决这一问题。基于MATLAB的信号仿真分析的设计主要包括MATLAB程序入门和基础应用、连续时间LTI系统的时域分析、频域分析和复频域分析。MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。作为强大的科学计算平台，它几乎满足所有的计算要求。随着对仿真和程序设计通用性及可视化需求的日益增加，MATLAB着重改善了图形用户界面的制作，极大地满足了我们的需求。MATLAB软件是1984年由Mathworks公司推出,目前已成为国际上最流行、应用最广泛的科学与工程计算软件。利用MATLAB帮助完成数值计算、信号与系统分析，可更快速、准确、形象、直观的得到可视化计算机模拟与仿真，实现课程的最佳效果。人们很难直接从一大堆原始的离散数据中感受到它们的含义，数据图形恰能使人们直接感受到数据的许多内在的本质。因此，数据可视化是人们研究数学，认识世界不可缺少的手段。MATLAB的出现给信号与系统分析中一些理论的掌握提供了很大的方便。如果直接计算后用手工绘制不仅繁琐而且精确度低，用MATLAB可以快速精确的绘制出图形。2 MATLAB程序入门和基础应用MATLAB 是一个功能强大的数学软件, 它不但可以解决数学中的数值计算问题, 还可以解决符号演算问题, 并且能够方便地绘出各种函数图形。学习MATLAB软件的基本使用方法，主要包括了解MATLAB的数值运算、符号运算、可视化功能以及MATLAB程序设计入门。2.1 MATLAB软件的基本使用方法本启动MATLAB后, 出现MATLAB命令窗口，空白区域是MATLAB 的工作区, 在此可输入和执行命令。使用MATLAB的注意事项主要有1、在工作区输入MATLAB命令后, 按下Enter键才能执行命令；2、MATLAB 是区分字母大小写的；3、如果不想显示结果，只要在所输入命令的后面加上一个分号“；”即可；4、命令行与M文件中的百分号“%”标明注释。MATLAB窗口如图2-1所示。 表2-1 MATLAB窗口2.2数值运算MATLAB数值运算主要包括矩阵、向量、数组和多项式，其数据类型有数值，字符串，逻辑，元胞，结构和类等。每一种数据类型的数据都是以矩阵或数组的形式表现出来。数值类型可分为双精度型和单精度型；字符串是指包含在一对单引号中的字符集合，字符串中的每个字符（含空格）都是字符数组的一个元素，在MATLAB中字符串和字符数组都是等价的；结构数据（structure）把一组不同类型的数据同时又是在逻辑上相关的数据组成一个有机的整体；类（class）与不同的数据类型不同的是不仅包含数据，还包含对数据的操作，类把数据和数据操作方法封装在一起，作为一个整体参与程序的运行，具有可继承性。 MATLAB的运算符：数学运算符：+，-，*, （左除）, / (右除) , (乘幂) ；关系运算符：, =, = =(等于), = (不等于)；逻辑运算符：&(逻辑与), |( 逻辑或), ( 逻辑非)MATLAB中的常用三角函数如表2-1所示。表2-1常用三角函数函数名称函数功能sinx函数名称函数功能sin(x)正弦函数cosxasin(x)反正弦函数asinxcos(x)余弦函数tanxacos(x)反余弦函数acosxtan(x)正切函数cotxatan(x)反正切函数atanxcot(x)余切函数cotxacot(x)反余切函数acotxsec(x)正割函数secxasec(x)反正割函数asecx计算函数如表2-2所示。表2-2 计算函数函数名称函数功能abs(x)求变量x绝对值|x|sqrt(x)求变量x的算术平方根real(x)求复数x的实部image(x)求复数x的虚部round(x)四舍五入至最近整数fix(x)无论正负，舍去小数至最近整数sign(x)符号函数rem(x，y)求x除以y的余数exp(x)自然指数pow2(x)2的指数log(x)自然对数lnxlog2(x)以2为底的对数log10(x)以10为底的对数2.3符号运算MATLAB的符号运算工具箱（symbolic toolbox）可以提供150多个函数，基本上可以实现常用的各种符号计算功能，同时具有与MATLAB的接口，以实现更多的功能。符号运算与数值运算的区别有：数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算；符号运算中无需事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表示。