三高考两模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用知能训练.doc

5.5数列的综合应用组基础题组2.(2015浙江绍兴模拟,7)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,可知此数列的第2014项与5的差,即a2014-5=()a.20182012b.20202013c.10092012d.101020133.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()a.6b.7c.8d.94.(2016领航高考冲刺卷五文,10,4分)已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=2,nn*,则=,数列的前4项和s4=.5.(2016领航高考冲刺卷二文,15,4分)已知函数f(x)=x2+2x(x0),f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nn*,则f1(2)=,f4(x)=,不等式f4(x)1的解集为.6.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形abc中,斜边bc=2.过点a作bc的垂线,垂足为a1;过点a1作ac的垂线,垂足为a2;过点a2作a1c的垂线,垂足为a3;,依此类推.设ba=a1,aa1=a2,a1a2=a3,a5a6=a7,则a7=.7.(2015镇海中学仿真考,13,4分)已知an是公差不为0的等差数列,bn是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数、,使得an=logbn+对每一个正整数n都成立,则=.8.(2015浙江湖州模拟,18,15分)已知在数列an中,a1=1,当n2时,其前n项和sn满足=an.(1)求sn的表达式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为tn,证明:tn.9.(2015宁波高考模拟文,17,15分)设数列an是公比小于1的正项等比数列,sn为数列an的前n项和,已知s3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an(n+2-),且数列bn是单调递减数列,求实数的取值范围.10.(2014浙江,19,14分)已知数列an和bn满足a1a2a3an=(nn*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(nn*).记数列cn的前n项和为sn.(i)求sn;(ii)求正整数k,使得对任意nn*均有sksn.11.已知等差数列an的前n项和为sn,且a2=3,s6=36.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn是等比数列且满足b1+b2=3,b4+b5=24.设数列anbn的前n项和为tn,求tn.12.(2015山东青岛高三自主诊断,19)已知数列an的前n项和sn=n2+2n,正项等比数列bn满足:b1=a1-1,且b4=2b2+b3.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若数列cn满足cn=,其前n项和为tn,证明:tn-.5.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为sn,且sn满足-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+-.7.(2013广东,19,14分)设数列an的前n项和为sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,nn*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+.8.(2015浙江杭州一模,19)设数列an的前n项和为sn,若sn+an=n(nn*).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:+2.9.(2015浙江宁波十校联考,19)已知数列an满足a1=1,点(an,an+1)在直线y=2x+1上.数列bn满足b1=a1,bn=an+(n2且nn*).(1)(i)求an的通项公式;(ii)证明:=(n2且nn*);(2)求证:.组基础题组1.d由题意得=a5a1,即(a1+d)2=a1(a1+4d),可得d=2a1.又a6+a9=5a3+3,所以2a1+13d=5a1+10d+3,所以a1=1,d=2,所以sn=n2,=,易知,所以=.2.d因为an-an-1=n+2(n2),a1=5,所以a2014=(a2014-a2013)+(a2013-a2012)+(a2-a1)+a1=2016+2015+4+5=+5=10102013+5,所以a2014-5=10102013,故选d.3.d由题意可知a,b是x2-px+q=0的两根,a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.a,b,-2适当排序后成等比数列,-2是a,b的等比中项,得ab=4,q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,a=1,此时b=4,p=a+b=5,p+q=9,选d.4.