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微弱信号检测 2014年10月 樊宽刚 新学期 新气象 诸位同学好 课程介绍 教材 周求湛 弱信号检测与估计高晋占 微弱信号检测辅助教材 1 戴逸松著 微弱信号检测方法及仪器国防工业出版社 2 曾庆勇 微弱信号检测 第二版 浙江大学出版社 1994 3 陈佳圭著 微弱信号检测 中央广播电视大学出版社 1987 4 陈佳圭 金瑾华著 微弱信号检测 仪器的使用与实践 中央广播电视大学出版社 1989 文献资料 1 章克来 朱海明 微弱信号检测技术 航空电子技术 2009 02 2 杨汉祥 微弱信号检测技术的研究 科技广场 2009 01 3 包敬民 李向仓 微弱信号的检测技术 现代电子技术 2006 21 4 于丽霞 王福明 微弱信号检测技术综述 信息技术 2007 02 课程介绍 课程特点基于信号处理理论分析电子器件模型 放大电路和常用电子器件提供常用去 遏 噪方法 相关 积分 调制 屏蔽介绍应用实例和实用设备用理论的方法分析实际问题对实际器件进行理论建模有用 有点难度 有点枯燥 信号处理知识电路 电磁学电子器件 随机信号 白噪声 滤波 FFT 卷积 调制解调 屏蔽 接地 电磁辐射 电场 磁场 二极管 双极性晶体管 场效应管 运算放大器 第一章 理论基础第二章 放大器噪声源和特性第三章 干扰噪声第四章 方法 锁定放大第五章 方法 取样积分第六章 方法 相关算法第七章 方法 自适应 基本理论部分 发展 随机信号理论 内部噪声理论 外部噪声途径和遏制 和频率变换相关 相敏检测 低通滤波 时间换取空间 积分滤波 卷积相关的一种信号处理方法 最优算法的应用 第一章微弱信号检测和随机噪声 信号相对噪声幅值微弱 有时精度有要求 不得不考虑噪声 一个人有1米7高 喜欢到小朋友中间 鹤立鸡群 容易被看到 来到NBA球队 太渺小 被淹没了 唉 信号一微弱 问题很严重 1 1 微弱信号检测概述 1 1 1微弱信号容易被噪声淹没 较明显的检测量 传感器 输出信号 放大器 检测量微弱 电路噪声 或者外部干扰 信号和噪声都放大了 可惜信号经常很微弱 噪声一定会有 放大器等引入 放大 噪声 1 1 2需要特别提示 1 以前我们说的信号检测 更多是如何检测某种物理量 提到信号检测 你可能首先想到 热电偶测温度 超声测液位等测试方法 传感器物理模型和传感原理 其实本课程不是研究如何测试某微弱的物理量 而是指在对于物理量进行检测时 得到的电信号很微弱 这个信号容易被后期电路的噪声所淹没 因此我们其实在研究如何遏制噪声 信号微弱 加运放啊 可以我们说的微弱可能就是相对运放的噪声而言的 这个例子不知道是否可以帮助理解 一个储气罐 4Mpa 如果要测漏 0 0001Mpa波动 差压法测定 不是我们研究的 如果是绝压法 那么0 0001Mpa造成的微弱电信号改变 要能最终准确测定 这个可能和我们就有关了 1 1 3需要特别提示 2 微弱的物理量 往往是得到导致微弱信号的原因 1 我们研究的并不是微弱物理量 2 对象是 相对噪声微弱的信号 3 研究怎么有效放大传感器得到的微弱信号 如何遏制噪声 4 1 1 3微弱信号检测特点WSD 目的 提取需要检测到的微弱信息 微弱 一般幅值小 但其实是相对噪声 检测特点 遏制噪声 内部 外部 放大信号 提高信噪比对象 研究噪声 信号 研究两者区别 并且利用该区别研发设备和方法相对性 信号噪声可转换 1 1 4信号和噪声相关理论 分类 1 确定性信号 2 随机信号表示方法 1 波形图 2 公式y f x 3 其他 表格等研究方法 1 时域 均值 中值滤波 相关性 高斯分布 2 频率域 FFT 采样定理 低通 带通 带阻 3 其他 小波 分形等 特征分析 1 确知信号与随机信号 确知信号 能够以确定的时间函数表示的信号 它在定义域内任意时刻都有确定的函数值 例如电路中的正弦信号和各种形状周期信号等 随机信号 在事件发生之前无法预知信号的取值 即写不出明确的数学表达式 通常只知道它取某一数值的概率 具有随机性 例如 半导体载流子随机运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号 其出现的时间与强度是随机的 等都是随机信号 所有的实际信号在一定程度上都是随机信号 信号表示方法 1 波形图 2 公式y f x 如 y sin t 3 其他 表格等 2 