三高考两模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 曲线与方程知能训练.doc

8.7曲线与方程组基础题组1.(2015南昌二模)方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是()a.一个圆和一条直线b.一个圆和一条射线c.一个圆d.一条直线2.(2015宁波高考模拟考试,7,5分)在平面直角坐标系xoy中,已知点a是半圆x2-4x+y2=0(2x4)上的一个动点,点c在线段oa的延长线上.当=20时,点c的轨迹为()a.椭圆的一部分b.抛物线的一段c.线段d.圆弧3.(2015青岛检测)已知点g是abc的外心,是三个单位向量,且2+=0.如图所示,abc的顶点b,c分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动,则g点的轨迹为()a.一条线段b.一段圆弧c.椭圆的一部分d.抛物线的一部分4.(2014四川,9,5分)设mr,过定点a的动直线x+my=0和过定点b的动直线mx-y-m+3=0交于点p(x,y),则|pa|+|pb|的取值范围是()a.,2b.,2c.,4d.2,45.(2015浙江杭州学军中学第五次月考,9)已知圆o1:(x-2)2+y2=16和圆o2:x2+y2=r2(0re2),则e1+2e2的最小值为()a.b.c.d.6.(2015杭州一模,11,6分)设圆c:(x-k)2+(y-2k+1)2=1,则圆c的圆心轨迹方程是;若直线l:3x+ty-1=0截圆c所得的弦长与k无关,则t=.7.平面内一条线段ab的长为6,动点p满足|pa|=10-|pb|,则|pa|的最大值与最小值之积为.8.已知长为1+的线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动,p是ab上一点,且=.求点p的轨迹方程.9.(2015浙江冲刺卷四,21(1),7分)在直角坐标系xoy上取两个定点a1(-2,0),a2(2,0),再取两个动点n1(0,m),n2(0,n),且mn=3.求直线a1n1与a2n2交点的轨迹m的方程.10.(2013陕西,20,13分)已知动点m(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍.(1)求动点m的轨迹c的方程;(2)过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a,b两点,若a是pb的中点,求直线m的斜率.b组提升题组1.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,18)如图,定直线l的方程为x=-4,定点f的坐标为(-1,0),p(x,y)为平面上一动点,作pql于q,若|pq|=2|pf|.(1)求动点p的轨迹e的方程;(2)过定点f作直线交曲线e于a、b两点,若曲线e的中心为o,且+3=2,求三角形oab的面积.2.(2015浙江宁波二中阶段检测)已知圆c的方程为x2+y2=4.(1)求过点p(1,2)且与圆c相切的直线l的方程;(2)直线l过点p(1,2),且与圆c交于a、b两点,若|ab|=2,求直线l的方程;(3)圆c上有一动点m(x0,y0),=(0,y0),若向量=+,求动点q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.3.(2015杭州高级中学月考,21)设点a(-,0),b(,0),直线am、bm相交于点m,且它们的斜率之积为-.(1)求动点m的轨迹c的方程;(2)已知直线l过点f(1,0),l与圆o:x2+y2=5相交于p、q两点,l与轨迹c相交于r、s两点,若|4,求frs的面积的最大值和最小值(f为轨迹c的左焦点).4.(2015浙江新高考研究卷五(杭州学军中学),18)椭圆+=1上有两点p,q,o为原点,pq的中点为m,连op,oq,op,oq的斜率之积为-.(1)求点m的轨迹e的方程;(2)已知点a(2,0),过点a作直线ab,ac交曲线e于b,c两点,若abac,求abc面积的最大值.5.(2015浙江杭州一模,18)在直角坐标系xoy中,设点a(-1,0),b(1,0),q为abc的外心.已知+2=0,qgab.(1)求点c的轨迹的方程;(2)设经过f(0,)的直线交轨迹于e,h,直线eh与直线l:y=交于点m,点p是直线y=上异于点f的任意一点.若直线pe,ph,pm的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在实数t,使得+=?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.6.(2015浙江宁波十校联考,18)已知动点p(x,y)到直线l:x=-2的距离是它到定点f(-1,0)的距离的倍.(1)求动点p的轨迹c的方程;(2)过f(-1,0)作与x轴垂直的直线,它与轨迹c在第三象限的交点为q,过f(-1,0)的动直线与轨迹c相交于不同的两点a,b,与直线l相交于点m,记直线qa,qb,qm的斜率依次为k1,k2,k3,试证明:为定值.组基础题组1.d依题意得x+y-3=0或又圆(x-1)2+y2=1与直线x+y-3=0相离,且在直线下方,因此方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是一条直线.2.c设a(m,n)(2m4),因为c在线段oa的延长线上,故设=(m,n)(1),依题意,解得=,故c,故点c的轨迹方程为x=5(-5y5),这表示一条线段,故选c.3.b因为2+=0,所以+=0,所以g为bc的中点.因为|=|=1,b,c分别在x,y轴的非负半轴上移动,所以|=1,g点的轨迹是以o为圆心,1为半径的一段圆弧.4.b直线x+my=0过定点a(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点b(1,3).当m=0时,过定点a的直线方程为x=0,过定点b的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时p(0,3),|pa|+|pb|=4.当m0时,直线x+my=0的斜率为-,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.-m=-1,两条直线互相垂直,即点p可视为以ab为直径的圆上的点.当点p与点a或点b重合时,|pa|+|pb|有最小值.当点p不与点a,点b重合时,pab为直角三角形,且|pa|2+|pb|2=|ab|2=10.由不等式性质知|pa|+|pb|2=2,|pa|+|pb|,2.