七级数学下册 5.3《简单的轴对称图形》典型例题素材2 （新版）北师大版.doc

简单的轴对称图形典型例题例1 如图，中，d是ac上一点，且，求的度数. 例2 如图，在中，的垂直平分线交ac于d，垂足为e，若，求的度数和cd的长例3 如图，已知：d，e是的bc边上的两点，并且. 求的度数. 例4 已知：如图，d、e分别为等边的边bc、ac上的点，且，be、ad相交于点f. 求证：. 例5 如下图，牧童在a处放牛，其家在b处，a、b到河岸的距离分别为ac、bd，且acbd，若a到河岸cd的中点的距离为500m（1）牧童从a处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；（2）最短路程是多少？参考答案例1 分析：题中只给出了一些相等的线段，要求的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：，可见，在中，. 由内角和定理可求出，解： 因为，所以，. 所以. 设，则，.在中，解得. 所以. 说明：在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决. 例2 分析：由，可知，又知d是ab垂直平分线上的点，所以有，从而求出，由，所以有解：因d是线段ab垂直平分线上的点所以，所以，所以又因为，所以故说明：在这个题中应用了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角分线的性质例3 分析：由可知三角形ade是等边三角形，而和是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数. 解：，（已知） 是等边三角形. 又 ， . 而 ， .同理可得，说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步求出有关角的度数. 例4 分析：要证，而等边的每个内角都等于，所以只要证明它与的一个内角相等，又由，而，所以只要证明. 解： 因为为等边三角形（已知），所以，. 在和中，所以，所以. 因为（外角定理）所以. 说明：本题亦可证明. 等边三角形的每个内角都等于，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意. 例5 解：（1）已知：直线cd和cd同侧两点a、b求作：cd上一点m，使ambm最小作法：作点a关于cd的对称点，连结b交cd于点m，则点m即为所求的点证明：在cd上任取一点，连结a、b、am，直线cd是a、的对称轴，m、在cd上，am，a，ambmmbmb，在amb中，b，bambm，（三角形两边之和大于第三边）即ambm最小（2）由（1）可得：am，cacbd，cmbdm，mbm，cmdm，即m为cd的中点，且b2am，（三角形全等的理由是什么？）am500m，bambm2am1000m答：最短路程为1000m说明：误区，作accd，连结bc，c点即为所求，即accb为最短；误区，在cd上找一点m，使ambm，则ambm为最短；误区，作bdcd，连结ad，则adbd为最短以上所有作法都是错误的本题主要考查的是几何问题的实际应用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的