《基本不等式的应用》课件（1）.ppt

基本不等式的应用 在实际工作和生活中 有一类求最值的问题需要我们解决 如 某集团投资兴办甲 乙两个企业 1998年甲企业获得利润320万元 乙企业获得利润720万元 以后每年企业的利润 甲企业以上年利润的1 5倍的速率递增 而乙企业是上年利润的 预期目标为两企业年利润之和是1600万元 从1998年年初起 问 哪一年两企业获利之和最小 事实上 从1998年起 第n年获利为yn 则 这个函数的最小值问题将如何解决呢 学习了本节内容后 此问题就能比较简单地解决了 1 如果用x y来分别表示矩形的长和宽 用l来表示矩形的周长 s来表示矩形的面积 则l s 2 在上题中 若面积s为定值 则由x y 2 可知周长有最 值 为 3 在第1题中 若周长l为定值 则由可知面积s有最 值 为 基本不等式及其注意问题 2 对于基本不等式a2 b2 2ab和要明确它们成立的条件是不同的 前者成立的条件是a与b都为实数 而后者成立的条件是a与b都为正实数 如a 0 b 0仍然能使成立 两个不等式中等号成立的条件都是a b 应用基本不等式求最值 1 当a 0 b 0且ab为定值时 有a b 2 定值 当且仅当a b时 等号成立 此时a b有最小值 当a 0 b 0且a b为定值时 有 定值 当且仅当a b时 等号成立 此时ab有最大值 说明 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 或将 积式 转化为 和式 的放缩功能 在使用基本不等式求最值时 必须具有三个条件 在所求最值的代数式中 各变量均应是正数 各变量的和或积必须为常数 以确保不等式一边为定值 等号能取到 以上三个条件简称为 一正 二定 三相等 它在解题中具有双重功能 既有条件的制约作用 又有解题的导向作用 另外 使用基本不等式证明问题时 有时要反复使用它们 然后再相加或相乘 这时字母应满足多次使用基本不等式中的等式一致成立的条件 若不一致 则不等式中的等号不能成立 用基本不等式证明 若a b c 0 求证 分析 由于式子是关于a b c对称的 若将比较就破坏了对称性 得不出要证明的结论 因此去证明 名师点评 用基本不等式证明不等式时 要注意等号是否取到的条件 变式迁移 1 若a b c r 求证 a b c 用基本不等式求最值 分析 利用基本不等式求最小值 解析 a b 4 a2 b2 a b 2 2ab 16 2ab 又a2 b2 2ab 16 2ab 2ab 即ab 4 错误的原因是 在两次用到重要不等式当等号成立时 有a 1和b 1 但在a b 4的条件下 这两个式子不会同时取等号 a 1时 b 3 排除错误的办法是看同时取等号时 与题设是否有矛盾 变式迁移 变式迁移 3 已知实数x a1 a2 y成等差数列 x b1 b2 y成等比数列 求的取值范围 用基本不等式解应用题 某工厂每年需要某种材料3000件 设该厂对该种材料的消耗是均匀的 该厂准备分若干次等量进货 每进一次货需运费30元 且在用完时能立即进货 已知储存在仓库中的材料每件每年储存费为2元 而平均储存的材料量为每次进货量的一半 欲使一年的运费和仓库中储存材料的费用之和最省 问每次进货量应为多少 名师点评 解决此题的关键是 设出自变量x 每次进货量 之后 根据题意将一年的运费和仓库中储存材料的费用之和表示为x的函数 即构建所求最值的函数模型是解决这类应用问题的关键所在 某种汽车 购车费用是10万元 每年使用的保险费 养路费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 问这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 分析 年平均费用等于总费用除以年数 总费用包括 购车费用 保险费 养路费 汽油费总和以及维修费用总和 因此应先计算总费用 再计算年平均费用 名师点评 在应用基本不等式解决实际问题时 要注意以下三点 1 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最值问题 3 在求函数定义域时 应注意使每一个变量均有实际意义 在利用基本不等式求其最值时 应注意必须在定义域内求解 变式迁移 5 某单位决定投资3200元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 正面为铁栅 每1m长造价40元