七级数学下册 5.2 旋转 利用旋转变换的思想方法解题素材 （新版）湘教版.doc

利用旋转变换的思想方法解题我们知道，旋转和轴对称、平移等一样，也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，可以将一些比较复杂的问题变得较为简单的平面图形问题，再运用旋转物知识，使问题获得简单的解决.下面我们就举例说明.例1如图1，正方形abcd内一点p，padpda15，连结pb、pc，请问：pbc是等边三角形吗？为什么？图1简析将apd绕点d逆时针旋转90，得dpc，再作dpc关于dc的轴对称图形dqc，得cdq与adp经过对折后能够重合.所以pdqd，pdq90151560，所以pdq为等边三角形，即pqd60.又因为dqcapd1801515150，所以pqc36060150150dqc.又因为pqqdcq，所以pcddcp15.所以pcd30，pba30，所以pcbpbc60.所以pbc为等边三角形.说明旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形（或其中一部分），通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径.例2如图2，已知aob90，在aob的平分线om上有一点c，将一个三角板的直角顶点与c重合，它的两条直角边分别与oa、ob(或它们的反向延长线)相交于点d、e. 当三角板绕点c旋转到cd与oa垂直时，如图（1），易证：od+oeoc.当三角板绕点c旋转到cd与oa不垂直时，在图（2）、图（3）这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段od、oe、oc之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.（1） （2） （3）图2qp简析图2结论：od+oeoc. 证明：过c分别作oa、ob的垂线，垂足分别为p、q.则容易得到cpdcqe，所以dpeq，即opod+dp，oqoeeq，又由勾股定理，得opoqoc，所以op+oqoc，即od+dp+oeeqoc，所以od+oeoc.结论：oeodoc.说明这种探索型的问题，求解时一定要认真阅读题目，以动制静，并进行大胆地猜想、归纳、验证，从而使问题获解.例3如图3，一等腰直角三角尺gef的两条直角边与正方形abcd的两条边分别重合在一起.现正方形abcd保持不动，将三角尺gef绕斜边ef的中点o（点o也是bd中点）按顺时针方向旋转.（1）如图3，当ef与ab相交于点m，gf与bd相交于点n时，通过观察或测量bm，fn的长度，猜想bm，fn满足的数量关系，并证明你的猜想；a（g）b（e）cd（f）onagcdomfebfabcdoegmn图3（2）若三角尺gef旋转到如图3所示的位置时，线段fe的延长线与ab的延长线相交于点m，线段bd的延长线与g的延长线相交于点n，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由简析（1）bmfn.证明如下：因为gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，所以abdf45，obof.又bomfon，所以obmofn.即bmfn.（2）bmfn仍然成立. 理由是：因为gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，所以dbagfe45，obof.所以mbonfo135.又mobnof，所以obmofn.所以bmfn.