高考数学专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题限时规范训练理.docx

第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1(2019山西太原模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：ykxm(km0)，1，p2，曲线E的方程为y24x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1x2，(2km4)24m2k216(1km)0.5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km0，直线l的方程为yk(x5)，直线l必经过定点(5,0)2(2019成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值解析：(1)由题意，得2b4，又a2c2b2，a3，b2，c1.椭圆方程为：1.(2)由(1)，可知A(3,0)，B(3,0)，F1(1,0)，据题意，F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆的另一交点为M，设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)，F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2)，联立消去y，得14x227x90.x1x2，x1，x2，k1，k2.3k12k2320，即3k12k2的值为0.3(2019山东济宁模拟)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，点M是直线yx与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|5.(1)求抛物线E的方程；(2)如图，不过原点的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与y轴相交于点Q，过点A，B分别作抛物线E的切线，与x轴分别相交于C，D两点判断直线QC与直线BD是否平行？直线QC与直线QD是否垂直？并说明理由解析：(1)依题意，设点M(t，t)(t0)由|MF|5，得t5.又点M在抛物线E上，则t22pt(t0)，即t2p，联立，解得p2，所以抛物线E的方程为x24y.(2)由(1)知抛物线E：x24y，设直线l的方程为ykxb(b0)，则Q(0，b)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx4b0，则x1x24k，x1x24b.由x24y得yx2，从而yx，所以过点A(x1，y1)的切线方程为yx(xx1)，令y0，得C，同理可得D，所以kQC，kBD，所以QCBD.若QCQD，则(b)(b)b2b2b0，解得b1(b0舍去)，所以当Q为焦点F时，b1，此时QCQD；当Q不为焦点F时，QC与QD不垂直4(2019上海模拟)已知抛物线方程y24x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P).(1)当P时，求d(P)；(2)证明：存在常数a，使得2d(P)|PF|a；(3)P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|P2P3|，判断d(P1)d(P3)与2d(P2)的关系解析：(1)抛物线方程y24x的焦点F(1,0)，P，kPF，PF的方程为y(x1)，代入抛物线的方程，解得xQ，抛物线的准线方程为x1，可得|PF|，|QF|1，d(P).(2)证明：当P(1,0)时，a2d(P)|PF|2222，设P(1，yP)，不妨设yP0，PF：xmy1，则myP2，联立xmy1和y24x，可得y24my40，yQ2m2，2d(P)|PF|2yP222，则存在常数a，使得2d(P)|PF|a.(3)设P1(1，y1)，P2(1，y2)，P3(1，y3)，则2d(P1)d(P3)4d(P2)|P1F|P3F|2|