三高考（）高考数学试题分项版解析 专题12平面向量 理.doc

1 专题专题 1212 平面向量平面向量 1 2017 课标 3 理 12 在矩形abcd中 ab 1 ad 2 动点p在以点c为圆心且与bd相切 的圆上 若ap ab ad 则 的最大值为 a 3b 22c 5d 2 答案 a 解析 试题分析 如图所示 建立平面直角坐标系 设 0 1 0 0 2 0 2 1 abcdp x y 设1 2 x zy 即10 2 x yz 点 p x y在圆 2 2 4 2 5 xy 上 所以圆心到直线的距离dr 即 22 15 1 4 z 解得13z 所以的最大值是 3 即 的最大值是 3 故选a 考点 平面向量的坐标运算 平面向量基本定理 2 名师点睛 1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加 减或数乘运算 2 用向量基本定理解决问题的一般思路是 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表 示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 2 2017 北京 理 6 设m m n n为非零向量 则 存在负数 使得 mn 是 0 m n 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 试题分析 若 0 使m n 即两向量反向 夹角是 0 180 那么 0 cos1800m nm nm n t 若 0m n 那么两向量的夹角为 00 90 180 并不一定反向 即不一定存在负数 使得 mn 所以是充分不必要条件 故选 a 考点 1 向量 2 充分必要条件 3 2015 高考安徽 理 8 c a 是边长为的等边三角形 已知向量 b 满足2aa c2aba 则下列结论正确的是 a 1b b ab c 1a b d 4cab 答案 d 解析 如图 3 由题意 2 2bcacababab 则 2b 故a错误 2 2 2aa 所以 1a 又 2 2 2 4 22 2cos602ab acaabaab 所以1a b 故 b c错误 设 b c点为d 则2abacad 且adbc 而 22 2 4adaabab 所以 4cab 故选 d 考点定位 1 平面向量的线性运算 2 平面向量的数量积 名师点睛 平面向量问题中 向量的线性运算和数量积是高频考点 当出现线性运算问 题时 注意两个向量的差oaobba 这是一个易错点 两个向量的和 2oaobod d点是ab的中点 另外 要选好基底向量 如本题就要灵活使用向量 ab ac 当涉及到向量数量积时 要记熟向量数量积的公式 坐标公式 几何意义等 4 2016 高考山东理数 已知非零向量m m n n满足 4 m m 3 n n cos 1 3 若 n n tm m n n 则实数t的值为 a 4 b 4 c 9 4 d 9 4 答案 b 解析 试题分析 由43mn 可设3 4 0 mk nk k 又 ntmn 所以 2 222 1 cos 34 4 4160 3 ntmnn tmn nt mnm nntkkktkk 所以4t 故选 b 考点 平面向量的数量积 5 2016 高考新课标 2 理数 已知向量 1 3 2 am a 且 abb 则m a 8 b 6 c 6 d 8 答案 d 解析 试题分析 向量ab 4 m2 由 ab b 得4 3 m2 2 0 解得m8 故选 d 考点 平面向量的坐标运算 数量积 名师点睛 已知非零向量a a x1 y1 b b x2 y2 结论几何表示坐标表示 4 模 a a a a a a a a x2 1 y2 1 夹角 cos a a b b a a b b cos x1x2 y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 a a b b的充要条件a ba b 0 x1x2 y1y2 0 6 2015 高考山东 理 4 已知菱形abcd的边长为 60abc 则bd cd a 2 3 2 a b 2 3 4 a c 2 3 4 a d 2 3 2 a 答案 d 解析 因为 bd cdbd bababcba 2 222 3 cos60 2 babc baaaa 故选 d 考点定位 平面向量的线性运算与数量积 名师点睛 本题考查了平面向量的基础知识 重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积 的理解与掌握 属基础题 要注意结合图形的性质 灵活运用向量的运算解决问题 7 2015 高考陕西 理 7 对任意向量 a b 下列关系式中不恒成立的是 a a ba b b abab c 22 abab d 22 ab abab 答案 b 解析 因为cos a ba ba ba b 所以选项 a 正确 当与b 方向相反时 abab 不成立 所以选项 b 错误 向量的平方等于向量的模的平方 所以选项 c 正 确 22 ababab 所以选项 d 正确 故选 b 2 2 aa 8 2015 高考四川 理 