信号分析方法 信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析 频域分析常采用傅里叶分析法 时域分析主要包括卷积和相关函数 3 噪声与干扰的定义 噪声 通常把由于材料或器件 内部电路器件 的物理原因产生的扰动称为噪声 频谱分布一般比较宽 干扰 把来自外部 人为或者自然 的扰动称为干扰 往往有一定的规律性和途径 可以减少或消除 广义噪声 就是扰乱或者干扰有用信号的某种不期望有的扰动 书本上 噪声虽然无用 虽然讨厌 但是它时刻不在 既然躲不过 那么回避不如勇敢面对 1 1 5判断指标 噪声对信号的覆盖程度改善的效果 信噪比信噪改善比分辨率 1 信噪比 有用信号与噪声总是叠加在一起的 任何时候都不可能完全没有噪声 用信噪比来评价信号的品质优劣 信噪比S N定义为有用信号的有效值与噪声有效值之比 有效值可以取 电压SNRV 功率SNRF SNRV SNRF 2 信噪比改善系数 输入信号和噪声 电路处理系统 改变信号和噪声比例 滤噪或混入噪声 输出信号和噪声 2 信噪比改善系数 评价一个放大器或者一个测试系统遏制噪声的能力当信号通过一个放大器或者一个测试系统后 信噪比可能提高 也可能降低 引入信噪比改善系数SNIR来描述放大器或测试系统对信噪比的改善作用 定义为SNIR大好还是小好 哈哈 当然希望越大越好啊 3 检测分辨率 一般的信号监控流程 输入最小变化 x1 y产生可观察到变化 输入变化 x y产生 y变化 以弹簧管压力表为例 大量程时 小压力波动不能测得变化 分辨率 对于可以测得的压力波动 指针动多大角度 可以通过调节齿轮放大机构 能够检测出的被测量的最小变化量 2 分辨率 是相对数值 定义 1 分辨力 是绝对数值 如0 01mm 0 1g 10ms 说明 表征测量系统的分辨能力 能检测的最小被测量的变换量相对于满量程的百分数 如 0 1 0 02 3 阀值 在系统输入零点附近的分辨力 检测分辨力 分辨率 教材上没有区分两者对于微弱信号检测 最高分辨率可以达到的有关技术参数见P2表1 1 定义 测量系统输出量的增量与输入量的增量之比 斜率 a 线性检测系统 灵敏度为常数 b 非线性检测系统 灵敏度为变数 说明 灵敏度系数 灵敏度 sensitivity 灵敏度和放大倍数有关 灵敏度 sensitivity 2V信号 放大电路K1 4V 显示4格 2V信号 放大电路K2 8V 显示8格 K2 2 K1 1 2常规小信号检测方法 常规小信号检测方法 相比微弱信号要容易检测也是要提高信噪比已经形成了一些成熟方法两者方法上有相类似之处 1 滤波 一般来说 能改变信号中各个频率分量的相对大小 或者抑制甚至全部滤除某些频率分量的过程称为滤波 高频就是变化快的信号 图象中表现为边缘 1 滤波工作原理 将一个在时域表示的信号 一般可以表示为y f t 通过傅立叶变换 变换到频域 得到该信号在各个频率上的分布信息 然后选择变换后信号在某些频率上的信息作为输出 去除该信号其他频率上的信息 将滤波处理的频域信号 反变换到时域 得到结果 窗函数 1 1 窗函数 研究信号在某一时间间隔或某一频率间隔内的特性 或者说希望观察信号在时域或频域的局部性能 可以利用 窗函数 对信号开窗 在时间域称为时域 时间 窗函数 在频率域称为频域 频率 窗函数 带宽的选择 小则滤波效果好 但是不稳定 例如 在机械加工中常常使用的电动轮廓仪来测量工件表面粗糙度 在测量过程中 电感传感器的测针沿被测表面滑过 这时 传感器输出的电压信号中包含三种成分 1 表面坡度信号x1 t f1 2 表面粗糙度信号x2 t f2 3 高频电气干扰x3 t f3 且f1 f2 f3V0 x1 t x2 t x3 t 对V0进行频谱分析 见图 为了准确地测量粗糙度信号 让V0分别通过一个低通滤波器和一个高通滤波器 分别滤掉f3和f1 这样f2就不失真地通过 按功能分 低通滤波器 高通滤波器带通滤波器 带阻滤波器使用场合 信号和噪声频谱需不重合 1 2 滤波器类型 以下有所扩展 低通滤波器 遏制高频噪声 用于有用信号缓慢变化的场合 对于低频噪声没有作用 与低通滤波相反 从频率f1 其幅频特性平直 它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过 而低于f1的频率成分将受到极大地衰减 高频是一种突变形的信号 高通滤波器 它的通频带在f1 f2之间 