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第4节指数函数 基础梳理 1 根式 xn a 0 0 n a a a 2 有理数指数幂 没有意义 ar s ars arbr 3 无理数指数幂无理数指数幂a a 0 是无理数 是一个确定的实数 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 y ax a 0 a 1 0 1 x 0时 y 1 增 减 质疑探究 如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数a b c d与1之间的大小关系如何 你能得到什么规律 提示 图中直线x 1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值 即c1 d1 1 a1 b1 c d 1 a b 一般规律 在y轴右 左 侧图象越高 低 其底数越大 答案 d 2 函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则有 a a 1或a 2b a 1c a 2d a 0且a 1 3 已知函数f x 4 ax 1 a 0且a 1 的图象恒过定点p 则点p的坐标是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 解析 当x 1 0即x 1时 f 1 4 1 5 因此图象恒过定点p 1 5 故选a 答案 a 4 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 考点突破 根式与有理数指数幂的运算 思维导引 1 先把根式化为分数指数幂 再根据分数指数幂的运算法则求解 2 把根式化为分数指数幂后 根据分数指数幂的运算法则求解 再把结果写成根式的形式 1 在进行幂的运算时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 再利用幂的运算性质进行运算 2 结果不能同时含有根式和分数指数幂 也不能既有分母又有负分数指数幂 指数函数的图象及应用 2 2013年高考北京卷 函数f x 的图象向右平移1个单位长度 所得图象与曲线y ex关于y轴对称 则f x 等于 a ex 1b ex 1c e x 1d e x 1 思维导引 1 分底数a 1 0 a 1分别就各个选项中的图象进行识别辨析 2 利用函数图象的变换方法求解 指数函数的图象由其底数确定 在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论 从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象 通过顺次的逆变换 即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象 指数函数的性质及应用 思维导引 根据新定义 指数函数的性质把问题转化为二次函数在一个区间上的最值 解析 根据给出的定义 fk x 是在函数y f x y k中取较小者 对任意的x 1 上恒有fk x f x 等价于对任意的x 1 上恒有f x k 等价于f x max k x 1 令t 2x 0 2 则函数f x 2x 1 4x 即为函数 t t2 2t t 1 2 1 1 故函数f x 在 1 上的最大值为
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