高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题精讲课件 文.ppt

第十五节用导数解决生活中的优化问题 第二章 例1 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件 产品的正品率p与日产量x x n 件之间的关系为p 每生产一件正品盈利4000元 每出现一件次品亏损2000元 注 正品率 产品中的正品件数 产品总件数 100 1 将日利润y 元 表示成日产量x 件 的函数 2 该厂的日产量为多少件时 日利润最大 并求出日利润的最大值 利润最大问题 自主解答 解析 1 y 4000 x 2000 x 3600 x x3 所求的函数关系式是y x3 3600 x x n 1 x 40 2 由 1 知y 3600 4x2 令y 0 解得x 30 当1 x 30时 y 0 当30 x 40时 y 0 函数y x3 3600 x x n 1 x 40 在 1 30 上是单调递增函数 在 30 40 上是单调递减函数 当x 30时 函数y x3 3600 x x n 1 x 40 取得最大值 最大值为 303 3600 30 72000 元 该厂的日产量为30件时 日利润最大 最大值为72000元 点评 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 分析实际问题中各量之间的关系 构造出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 并根据实际意义确定定义域 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 还原到实际问题中作答 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 1 某公司生产一种产品 每生产1千件需投入成本81万元 每千件的销售收入r x 单位 万元 与年产量x 单位 千件 满足关系 r x x2 324 0 x 10 该公司为了在生产中获得最大利润 年利润 年销售收入 年总成本 则年产量应为 a 5千件b 6千件c 9千件d 10千件 变式探究 解析 依题意 年利润y x x2 324 81x x3 243x 00 x 9时 y 0 所以当x 9时 y有最大值 故选c 答案 c 例2 2013 佛山 江门二模 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻 导致浓硫酸泄漏 对河水造成了污染 为减少对环境的影响 环保部门迅速反应 及时向污染河道投入固体碱 1个单位的固体碱在水中逐渐溶化 水中的碱浓度f x 与时间x 小时 的关系可近似地表示为 f x 只有当污染河道水中碱的浓度不低于时 才能对污染产生有效的抑制作用 与分段函数有关的优化问题 1 如果只投放1个单位的固体碱 则能够维持有效的抑制作用的时间有多长 2 第一次投放1单位固体碱后 当污染河道水中的碱浓度减少到时 马上再投放1个单位的固体碱 设第二次投放后水中碱浓度为g x 求g x 的函数式及水中碱浓度的最大值 此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 自主解答 解析 1 由题意知解得1 x 3或3 x 4 即1 x 4 能够维持有效的抑制作用的时间 4 1 3小时 2 由 1 知 x 4时第二次投入1单位固体碱 显然g x 的定义域为4 x 10 当4 x 6时 第一次投放1单位固体碱还有残留 故g x 当6 x 10时 第一次投放1单位固体碱已无残留 故当6 x 7时 g x 2 当7 x 10时 g x 1 所以g x 当4 x 6时 g x 当且仅当时取 即x 1 当6 x 10时 第一次投放1单位固体碱已无残留 当6 x 7时 g x 0 所以g x 为增函数 当7 x 10时 g x 为减函数 故g x max g 7 又 0 所以当x 1 3时 水中碱浓度的最大值为 变式探究 2 某公司生产某种产品 固定成本为20000元 每生产一单位产品 成本增加100元 已知总收益r与年产量x的关系是r r x 则总利润最大时 每年生产的产品是 件 解析 由题意得 总成本函数为c c x 20000 100 x 所以总利润函数为p p x r x c x 而p x 令p x 0 得x 300 易知x 300时 p最大 答案 300 用料最省问题 例3 甲 乙两家工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边a处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40千米的b处 乙厂到河岸的垂足d与a相距50千米 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问 供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省 思路点拨 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 技巧与方法主要有 根据题设条件作出图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 合理选择这些条件间的联系方式 适当选定变量 构造相应的函数关系 解析 法一 根据题意知 只有点c在线段ad上某一适当位置 才能使总水管费用最省 如图 设点c距点d为x千米 则bd 40 ac 50 x bc 又设总的水管费用为y元 依题意有y 3a 50 x 5a 0 x 50 y 3a 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一个极值点 根据实际问题的意义知 函数在x 30处取得最小值 此时ac 50 x 20 千米 供水站建在a d之间距甲厂20千米处 可使水管费用最省 法二 如图 设 bcd 则bc cd ac 50 设总的水管费用为f 依题意有f 150a 40a f 40a 40a 令f 0 得cos 根据问题的实际意义 当cos 时 函数取得最小值 此时sin tan ac 50 20 千米 即供水站建在a d之间距甲厂20千米处 可使水管费用最省 变式探究 3 如图 等腰梯形abcd的三边ab bc cd分别与函数y x2 2 x 2 2 的图象切于点p q r 求梯形abcd面积的最小值 解析 设梯形abcd的面积为s 点p的坐标为 t t2 2 0 t 2 由题意得 点q的坐标为 0 2 直线bc的方程为y 2 因为y x2 2 所以y x 所以切线ab的斜率k y x t t 所以切线ab的方程为y t2 2 t x t 即 y tx t2 2 令y 0得 x 所以a 令y 2得 x t 所以b 所以s 2 2 2 令f t t 则f t 1 令f t 0 得t 舍去t 因为t 0 时 f t 0 t 2 时 f t 0 所以f t 有极小值为f 2 该极小值也是最小值 所以t 时 s有最小值为4 梯形abcd的面积的最小值为4 容积 体积 有关的优化问题 例4 用长14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制容器的底面的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解析 设容器底面短边长为xm 则另一边长为 x 0 5 m 高为 14 8 4x 4 x 0 5 3 2 2x 由3 2 2x 0及x 0 得0 x 1 6 设容器的容积为ym3 则有y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 整理得 y 2x3 2 2x2 1 6x 所以y 6x2 4 4x 1 6 0 即15x2 11x 4 0 解得x1 1 x2 不合题意舍去 从而 在定义域 0 1 6 内只有在x 1处使y 0 由题意 若x过小 接近0 或过大 接近1 6 时 y值很小 接近0 因此 当x 1时 y取得最大值 ymax 2 2 2 1 6 1