七级数学下册 13.1 三角形 与角平分线有关的几个结论的探究与应用素材 （新版）青岛版.doc

与角平分线有关的几个结论的探究与应用1.角平分线+平行线等腰三角形当三角形或四边形中出现角平分线和平行线时，由等腰三角形的判定定理“等角对等边”，尝试探究容易发现图形中存在等腰三角形.edicba例1.abc中，bac、bca的平分线相交于点i，过i作de/ac分别交ab、bc于点d、e，（1）试猜想线段ad、ce、de之间的数量关系？并给予证明.（2）若adce=1，adce=求de的长分析：（1）观察图形容易知道de=di+ei，通过度量可以发现ad=di，ei=ce，由此我们可以猜想线段ad、ce、de之间的数量关系为：de=ad+ce. 证明如下：ia平分bac，dai=iac又de/acdia=iacdai=dia di=da，同理ie=cede=di+ei= ad+ce.（2）由（1）可知de2=（ad+ce）2=（ad-ce）24adce=1+4=1+（2006+1）（2006-1）=20062 de=2006.评注：本题巧妙地借助等腰dai、eci将线段ad转化为相等的线段di，将ce转化为相等的线段ei，为猜想线段ad、ce、de之间的数量关系起到添线搭桥的关键作用.dcbagfe例2、已知四边形abcd是平行四边形，bcd的平分线cf交边ab于f，adc的平分线dg交边ab于g，cf和dg相交于e.（1） 求证af=gb.（2） 请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得efg为等腰直角三角形，并加以证明.分析：（1）仿例1容易证明ad=ag，bc=bf，又四边形abcd是平行四边形，ad=bc，ag=bfagfg=bffg即af=gb（2）由edc+ecd=（adc+bcd）=180=90，可知feg=90，欲使efg为等腰直角三角形，只需ef=eg，即efg=egf=45而efg=fcd=bcd，所以只要bcd=90即可，因而需要四边形abcd是矩形，可见只要添加平行四边形abcd其中有一个直角的条件即可.2、角是一个以角平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形，利用其可以构造全等三角形解决相关问题.例3、（06北京市课改实验区）如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(第3题图)opamnebcdfacefbd图图图（1）如图，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；（2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析：在射线op上任取一点c，在om、on上分别截取oa=ob，根据sas显然有aocboc，且关于op所在的直线对称. （1）fe、fd之间的数量关系为fe=fd图中的结论fe=fd仍然成立.onmpbacedbca4123f图4123edbcaf图g证法1：如图在ac上截取ag=ae，连接fg，3=4，af=afafeafg（sas）afe=afg，fe=fg，由b=60，ad、ce分别是bac、bca的平分线，afc=1+fdc=1+b3=（bac+b+acb）+b=90+30=120afg=afe=60cfg=cfd=60，又1=2，cf=cfcfgcfd（asa）fg=fdfe=fd.证法2：过点f作fgab于g，fhbc于h，根据三角形三条内角平分线交于一点，则bf必平分abcfg=fh，由证法1可知efd=120，又gfh=120，可证efg=dfhefgdfh（aas）fe=fd.评注：证法2比证法1较简捷，证法1是通过构造以角平分线为对称轴的全等三角形得到对应边相等来解决的；证法2巧妙借助角平分线上点到角的两边的距离相等来构造2个直角三角形全等来处理的，但必须注意在画图时应准确画图，否则将会对证明产生误导.3、角平分线+垂线等腰三角形例4、如图已知ad为abc中a的平分线，abac，efad交bc的延长线于m，垂足为g，求证：m=（acbb）mgedcbaf分析：由ad平分a， efad容易证明ageagf（aas）ae=af aef=afe，而由三角形外角和定理得：aef=b+m，afe=cfm=180mfcm=acbm（acb=180fcm）b+m=acbm m=（acbb）尝试探究：1、如图甲，o为abc的bac、bca的平分线的交点，过o作od/ab，oe/ac分别交bc于点d、e，若bc=10cm，求ode的周长.2、如图乙，ab=ac，a=108，bd平分abc交ac于d，求证：bc=ab+bd3、（全国联赛）如图丙，abc中，bac=60，acb=40，p、q分别在bc、ca上，并且ap、bq分别是bac、abc的角平分线，求证：bq+aq=ab+bpedocbaedcbapqcba图丙图乙图甲4、如图，在四边形abcd中，对角线ac平分bad，b+d=180求证：cb=cd.fedcba分析：欲证cb=cd，设法构造包含线段cb、cd在内的2个全等三角形，由角平分线的性质角平分线上的点到角的两边距离相等启发我们可过点c分