字符串中以单引号设定输入或赋值，字符数组的生成函数为char,:stract(链结串),strvcat（垂直链结串）,strcmp（比较串）,strcmp（比较串前的前N个字符）,findstr（在其他串中找此串）,strjust（验证字符数组）,strrep（以其他事代替此事）,strtok（寻找串中记号）,upper（转换为大写）,lower（转换串为小写）,blank(生成空格),deblank（移去串内空格）复合函数的运算主要有以下几种形式：Compose 复合函数运算函数；Compose（f,g） 返回当时的复合函数，这里是syms定义的符号变量；Compose(f,g,z) 返回自变量为复合函数；反函数的运算：Finverse 反函数运算函数；Finverse（f） 符号函数的反函数，仅一个变量时用；Finverse（f,v） 符号函数的反函数，为自变量，有多个变量时使用。符号矩阵的创立：使用sym函数。2.4可视化功能2.4.1 plot(y)函数 功能: 画一条或多条折线图。其中y是数值向量或数值矩阵。说明：当y是数值向量时，plot(y)在坐标系中顺序的用直线段连接顶点（i,y(i)）画出一条折线图;当y是数值矩阵时，MATLAB为矩阵的每一列画出一条折线，绘图时，以矩阵y每列元素的相应行下标值为横坐标，以y的元素为纵坐标绘制的连线图。2.4.2 plot(t,y)函数 功能:画一条或多条折线图。其中x可以是长度为n的数值向量或是nm的数值矩阵，y 也可以是长度为n的数值向量或是nm的数值矩阵。说明：当x ,y 都是长度为n的数值向量时，plot(x,y)在坐标系中顺序的用直线段连接顶点（x(i),y(i)）画出一条折线图;当x 是长度为n的数值向量且y是nm的数值矩阵时，plot(x,y)用向量x分别与矩阵y的每一列匹配, 在同一坐标系中绘出m条不同颜色的折线图;当x 和y都是nm的数值矩阵时，plot(x,y)分别用矩阵x的第i列与矩阵y的第i列匹配,在同一坐标系中绘出m条不同颜色的折线图。注: plot(x,y)命令可以用来画通常的函数f(x)图形, 此时向量x常用命令x=a:h:b的形式获得f(x)函数在绘图区间a,b上的自变量点向量数据,对应的函数向量值取为y= f(x)。步长h可以任意选取，一般,步长越小,曲线越光滑,但是步长太小,会增加计算量,运算速度要降低。通常步长h取为0.1可以达到较好的绘图效果。如果想在图形中标出网格线，用命令：plot(x,y)，grid on即可。2.4.3 plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)函数功能:在同一图形窗口画出多条不同颜色曲线，曲线关系为： 。2.4.4 二维特殊图形函数常用到的二维特殊图形如表2-3所示。表2-3 二维特殊函数图形函数名称功能函数名称功能bar直方图loglog双对数曲线barh垂直的直方图semilogxx轴对数坐标曲线bar3三维直方图semilogyy轴对数坐标曲线bar3h垂直的三维直方图polar极坐标曲线hist统计直方图stairs阶梯图pie饼图stem火柴棍图pie3三维饼图pcolor伪彩图fplot数值函数二维曲线area面积图ezplot符号函数二维曲线errorbar误差棒棒图gplot绘拓扑图quiver矢量场图fill平面多边形填色ribbon代状图3 时域分析连续时间LTI系统的时域分析主要有以下几个部分：1、利用MATLAB求解连续系统的零状态响应；2、利用MATLAB求解连续系统的冲激响应；3、利用MATLAB求解连续系统的阶跃响应；4、利用MATLAB实现连续信号卷积的方法。3.1零状态响应对于设计的系统给定一般激励信号，建立仿真模型，仿真分析系统的响应。求解所设计的系统的零输入响应，零状态响应。如：; ; 零输入响应：LTI系统的完全响应可以分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅有系统的初始状态x(0)所引起的响应，用表示。零状态响应是系统的初始状态为零时仅由输入信号f(t)引起的响应，用表示。零状态响应程序：td=0.01;t=0:td:10;sys=tf(3 2,1 4 4);f=exp(-t);y=lsim(sys,f,t);plot(t,y);xlabel(t(sec);ylabel(y(t);title(零状态响应y(t)grid onMATLAB的仿真波形如图3-1所示。3.2阶跃响应和冲激响应冲激响应：一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲击函数所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。阶跃响应：一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。