高考数学一轮复习 第八章 第4讲 直线、平面垂直的判定及性质课件 理 苏教版 .ppt

考点梳理 1 定义 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 直线都垂直 就说这条直线和这个平面互相垂直 2 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 用符号语言表示为 a b a b p l a l b l 第4讲直线 平面垂直的判定及性质 1 直线与平面垂直 任意一条 相交 3 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 用符号语言表示为 a b a b 4 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角 或直角 叫做这条直线与这个平面所成的角 射影 1 定义 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作 棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 2 二面角的大小是通过其平面角来度量的 而二面角的平面角须具有以下三个特点 顶点在棱上 两边分别在两个面内 两边与棱都垂直 3 作二面角平面角常用的方法是定义法和垂直面法 2 二面角 垂直于 1 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 用符号语言表示为a a 3 性质定理 如果两个平面垂直 那么一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面 用符号语言表示为 l a a l a 3 面面垂直 直二面角 垂线 交线 高考中始终将直线与平面垂直的性质与判定作为考查的重点 尤其是以多面体为载体的线面平行 垂直的证明 更是年年考 并且在难度上以中档题为主 预计高考中本节内容仍为考试的重点和热点 助学 微博 题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 解析由公理4知 是真命题 在空间内a b b c 直线a c的关系不确定 故 是假命题 由a b 不能判定a b的关系 故 是假命题 是直线与平面垂直的性质定理 答案 考点自测 1 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命 2 2012 南通第一学期期末考试 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l l m l m 其中正确的命题是 填序号 答案 3 2012 无锡市第一学期期末考试 对于直线m n和平面 有如下四个命题 若m m n 则n 若m m n 则n 若 则 若m m n n 则 其中正确命题是 填序号 答案 4 2012 盐城调研 如图 二面角 l 的大小是60 线段ab b l ab与l所成的角为30 则ab与平面 所成的角的正弦值是 解析如图 过点a作ao 平面 于点o 作oc l于点c 连接ac 则ac l aco为平面 与平面 所成二面角的平面角 且 aco 60 5 2011 全国卷 已知直二面角 l 点a ac l c为垂足 b bd l d为垂足 则ab 2 ac bd 1 则d到平面abc的距离等于 例1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 2 pd 平面abe 考向一直线与平面垂直的判定与性质 证明 1 由四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pa ab 又 ab ad且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 方法总结 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用 这是证明空间垂直关系的基础 由于 线线垂直 线面垂直 面面垂直 之间可以相互转化 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开 这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 证明由题意可知 pac为等腰直角三角形 abc为等边三角形 1 因为o为边ac的中点 所以bo ac 因为平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac bo 平面abc 所以bo 平面pac 因为pa 平面pac 所以bo pa 在等腰直角三角形pac内 o e为所在边的中点 所以oe pa 又bo oe o 所以pa 平面ebo 例2 如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce ec ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 考向二平面与平面垂直的判定与性质 方法总结 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 训练2 2011 江苏卷 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 证明 1 如图 在 pad中 因为e f分别为ap ad的中点 所以ef pd 又因为ef 平面pcd pd 平面pcd 所以直线ef 平面pcd 2 连结bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ad的中点 所以bf ad 因为平面pad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因为bf 平面bef 所以平面bef 平面pad 考向三线面 面面垂直的综合应用 1 证明 ab 平面pad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad ph ad ph 平面abcd 方法总结 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 训练3 2012 南通市第一学期期末考试 在如图所示的几何体中 四边形abcd是正方形 ma 平面abcd pd ma e g f分别为mb pb pc的中点 且ad pd 2ma 1 求证 平面efg 平面pdc 2 求三棱锥p mab与四棱锥p abcd的体积之比 1 证明因为ma 平面abcd pd ma 所以pd 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pd bc 因为四边形abcd为正方形 所以bc dc 又pd dc d 所以bc 平面pdc 在 pbc中 因为g f分别为pb pc的中点 所以gf bc 所以gf 平面pdc 又gf 平面efg 所以平面efg 平面pdc 考向四线面角 二面角的求法 2 证明如图 过点b作bg cd 交ad于点g 则 bga cda 45 由 bad 45 可得bg ab 从而cd ab 又cd fa fa ab a 所以cd 平面abf 方法总结 找二面角的平面角常用的方法有 1 定义法 作棱的垂面 得平面角 2 利用等腰三角形 等边三角形的性质 取中点找二面角 训练4 2011 山东卷 在如图所示的几何体中 四边形abcd为平行四边形 acb 90 ea 平面abcd ef ab fg bc eg ac ab 2ef 1 若m是线段ad的中点 求证 gm 平面abfe 2 若ac bc 2ae 求二面角a bf c的大小 解 1 法一因为ef ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 所以四边形afgm为平行四边形 因此gm fa 又fa 平面abfe gm 平面abfe 所以gm 平面abfe 法二因为ef ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 所以bc 2fg 取bc的中点n 连接gn 因此四边形bngf为平行四边形 所以gn fb 在 abcd中 m是线段ad的中点 连接mn 则mn ab 因为mn gn n ab fb b 所以平面gmn 平面abfe 又gm 平面gmn 所以gm 平面abfe 2 由题意知 平面abfe 平面abcd 取ab的中点h 连接ch 因为ac bc 所以ch ab 则ch 平面abfe 过h向bf引垂线交bf于r 连接cr 则cr bf 所以 hrc为二面角a bf c的平面角 由题意 不妨设ac bc 2ae 2 在直角梯形abfe中 连接fh 高考对平行 垂直关系的考查主要以线面平行 线面垂直为核心 以多面体为载体结合平面几何知识 考查判定定理 性质定理等内容 难度为中低档题目 规范解答13求线段的长度问题 示例 2011 浙江卷 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 审题路线图 1 证明bc ad bc po即可 2 作bm ap 连cm 根据已知的长度求ab pb pa长 易求cos bpa 则可求am 解答示范 1 证明 由ab ac d是bc的中点 得ad bc 又po 平面abc 得po bc 因为po ad o 所以bc 平面pad 故bc pa 4分 高考经典题组训练 1 证明如图 取ad的中点o 连接po bo 四边形abcd是边长为1的菱形 连接bd abd为等边三角形 bo ad 3 2012 福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1