它使信号中高于f1而低于f2的频率成分可以不受衰减地通过 而其它成分受到衰减 带通滤波器 阻带在频率f1 f2之间 使信号中高于f1而低于f2的频率成分受到衰减 其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过 如处理50Hz的工频干扰 带阻滤波器 低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式 其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器 例如 低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器 低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器 低通滤波器与高通滤波器的串联 可通频段 低通滤波器与高通滤波器的并联 信号调节器 可通频段 你应该知道的 傅里叶变换记为 F j F f t f t F 1 F j 频谱图 亮处能量高 原图 幅度谱 相位谱 1 1 低通效果 原图 处理后 低通 模糊 效果 f x y G u v 理想低通滤波器 高斯低通滤波器 巴特沃思低通滤波器 2 调制和解调 信号 不同频噪声 不同频可分 滤波后 放大器 信号和噪声不同频率 滤波可分 滤波能行 信号 同频噪声 同频不可分 信号 同频噪声 滤波可分 看来需要对信号先处理下 信号改变频率 2 1 调制和解调 调制是将要传送的信息装载到某一 高频振荡 载频信号上去的过程 有调幅 AM 调频 FM 和调相 PM 三种方式 调幅调制方式 用 低频 调制信号去控制 高频正弦波 载波的振幅 使其随调制信号波形的变化而变化 对于直流 低频信号 避免1 f噪声和缓慢漂移 2 2 调制和解调 过程中包括了二次的频谱迁移放大器间可以用隔直电容 低通滤波 放大可以采用交流放大 调制和解调 调制 相乘 2 3 调制理论公式 低频信号 高频载波 书上的公式 就是对单一频率信号的分析 能理解不 三角公式 2 4 解调 振幅解调 又称检波 是振幅调制的逆过程 它的作用是从已调制的高频振荡中恢复出原来的调制信号 从频谱上看 检波就是将幅度调制波中的边带信号不失真地从载波频率附近搬移到零频率附近 因此检波器属于频谱搬移电路 检波器的组成应包括三部分 高频已调信号源 非线性器件 RC低通滤波器 解调 相乘 低通 回顾一下 微弱信号特点噪声和干扰指标 信噪比 信噪比改善比小信号处理方法 滤波调制解调 3 零位法 利用指零机构的作用 使被测量和可调对照量两者达到平衡 根据指零机构示值为零 接近零 来确定被测量等于对照量 特点 分辨率由对比量精度和指示精度决定求差过程可去除干扰 提高信噪比 反馈的操作 人工 自动 这是一种间接检测的方式 要求 被测量和可调对照量通道尽量一致 让两个通道的干扰一致 否则反而扩大干扰 物理测试中的零位法实例 直接指示仪表 零位法仪表 直接指示5Kg 保证指针零点砝码质量有效 零位法工作机理 被测量 手动或者自动调节 保证指针归零 对比量 n1 n2 见图1 4 图1 5 要求N1尽量等于N2 调节结构 R R X m 调节结构 电位计 待测电压 电位计输出电压 4 反馈补偿技术 将输出引回到输入对变换和放大过程中引入的干扰进行抵消 开环检测公式 被测量 变换H1 变换H2 y n1 n2 x H是变换环节 变换和放大中引入干扰和放大干扰 反馈闭环分析 被测量 变换H1 变换H2 y n1 n2 x A 反馈KF 放大倍数A大 遏制n1和n2的影响KF稳定 系统容易稳定如果要放大信号 那么放大倍数不是A决定的 闭环抗干扰 A H1 H2 Kf A Kf 反馈传递函数 y被改变了 系数是反馈决定的 简单分析 被测量 变换H1 变换H2 y n1 n2 x A 反馈KF x x 当A很大时 x的影响依然在 但是n1的影响被迅速减少 同理推n2的影响力 1 3随机噪声及统计特征 随机变量 随机变量是指随机事件的数量表现 表示随机现象各种结果的变量 可以随机地取得不同的数值随机变量是一个与时间无关的量噪声是随机的 或者说是不可预知的 这种具有随机性的信号称为随机信号在给定时刻上 随机信号的取值就是一个随机变量 基于概率论的随机变量及其统计特征 是随机过程和随机信号分析的基础 随机变量 离散型随机变量 即在一定区间内变量取值为有限个 