7 设四边形 abcd 为平行四边形 6ab 4ad 若点 m n 满 足3bmmc 2dnnc 则am nm a 20 b 15 c 9 d 6 答案 c 5 解析 311 443 amabad nmcmcnadab 所以 221111 43 43 169 16 369 16 9 4124848 am nmabadabadabad aa 选 c 考点定位 平面向量 名师点睛 涉及图形的向量运算问题 一般应选两个向量作为基底 选基底的原则是这两个 向量有尽量多的已知元素 本题中 由于 6ab 4ad 故可选 ab ad 作为基底 9 2015 高考新课标 1 理 7 设d为abc 所在平面内一点3bccd 则 a 14 33 adabac b 14 33 adabac c 41 33 adabac d 41 33 adabac 答案 a 解析 由题知 11 33 adaccdacbcacacab 14 33 abac 故 选 a 考点定位 平面向量的线性运算 10 2016 高考新课标 3 理数 已知向量 13 22 ba uu v 3 1 22 bc uu u v 则abc a 30 b 45 c 60 d 120 答案 a 解析 试题分析 由题意 得 1331 3 2222 cos 1 12 ba bc abc ba bc 所以 30abc 故选 a 考点 向量夹角公式 思维拓展 1 平面向量与的数量积为 cosa ba b 其中是与的夹角 要注意夹角 的定义和它的取值范围 0180 2 由向量的数量积的性质有 aa a 6 cos a b a b 0a bab 因此 利用平面向量的数量积可以解决与长度 角度 垂 直等有关的问题 11 2016 年高考北京理数 设 是向量 则 ab 是 abab 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 答案 d 解析 试题分析 由 22 0ababababa bab 故是既不充分也不 必要条件 故选 d 考点 1 充分必要条件 2 平面向量数量积 12 2015 高考重庆 理 6 若非零向量a a b b满足 a a 2 2 3 b b 且 a a b b 3 3a a 2b b 则 a a与b b的夹角为 a 4 b 2 c 3 4 d 答案 a 解析 由题意 22 32 320ababaa bb 即 22 3cos20aa bb 所以 2 2 22 2 3 cos20 33 2 cos 2 4 选a 考点定位 向量的夹角 名师点晴 本题考查两向量的夹角 涉及到向量的模 向量的垂直 向量的数量积等知识 体现了数学问题的综合性 考查学生运算求解能力 综合运用能力 13 2016 高考天津理数 已知 abc是边长为 1 的等边三角形 点ed 分别是边 bcab 的中点 连接de并延长到点f 使得efde2 则bcaf 的值为 a 8 5 b 8 1 c 4 1 d 8 11 答案 b 解析 7 试题分析 设baa bcb 11 22 deacba 33 24 dfdeba 1353 2444 afaddfabaab 253531 44848 af bca bb 故选 b 考点 向量数量积 运用两向量的数量积可解决长度 夹角 垂直等问题 解题时应灵活选择相应公式求解 14 2016 年高考四川理数 在平面内 定点a b c d满足da db dc da db db dc dc da 2 动点p m满足ap 1 pm mc 则 2 bm 的最大值是 a 43 4 b 49 4 c 376 3 4 d 372 33 4 答案 b 解析 试题分析 甴已知易得1220 daadcadbddbdcbc 以d为原 点 直线da为轴建立平面直角坐标系 则 2 0 1 3 1 3 abc 设 p xy由已知1ap 得 2 2 21xy 又 1313 3 2222 xyxy pmmcmbm 2 2 2 13 3 4 xy bm 它表示圆 2 2 21xy 上点 x y 与点 1 3 3 距 离平方的 1 4 2 22 2 max 149 33 31 44 bm 故选 b 8 考点 1 向量的数量积运算 2 向量的夹角 3 解析几何中与圆有关的最值问题 15 2015 高考福建 理 9 已知 1 abac abact t 若p点是abc 所在平面内 一点 且 4abac ap abac 则pb pc 的最大值等于 a 13 b 15 c 19 d 21 答案 a 解析 以a为坐标原点 建立平面直角坐标系 如图所示 则 1 0 b t 0 ct 1ap 0 4 0 1 1 4 即1p 4 所以 1 1pb t 4 1pc t 4 因 此pb pc 1 1416t t 1 17 4 t t 因为 11 4244tt tt 所以pb pc 的最大值等于13 当14t t 即 1 2 t 时取等号 考点 1 平面向量数量积 2 基本不等式 名师点睛 本题考查平面向量线性运算和数量积运算 通过构建直角坐标系 使得向量运算 完全代数化 实现了数形的紧密结合 同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题 