综合得|pa|+|pb|,2.5.a设动圆m的半径为r.动圆m与圆o1和圆o2都相切有两种情况,一是与圆o1内切、与圆o2外切,二是与圆o1和圆o2都内切.相切都可以转化为圆心距离问题.第一种情况,=4-r,=r+r.+=4+r,为定值,且o1o2=2.故由椭圆的定义可知,m的轨迹为一个椭圆,a=,c=1.同理,第二种情况,m的轨迹为一个椭圆,a=,c=1.两个椭圆的离心率分别为e1和e2(e1e2),e1=,e2=.e1+2e2=+=,当且仅当12-r=,即r=12-8时,取“=”.所以e1+2e2的最小值为.6.答案y=2x-1;-解析设圆心坐标为(x,y),由圆的方程可得消去k可得圆心的轨迹方程为y=2x-1.因为弦长与k无关,则圆心到直线3x+ty-1=0的距离与k无关,因为圆心在直线y=2x-1上,故当两直线平行时弦长为定值,即-=2,解得t=-.7.答案16解析|pa|+|pb|=10|ab|,p点的轨迹是以a、b为焦点的椭圆,且2a=10,2c=6,|pa|的最大值与最小值分别为a+c=8和a-c=2,其积为16.8.解析设a(x0,0),b(0,y0),p(x,y),则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),又=,所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|ab|=1+,即+=(1+)2,所以+(1+)y2=(1+)2,化简得+y2=1.所以点p的轨迹方程为+y2=1.9.解析依题意知直线a1n1的方程为y=(x+2),直线a2n2的方程为y=-(x-2).设q(x,y)是直线a1n1与a2n2的交点,得y2=-(x2-4),由mn=3整理得+=1.n1,n2不与原点重合,点a1(-2,0),a2(2,0)不在轨迹m上,轨迹m的方程为+=1(x2).10.解析(1)设m到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|mn|.由此得|4-x|=2,化简得+=1,所以动点m的轨迹方程为+=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由根与系数关系得x1+x2=-,x1x2=.又因a是pb的中点,故x2=2x1,将代入,得x1=-,=,可得=,且k2,解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).a是pb的中点,x1=,y1=.又+=1,+=1,联立,解得或即点b的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为-或.b组提升题组1.解析(1)由|x+4|=2,化简得轨迹e的方程为+=1.(5分)(2)设直线ab的方程为ky=x+1,与椭圆方程联立消去x得(3k2+4)y2-6ky-9=0.设a(x1,y1),b(x2,y2).+3=2,o(0,0),f(-1,0),y1=-2y2.(7分)y1=,y2=,y1y2=,k2=.(10分)|ab|=|y1-y2|=,又点o到直线ab的距离d=,soab=.(15分)2.解析(1)显然直线l的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),由=2得k1=0,k2=-,从而所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.(2)当直线l垂直于x轴时,直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,),(1,-),这两点的距离为2,满足题意;当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d(d0),则2=2,得d=1,从而1=,得k=,此时直线方程为3x-4y+5=0.综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1.(3)设点q的坐标为(x,y),点m坐标是(x0,y0),=(0,y0),=+,(x,y)=(x0,2y0)x=x0,y=2y0.+=4,x2+=4,即+=1.q点的轨迹方程是+=1,此轨迹是焦点在y轴上的椭圆.3.解析(1)设m(x,y),则kmakmb=-(x),即+=1,轨迹c的方程为+=1(x).(2)设l:x=my+1.o到l的距离为d=,|pq|=24,0m23,将x=my+1代入轨迹c的方程并整理得(2m2+3)y2+4my-4=0.设r(x1,y1),s(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,|y1-y2|=,sfrs=|y1-y2|ff|=4.设m2+1=t,则t1,4,sfrs=4=,令f(t)=4t+,t1,4,f(t)=4t+在1,4上递增,f(t),(sfrs)min=,(sfrs)max=.4.解析(1)设p(x1,y1),q(x2,y2),m(x,y).由题意得x1x2+4y1y2=0,由两式平方相加,并由+4=16,+4=16整理得4x2+16y2=32,即+=1.故轨迹e的方程为+=1.(2)不妨设ab:x=my+2(m0),代入曲线e的方程得(m2+4)y2+4my=0yb=-.|ab|=.abac,ac:x=-y+2.同理,得|ac|=.sabc=|ab|ac|=,令t=(m0),则t2,得sabc=,易知函数y=4t+在2,+)上单调递增,当t=2时,sabc取得最大值,(sabc)max=.5.解析(1)设c(x,y)(y0),由+2=0,得g,又qgab,且q为abc的外心,所以q.根据|qa|=|qc|,可得x2+=1(y0).故轨迹的方程为x2+=1(y0).(2)存在.假设存在实数t满足题意.当直线ef的斜率不存在时,易知m,不妨取e(0,),h(0,-).设p(x0,)(x00).则=,=,=-x0,由+=得t=2.当直线ef的斜率存在时,设斜率为k,则直线eh的方程为y=kx+(k0),此时点m的坐标为.把直线方程代入椭圆方程可得(k2+3)x2+2kx-1=0,设e(x1,y1),h(x2,y2),p(a,)(a0).则x1+x2=-,x1x2=-.=,=,=-a.则+=+=-=-2a=,又+=,t=2.综上,存在实数t=2满足条件.6.解析(1)作pn直线l于n,则由题意可知|pn|=|pf|,(1分)设p(x,y),由题意知|pn|=|x+2|,又|pf|=,(3分)所以|x+2|=,化简得动点p的轨迹c的方程为+y2=1.(6分)(2)证明:易得q,直线ab的斜率存在.(i)当动直线ab的斜率k=0时,m(-2,0),不妨取