冲激响应程序：sys=tf(3 2,1 4 4);t=0:0.05:5;图3-1 零状态响应h=impulse(sys,t);plot(t,h);xlabel(Time(sec)ylabel(h(t)title(冲激响应h(t)grid onMATLAB的仿真波形如图3-2所示。阶跃响应程序：sys=tf(3 2,1 4 4);t=0:0.05:5;g=step(sys,t);plot(t,g);xlabel(Time(sec)ylabel(g(t)title(阶跃响应g(t)grid on；MATLAB的仿真波形如图3-3所示。图3-2 冲激响应3.3连续信号卷积连续时间信号卷积：；用到的符号有：function f,k=sconv(f1,f2,k1,k2,p) %计算连续信号卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t)%f: 卷积积分f(t)对应的非零样值向量%K: f(t)的对应时间向量%f1: f1(t)的非零样值向量%f2: f2(t)的非零样值向量%K1: 序列f1(t)的对应时间向量%K2: 序列f2(t)的对应时间向量%p: 取样时间间隔图3-3 阶跃响应卷积程序k1=0:0.01:2;k2=0:0.01:2;p=0.01;f1=0.5*(0:0.01:2);f2=0.5*(0:0.01:2);f=conv(f1,f2); f=f*p;k0=k1(1)+k2(1); k3=length(f1)+length(f2)-2;k=k0:p:k0+k3*p; subplot(3,3,1)plot(k1,f1)title(f1(t)xlabel(t)ylabel(f1(t)subplot(3,3,4)plot(k2,f2) title(f2(t)xlabel(t)ylabel(f2(t)subplot(3,3,7)plot(k,f); h=get(gca,position);h(3)=2.5*h(3);set(gca,position,h)title(f(t)=f1(t)*f2(t)xlabel(t)ylabel(f(t)MATLAB仿真波形如图3-4所示。图3-4 卷积图形3.4小结在信号与系统中，LTI连续时间系统用线性常系数微分方程来描述。在已知系统的输入信号及初始状态的情况下，便可用时域经典法求得系统的响应，但对于高阶系统，由于其特征方程是高次的，因此利用MATLAB提供的函数对LTI连续系统的响应进行仿真，将使手工计算高次方程得到简化。MATLAB提供的函数不仅能绘制出系统在指定的任意时间范围内系统响应的时域波形图，还能求出任意时间范围内系统响应的数值解，它是求连续、有限时域的零状态响应、冲击响应和阶跃响应非常有效的方法。我们还可以通过MATLAB获得自己想要的图形，增强了对某些信号或响应的物理解释，可以把知识融会贯通。4 频域分析连续时间LTI系统的频域分析主要是利用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换，分析LTI系统的频域特性和LTI系统的输出响应。冲击响应反映了系统的时域特性，而频率响应反映了系统的频域特性二者的关系为：通常频率响应函数（系统函数）可定义为系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即：它是频率的复函数，可写为：，其中是角频率为的输出与输入信号幅度之比，称为幅频特性；是输出与输入信号的相位差，称为相频特性。4.1傅立叶变换若，则傅立叶变换的频移特性为：如已知f(t)=2/3*e-t*u(t)，求其波形。变换程序：syms t;f=2/3*exp(-3*t)*sym(heaviside(t);F=fourier(f);subplot(2,1,1);ezplot(f);subplot(2,1,2);ezplot(abs(F);MATLAB仿真波形如图4-1所示。4.2时移特性若，则傅立叶变换的时移特性为：如已知f(t)=2/3*e-3t*u(t)，求其波形图及时移特性曲线时移程序如下：图4-1 傅里叶变换r=0.02;t=-5:r:5;N=200;Y=2*pi;k=-N:N;w=k*Y/N;f1=1/2*exp(-2*t).*stepfun(t,0);F=r*f1*exp(-j*t*w);F1=abs(F);P1=angle(F);subplot(3,1,1);plot(t,f1);grid;xlabel(t);ylabel(f(t);title(f(t);subplot(3,1,2)plot(w,F1);grid;xlabel(w);ylabel(F(jw);subplot(3,1,3)plot(w,P1*180/pi);gridxlabel(w);ylabel(相位（度）);MATLAB仿真波形如图4-2所示。