答案4n-1;85解析根据题意可知,数列an为等差数列,数列bn为等比数列,所以an=2n-1,bn=2n-1,所以=22n-2=4n-1,所以s4=(44-1)=85.5.答案80;(x+1)16-1(x0);(0,-1+)解析令an=fn(x),则a1=x2+2x(x0),a2=+2a1,an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2,lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1),所以lg(an+1)是以lg(a1+1)为首项,2为公比的等比数列,则lg(an+1)=2n-1lg(a1+1),故an+1=(a1+1=(x+1)2=(x+1,an=(x+1-1,即fn(x)=(x+1-1,所以f2(2)=80,f4(x)=(x+1-1=(x+1)16-1(x0).由f4(x)1,得(x+1)162,即-1-x0,所以f4(x)1的解集为(0,-1+).6.答案解析由bc=2得ab=a1=2aa1=a2=a1a2=a3=1,由此可归纳出an是以a1=2为首项,为公比的等比数列,因此a7=a1q6=2=.7.答案4解析设an的公差为d,bn的公比为q.根据已知可得解得或(舍去),故an=2n,bn=4n-1,又2n=log4n-1+对每一个正整数n都成立,即n(log4-2)+-log4=0,只需log4-2=-log4=0,解得=2,=2,故=22=4.8.解析(1)当n2时,an=sn-sn-1,代入=an,得2snsn-1+sn-sn-1=0,由于sn0时,所以-=2.所以是首项为1,公差为2的等差数列,从而=1+(n-1)2=2n-1,所以sn=.(2)证明:bn=,所以tn=+-=0,0q1.因为a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以8a2=a1+13+a3+9,又s3=14,所以a1+a2+a3=14,所以a2=4,代入+a2+a2q=14,由0qbn+1,得(n+2-)24-n(n+3-)23-n,(13分)即n+1,所以(n+1)min=2.故0,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn0且q0.由b4=2b2+b3得b2q2=2b2+b2q,整理得q2-q-2=0,即(q+1)(q-2)=0.解得q=2或q=-1(舍去).又b1=a1-1=2,故数列bn的通项公式为bn=b1qn-1=22n-1=2n.(2)证明:由已知及(1)得cn=.故tn=c1+c2+c3+cn=+,2tn=3+,-,得tn=3+-=3+2-=3+2-=3+2-=5-.因为0,所以tn0,所以tnt1=.综上,tn5.13.解析(1)证明:由已知得a1=s1=2-3a1,解得a1=,当n2时,由an=sn-sn-1可得=,所以数列是首项和公比均为的等比数列.(2)由(1)得=,于是2nan=n,tn=1+2+3+n=.所以=2,于是an=2=,而=,所以问题转化为比较与的大小.设f(n)=,g(n)=,易知当n4时,f(n)f(4)=1,而g(n)g(n).经验证当n=1,2,3时,仍有f(n)g(n).因此对任意的正整数n,都有f(n)g(n),即an0,an+10,=3,an+1是以3为首项,3为公比的等比数列,an=3n-1.(2)=-=-=-,+-+-+-=-=-.5.解析(1)-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,令n=1,得+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.又an0,a1=2.(2)由-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,得sn-(n2+n)(sn+3)=0,又an0,所以sn+30,所以sn=n2+n,所以当n2时,an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以an=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以+=+=+-=+=.6.解析(1)s1=(a1-1)=a1,a1=t.当n2时,an=sn-sn-1=(an-an-1),整理得an=tan-1,又a1=t0,an0,an是等比数列.an=ttn-1=tn(t为常数,且(t-1)t0).(5分)(2)证明:由(1)知,bn=3+(n2),若bn为等比数列,则有=b2b4,而b2=3+,b3=3+,b4=3+,代入解得t=,所以bn=3n(n2),又bn为等比数列,从而b1=3,所以bn=3n(nn*).(10分)所以cn=-=-.由,得-,从而tn=c1+c2+cn-=-+-=-,即tn-.(15分)7.解析(1)依题意,得2s1=a2-1-,又s1=a1=1,所以a2=4.(2)当n2时,2sn=nan+1-n3-n2-n,2sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,=1;当n=2时,+=1+=;当n3时,=-,此时+=1+1+=1+-=-.综上,对一切正整数n,有+.8.解析(1)当n=1时,a1+a1=1,解得a1=.由sn+an=n,得sn-1+an-1=n-1(n2),-得an+an-an-1=1(n2),an-1=(an-1-1)(n2),又a1-1=-,数列an-1是等比数列,an-1=-,an=1-.(2)证明:=,+1+=22.+2.9.解析(1)(i)因为点(an,an+1)在直线y=2x+1上,所以an+1=2an