本题容易出错的地方是对 ab ab 的理解不到位 从而导致解题失败 24 2015 湖南理 2 已知点a b c在圆 22 1xy 上运动 且abbc 若点p的坐 标为 2 0 则papbpc 的最大值为 9 a 6 b 7 c 8 d 9 答案 b 解析 试题分析 由题意得 ac为圆的直径 故可设 nma nmc yxb 6 papbpcxy 22 6 papbpcxy 的最大值为圆 22 1xy 上的动点到点 0 6 距离的最大值 从而易得当 0 1 y x 时papbpc 的最大值为 故选 b 考点定位 1 圆的性质 2 平面向量的坐标运算及其几何意义 16 2017 浙江 10 如图 已知平面四边形abcd ab bc ab bc ad 2 cd 3 ac与 bd交于点o 记 1 ioaob 2 ioboc 3 ioc od 则 a 321 iii b 231 iii c 213 iii d 312 iii 答案 c 解析 试题分析 因为90aobcod 所以 0 ob ocoa oboc odoaoc obod 选c 考点 平面向量数量积运算 10 17 2017 课标 1 理 13 已知向量a a b b的夹角为 60 a a 2 b b 1 则 a a 2 b b 答案 2 3 解析 试题分析 222 2 44 44 2 1 cos60412abaa bb 所以 2 122 3ab 秒杀解析 利用如下图形 可以判断出2ab 的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度 则 为2 3 考点 平面向量的运算 名师点睛 平面向量中涉及到有关模长的问题 用到的通法是将模长进行平方 利用向量数 量积的知识进行解答 很快就能得出答案 另外 向量是一个工具型的知识 具备代数和几何 特征 在做这类问题时可以使用数形结合的思想 会加快解题速度 18 2017 浙江 15 已知向量a a b b满足1 2 ab则 abab的最小值是 最大值是 答案 4 2 5 解析 11 考点 平面向量模长运算 名师点睛 本题通过设入向量 a b 的夹角 结合模长公式 解得 54cos54cosabab 再利用三角有界性求出最大 最小值 属中档 题 对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求 19 2017 江苏 12 如图 在同一个平面内 向量oa ob oc 的模分别为 1 1 2 oa 与 oc 的夹角为 且 tan 7 ob 与oc 的夹角为 45 若ocmoanob m n r 则 mn a c b o 第 12 题 答案 3 解析 由tan7 可得 7 2 sin 10 2 cos 10 根据向量的分解 易得 cos45cos2 sin45sin0 nm nm 即 22 2 210 27 2 0 210 nm nm 即 510 570 nm nm 即得 57 44 mn 所以3mn 考点 向量表示 12 20 2017 天津 理 13 在abc 中 60a 3ab 2ac 若2bddc aeacab r 且4ad ae 则 的值为 答案 3 11 解析 0 12 3 2 cos603 33 ab acadabac 则 122123 34934 33333311 ad aeabacacab 考点 向量的数量积 名师点睛 根据平面向量的基本定理 利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一 向量 利用向量的定比分点公式表示向量 计算数量积 选取基地很重要 本题的 ab ac 已 知模和夹角 选作基地易于计算数量积 21 2017 山东 理 12 已知 12 e e是互相垂直的单位向量 若 12 3 ee与 12 ee的夹角为 60 则实数 的值是 答案 3 3 解析 试题分析 22 1212112122 3333eeeeee ee ee 2 22 12121122 3332 32eeeeee ee 2 22 22 12121122 21eeeeee ee 22 321cos601 解得 3 3 考点 1 平面向量的数量积 2 平行向量的夹角 3 单位向量 名师点睛 1 平面向量a 与b 的数量积为 cosa ba b 其中 是a 与b 的夹角 要注意夹角的定义和 它的取值范围 0180 13 2 由向量的数量积的性质有 aa a cos a b a b 0a bab 因此 利用平面向 量的数量积可以解决与长度 角度 垂直等有关的问题 3 本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换 应用平面向量的夹角公式 建立 的方程 22 2016 高考新课标 1 卷 设向量a a m 1 b b 1 2 且 a a b b 2 a a 2 b b 2 则m 答案 2 解析 试题分析 由 222 abab 得 ab 所以1 1 20m 解得2m 考点 向量的数量积及坐标运算 23 2015 高考北京 理 13 在abc 中 点m n满足2ammc bnnc 若 mnxabyac 则x y 