图4-2 时移特性4.3频移特性若，则傅立叶变换的频移特性为：设，试用MATLAB绘出频谱和频移程序：R=0.02;t=-2:R:2;f=stepfun(t,-1)-stepfun(t,1); 图4-3 频移特性f1=f.*exp(-j*10*t);f2=f.*exp(j*10*t);W1=2*pi*5; N=500;k=-N:N;W=k*W1/N; F1=f1*exp(-j*t*W)*R; F2=f2*exp(-j*t*W)*R; F1=real(F1);F2=real(F2);subplot(2,1,1);plot(W,F1); xlabel(w);ylabel(F1(jw);title(频谱F1(jw); subplot(2,1,2);plot(W,F2); xlabel(w);ylabel(F2(jw);title(频谱F2(jw);MATLAB仿真波形如图4-3所示。4.4小结通过利用MATLAB实现连续时间信号的傅里叶变换，进行了对LTI系统的频域分析，更深刻的了解了傅里叶变换的波形，以及它的时移特性和频移特性，由于课上老师讲的很抽象，这次利用MATLAB加深了我对信号处理的理解。5 复频域分析连续时间LTI系统的复频域分析主要是利用MATLAB进行部分分式展开，分析LTI系统的特性，利用MATLAB进行Laplace正、反变换。我们已经知道，直接用拉普拉斯逆变换（Inverse transform）的定义公式计算逆变换是很困难的，通常的计算拉普拉斯逆变换的方法是长除法（Long division）和部分分式分解法（Partial fraction expension）。MATLAB的内部函数residue()可以帮助我们完成拉普拉斯逆变换的计算。拉普拉斯变换（The Laplace transform）主要用于系统分析。描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function）”H(s)：系统函数的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response）的拉普拉斯变换。因此，系统函数也可以定义为：所以，系统函数的一些特点是和系统的时域响应的特点相对应的。在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Defrential Equation），经过拉氏变换之后得到系统函数。描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为：对式两边做拉普拉斯变换，则有 即上式说明，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。如已知某信号的拉普拉斯变换表达式为： 求该信号的时域表达式。分析：由于题目没有指定收敛域，所以必须考虑所有可能的情况。为此，可以先计算出该信号的拉普拉斯变换表达式的极点。很显然，X(s)有两个极点，分别为 s = -1，s = -2。零极点分布图如图5-1所示。图5-1 零点分布图 在MATLAB命令窗口键入： b = 1; a = 1 3 2; r, p, k = residue (b, a)命令窗口立即给出计算结果为：r = -1 1 p = -2 -1k = 根据r、p、k之值，可以写出X(s)的部分分式和的表达式为：然后根据不同的ROC，可写出X(s)的时域表达式x(t)。第一种情况，ROC为Res -2，则x(t)为反因果信号，其数学表达式为：第二种情况，ROC为 -2 Res -1，则x(t)为因果信号，其数学表达式为： 在这个例题中，函数residue()仅仅完成了部分分式分解的任务，至于逆变换的数学表达式的结果是什么，还得结合收敛域的不同才能写出。如果X(s)的分子的阶不小于分母的阶，则k将不等于一个空矩阵，例如，当时，我们在命令窗口中键入 输入： b = 1 0 0 0; a = 1 3 2; r,p,k=residue(b,a)图5-2 运行程序则：r = 8 -1p = -2 -1k = 1 -3MATLAB编程运行如图5-2所示。这里的k = 1 3，实际上是将X(s)做了一个长除法后，得到的商的多项式。所以，根据上面的r、p、k之值，可写出X(s)的部分分式和的表达式为： 6 总结通过实验可知用MATLAB得出的结果同计算的结果是相符合的。连续系统的零状态响应、冲激响应和阶跃响