高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理.doc

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理1四种命题及相互关系2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合a的形式出现，q以集合b的形式出现，即ax|p(x)，bx|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若ab，则p是q的充分条件；(2)若ab，则p是q的必要条件；(3)若ab，则p是q的充要条件；(4)若ab，则p是q的充分不必要条件；(5)若ab，则p是q的必要不充分条件；(6)若ab且ab，则p是q的既不充分也不必要条件【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x3y，则x|y|”的逆命题b命题“若x1，则x21”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题d命题“若x20，则x1”的逆否命题答案a解析对于a，其逆命题是若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|y，必有xy.2(教材改编)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()a若xy，则x2y，则x2y2 d若xy，则x2y2答案b解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”3(教材改编)“(x1)(x2)0”是“x1”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b解析由(x1)(x2)0可得x1或x2，11，2，“(x1)(x2)0”是“x1”的必要不充分条件4(2016北京)设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案d解析若|a|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，ab，ab表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立；反之，若|ab|ab|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|b|不一定成立，所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件5在下列三个结论中，正确的是_(写出所有正确结论的序号)若a是b的必要不充分条件，则綈b也是綈a的必要不充分条件；“”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集为r”的充要条件；“x1”是“x21”的充分不必要条件答案解析易知正确对于，若x1，则x21，充分性不成立，故错误.题型一命题及其关系例1(2016宿州模拟)下列命题：“若a2b2，则a1，则ax22axa30的解集为r”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是()a b c d答案a解析对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于，当a1时，12a0，则x20”的否命题是()a若x0，则x20b若x20，则x0c若x0，则x20d若x20，则x0(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()a不拥有的人们会幸福b幸福的人们不都拥有c拥有的人们不幸福d不拥有的人们不幸福答案(1)c(2)d题型二充分必要条件的判定例2(1)(2015四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x1或xx2，则綈p是綈q的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案(1)b(2)a解析(1)3a3b3，ab1，此时loga3logb3正确；反之，若loga33b3，例如当a，b时，loga3b1.故“3a3b3”是“loga3x2，得2x3，即q：2x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件(2)已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案(1)a(2)a解析(1)当x1，y1时，xy2一定成立，即pq，当xy2时，可以x1，y4，即qp，故p是q的充分不必要条件(2)(等价法)因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1，因为綈q綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，故选a.题型三充分必要条件的应用例3已知px|x28x200，非空集合sx|1mx1m若xp是xs的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，px|2x10，由xp是xs的必要条件，知sp.则当0m3时，xp是xs的必要条件，即所求m的取值范围是0,3引申探究1本例条件不变，问是否存在实数m，使xp是xs的充要条件解若xp是xs的充要条件，则ps，方程组无解，即不存在实数m，使xp是xs的充要条件2本例条件不变，若x綈p是x綈s的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知px|2x10，綈p是綈s的必要不充分条件，ps且sp.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_(2)已知条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案(1)(0,3)(2)0，解析(1)令mx|axa1，nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，mn，解得0a1或xa1或x0；条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()a1，) b(，1c1，) d(，3思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化解析(1)因为“pq是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“pq是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件(2)由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件x|xax|x1，a1.答案(1)a(2)a1命题“若，则tan 1”的否命题是()a若，则tan 1b若，则tan 1c若tan 1，则d若tan 1，则答案a2命题“如果xa2b2，那么x2ab”的逆否命题是()a如果xa2b2，那么x2abb如果x2ab，那么xa2b2c如果x2ab，那么xa2b2d如果xa2b2，那么x2ab答案c解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“”的否定是“”故答案c正确3给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()a3 b2 c1 d0答案c解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个4(2015重庆)“x1”是“”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件答案b解析由x1x23，x21x1，故“x1”是“”成立的充分不必要条件故选b.5(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选a.6已知集合axr|2x8，bxr|1x2 dm|2m2答案c解析axr|2x8x|1x3，即m2，故选c.7设u为全集，a，b是集合，则“存在集合c使得ac，buc”是“ab”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案c解析由venn图易知充分性成立反之，ab时，由venn图(如图)可知，存在ac，同时满足ac，buc.故“存在集合c使得ac，buc”是“ab”的充要条件 8.(2015湖北)设a1，a2，anr，n3.若p：a1，a2，an成等比数列；q：(aaa)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2，则()ap是q的必要条件，但不是q的充分条件bp是q的充分条件，但不是q的必要条件cp是q的充分必要条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案b解析若p成立，设a1，a2，an的公比为q，则(aaa)(aaa)a(1q2q2n4)a(1q2q2n4)aa(1q2q2n4)2，(a1a2a2a3an1an)2(a1a2)2(1q2q2n4)2，故q成立，故p是q的充分条件取a1a2an0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选b.9设a，b为正数，则“ab1”是“a2b21”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析ab1，即ab1.又a，b为正数，a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立，反之，当a，b1时，满足a2b21，但ab1不成立所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件10有三个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题其中真命题的序号为_答案解析命题为“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题；因为命题“若ab，则a2b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若x3，则x2x60”，因为x2x603x2，故命题是假命题综上知只有命题是真命题11已知f(x)是定义在r上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充要解析若当x0,1时，f(x)是增函数，又yf(x)是偶函数，当x1,0时，f(x)是减函数当x3,4时，x41,0，t2，f(x)f(x4)故x3,4时，f(x)是减函数，充分性成立反之，若x3,4时，f(x)是减函数，此时x41,0，t2，f(x)f(x4)，则当x1,0时，f(x)是减函数yf(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)是增函数，必要性也成立故“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件12若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2.13若“数列ann22n(nn*)是递增数列”为假命题，则的取值范围是_答案，)解析若数列ann22n(nn*)为递增数列，则有an1an0，即2n12对任意的nn*都成立，于是可得32，即.故所求的取值范围是，)*14.下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在abc中，“ab2ac2bc2”是“abc为直角三角形”的充要条件；若a，br，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，br，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件其中正确的是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确；由ab2ac2bc2可以推出abc