时间序列分析ch3习题解答7-11

时间序列分析时间序列分析第五次作业题 第三章第五次作业题 第三章 7 11 题 题 解答解答 第第三三章章 P P 100 3 5 100 3 5 习习 题题 7 已知某中心化已知某中心化 MA 1 模型模型 1 阶自相关系数阶自相关系数 1 0 4 求该模型的 求该模型的 表达式 表达式 解 设该解 设该 MA 1 模型为 模型为 2 11 0 tttt xWN 1 1 2 1 0 4 1 2 1111 2 510 2or0 5 所以 所以 该模型有两种可能的表达式 该模型有两种可能的表达式 1 1 2 ttt x 和和 1 2 ttt x 8 确确 定 常 数定 常 数 C 的 值 以 保 证 如 下 表 达 式 为的 值 以 保 证 如 下 表 达 式 为 MA 2 模 型 模 型 123 100 50 8 ttttt xxC 解 将表达式移项 得 解 将表达式移项 得 23 1 0 5 10 1 0 8 tt B xBCB 所以 当所以 当 23 1 0 8 BCB 可分解出因子可分解出因子 1 0 5 B 时 时 可认为可认为 23 2 123 1 0 8 2020 1 0 5 ttt BCB xBB B 2 20 1 0 50 55 tt xBB 为为 MA 2 模型 模型 用除式可以解得 当用除式可以解得 当 C 0 275 时 表达式为时 表达式为 MA 2 模型 模型 附 显然 当 23 1 0 8 BCB 能 够 整 除 10 5 B 时 模 型MA 2 模 型 由 此2B 是 23 1 0 80BCB 的根 故0 275C 9 已知已知 MA 2 模型为 模型为 2 12 0 70 4 0 ttttt xWN 求求 1 ttk E xVar xk 及 解 解 1 12 0 70 4 0 tttt E xE 2 2222 12 0 70 4 1 0 70 4 1 65 tttt Var xVar 3 12 112 22 12 2 22 12 0 7 0 4 1 1 0 k 1 2 3 k k k 98 1 165 8 2 33 0 3 k k k 0 593939 1 0 242424 2 0 3 k k k 10 证明 证明 1 对任意常数对任意常数 C 如下定义的无 如下定义的无穷阶穷阶 MA 序列一定是非平稳序列 序列一定是非平稳序列 2 12 0 ttttt xCWN 2 t x 的的 1 阶差分序列一定是平稳序列 并求阶差分序列一定是平稳序列 并求 t y 自相关系数表自相关系数表 达式 达式 1ttt yxx 解 解 1 1 证明 因为 证明 因为 22 lim 1 t k Var xkC 所以该序列为非平稳 所以该序列为非平稳 序列 序列 2 2 11 1 ttttt yxxC 该序列均值 方差为常数 该序列均值 方差为常数 0 t E y 22 1 1 t Var yC 自相关系数只与时间间隔长度有关 与起始时间无关自相关系数只与时间间隔长度有关 与起始时间无关 1 2 1 0 2 1 1 k C k C 所以该差分序列为平稳序列 所以该差分序列为平稳序列 另解 另解 即 即 1 1 1 tT B xCB 显然模型的显然模型的 AR 部分的特征根是部分的特征根是 1 模型非平稳 模型非平稳 2 11 1 ttttt yxxC 为为 MA 1 模型平稳 模型平稳 1 1 22 1 1 122 C CC 11 检验下列模型的平稳性与可逆性 其中检验下列模型的平稳性与可逆性 其中 t 为白噪声序列 为白噪声序列 1 12 0 51 2 tttt xxx 2 12 1 10 3 tttt xxx 3 12 0 90 3 tttt x 4 12 1 30 4 tttt x 5 11 0 70 6 tttt xx 6 121 0 80 51 1 ttttt xxx 解 解 1 非平稳 2 平稳 3 可逆 4 不可逆 5 平稳可逆 6 不平稳不可逆 1 12 0 5 1 2 2 1 21 该模型不平稳 该模型不平稳 2 12 1 1 0 3 12 1123 111 11 111 1 2 1 tttt tttt ttttt tt tttttt xC xC xxC x xCxC C 由 1 2 得 或者 2 21 21 1 0 3 1 10 81 0 3 1 11 41 所以该模型平稳 所以该模型平稳 3 12 0 9 0 3 2 21 21 0 31 0 30 90 61 0 30 91 21 又又 2q 模型可逆 模型可逆 4 12 1 3 0 4 21 0 4 1 31 71 模型不可逆 模型不可逆 2q 所以该模型为平稳不可逆模型 所以该模型为平稳不可逆模型 5 模型可化为 模型可化为 1 0 7 1 0 6 tt B xB 11 0 71 0 61 该该 ARMA 1 1 模型为平稳可逆模型 模型为平稳可逆模型 6 模型为 模型为 121 0 80 51 1 ttttt xxx 平稳性 平稳性 12 0 8 0