答案 11 26 解析 特殊化 不妨设 4 3acab abac 利用坐标法 以 a 为原点 ab 为 x轴 ac为y轴 建立直角坐标系 3 0 0 0 2 0 3 4 0 2 2 amcbn 1 2 4 0 2 m nab 0 3 ac 则 1 2 4 0 0 3 2 xy 111 42 3 226 xyxy 考点定位 本题考点为平面向量有关知识与计算 利用向量相等解题 14 24 2014 湖南 16 在平面直角坐标系中 o为原点 0 3 3 0 0 1cba 动点d满足 cd 1 则oaobod 的最大值是 答案 17 解析 因为c坐标为 3 0且1cd 所以动点d的轨迹为以c为圆心的单位圆 则d满 足参数方程 3cos sin d d x y 为参数且 0 2 所以设d的坐标为为 3cos sin0 2 则 2 2 3cos1sin3oaobod 82 2cos3sin 因为2cos3sin 的最大值为 2 2 237 所以oaobod 的最大值为 2 82 71717 故填17 考点定位 参数方程 圆 三角函数 名师点睛 本题主要考查了圆的参数方程 解决问题的关键是根据所给条件cd 得到对应 点 c 的轨迹 然后得到其参数方程 根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式 运用三角函数知识不难得到其最大值 主要运用了转化的思想方法 25 2015 江苏高考 6 已知向量a a 1 2 b b 2 1 若ma a nb b 8 9 rnm 则 nm 的值为 答案 3 解析 由题意得 29 282 5 3 mnmnmnmn 考点定位 向量相等 名师点晴 明确两向量相等的充要条件 它们的对应坐标相等 其实质为平面向量基本定理 应用 向量共线的充要条件的坐标表示 若 1122 axybxy 则a b 1221 0 x yx y 向量垂直的充要条件的坐标表示 若 1122 axybxy 则a b 1212 0 x xy y 26 2016 高考江苏卷 如图 在abc 中 d是bc的中点 e f是 a d上的两个三等 15 分点 4bc ca 1bf cf 则be ce 的值是 答案 7 8 解析 因为 2222 436 4 44 aobcfobc ba ca 22 4 1 4 fobc bf cf 因此 22513 bc 82 fo 2222 4167 448 eobcfobc be ce 考点 向量数量积 27 2015 江苏高考 14 设向量a ak cos sincos 0 1 2 12 666 kkk k 则 11 0k a aka ak 1 的 值 为 答案 9 3 解析 a aka ak 1 1 1 1 cos sincos cos sincos 666666 kkkkkk 1 1 1 coscos sincos sincos 666666 kkkkkk 1 1 1 1 1 coscossinsin sincoscossin coscos 6666666666 kkkkkkkkkk 2 2 1 3231 cossincoscossincoscossin 66662626266 kkkkkkk 3231 sin 1cos sin 264343 kkk 3 321 21 sincos 4626 kk 因为 21 21 sincos 626 kk 的周期皆为 一个周期的和皆为零 因此 11 0k a aka ak 1 3 3 129 3 4 考点定位 向量数量积 三角函数性质 16 28 2016 高考浙江理数 已知向量a a b b a a 1 b b 2 若对任意单位向量e e 均 有 a a e e b b e e 6 则a a b b的最大值是 答案 1 2 解析 试题分析 22 1 ab a b 6 ab 6 a b 2a b6a b 2 eee 即 最大值为 1 2 考点 平面向量的数量积 易错点睛 在6ab 两边同时平方 转化为 2 2 26aba b 的过程中 很容易忘 记右边的6进行平方而导致错误 29 2015 高考新课标 2 理 13 设向量 不平行 向量ab 与2ab 平行 则实数 答案 1 2 解析 因为向量ab 与2ab 平行 所以2abk ab 则 12 k k 所以 1 2 考点定位 向量共线 名师点睛 本题考查向量共线 明确平面向量共线定理 利用待定系数法得参数的关系是 解题关键 属于基础题 30 2015 高考浙江 理 15 已知1 2 e e 是空间单位向量 1 2 1 2 e e 若空间向量满足 12 5 2 2 b eb e 且对于任意 x yr 12010200 1 bxeyebx ey exyr 则 0 x 0 y b 答案 22 解析 问题等价于 12 bxeye 当且仅当 0 xx 0 yy 时取到最小值 1 两边平方即 xyyxyx b 54 22 在 0 xx 0 yy 时 取到最小值 1 22 45 b xyxyxy 17 22 4 5 xyxyb 222 43 2 7 24 y xyb 22 2 1 1 7 02 0 2 4 0 0 2 0 0 0 b y x b y y x 考点定位 1 平面向量