或数值可以一一列举出来 例如 某一时间内汽车站等车乘客的人数 连续型随机变量 即在一定区间内变量取值有无限个 或数值无法一一列举出来 例如 电压随时间连续变化的值 许多噪声是随时间变化的 随时间变化的随机变量就称为随机过程 噪声属于随机过程 随机过程X t 由随机变量x t1 构成 与时间t1相关 噪声是随机过程 瞬间值是时间的函数 在任一时刻上观察到的值是不确定的 是一个随机变量 我们知道了开始 n之前的结果 能知道结果吗 确定n时刻的准确数值 随机过程 随机过程 噪声电压多次观察得到波形 每次观测波形的具体形状虽然事先不知道 但肯定为所有可能的波形中的一个 所有可能的波形集合 样本函数 是时间的函数 x1 t x2 t x3 t xn t 就构成了随机过程x t 同理就是所有同学在课堂上都反复抛硬币 例子 热噪声电压 一次测得的电压 时间函数是一个样本函数 根据任一时刻的状态是连续型随机变量还是离散型随机变量 连续型随机过程 离散型随机过程 热噪声电压 根据时间 参数 是连续变量还是离散变量 连续参数随机过程 离散参数随机过程 随机过程的分类 平稳随机过程 提示 严平稳随机过程 设有限维随机过程 t t T 若对于任意n和任意选定t1 t2 tn tk T k 1 2 n 以及h为任意值 且x1 x2 xn R 有fn x1 x2 xn t1 t2 tn fn x1 x2 xn t1 h t2 h tn h 概率分布密度不随时间变化 则称 t 是严平稳随机过程 宽平稳随机过程 广义平稳 若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关 而其相关函数仅与时间间隔有关 即我们就称这个随机过程是广义平稳的 严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程 平稳随机过程定义 1 平稳随机过程 书本 是指它的概率密度函数和统计特性不随时间的推移而变化的随机过程 2 说明 当取样点在时间轴上作任意平移时 随机过程的所有有限维分布函数是不变的 具体到它的一维分布 则与时间t无关 f1 x1 t1 f1 x1 而二维分布只与时间间隔 有关f2 x1 x2 t1 t2 f2 x1 x2 和起点没有关系 3 你9点开始扔硬币和10点 统计结果有区别吗 RC电路 刚通电时和稳定后是不同的 各态历经性 各态遍历性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性 称为 各态历经性 这种平稳随机过程 它的数字特征 均为统计平均 完全可由随机过程中的任一实现的数字特征 均为时间平均 来替代 也就是说 假设x t 是平稳随机过程 t 的任意一个实现 它的时间均值和时间相关函数分别为 如果平稳随机过程使下式成立 则称该平稳随机过程具有各态历经性 理解 各态历经 的含义就是随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态 无需 实际中也不可能 获得大量用来计算统计平均的样本函数 而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有数字特征 从而使 统计平均 化为 时间平均 使实际测量和计算的问题大为简化 任意一个实现的时间统计 平稳随机过程和遍历性过程 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程但平稳随机过程不一定是各态历经的随机信号和噪声 一般均能满足各态历经条件 不好理解 下面的例子可以好好回去考虑让全班同学抛硬币 然后统计概率函数 和一位同学长时间抛硬币 统计概率函数 是不是一样 而且和这位同学什么时候开始抛有没有关系 相反例子 统计一位同学四年考试成绩 能否反映本班级学习情况 和统计全班成绩相近吗 大一统计和大二统计同一位同学 是否结果一样 又如 统计两位射手的成绩 得到分布 可以比较他们的水平 说明统计一个的成绩不能代表所有人的成绩分布 1 3 1高斯过程 正态随机过程 任意的n维分布都服从正态分布的随机过程 一维概率密度函数a数学期望 均方差 方差f x 关于x a对称f x 在单调上升 单调下降或且有 均匀分布概率密度 其分布函数为 1 3 概率密度函数为 1 b a x y y F x 均匀分布 那么概率密度函数怎么画 1 3 2均值 数学期望 各态历经 时间平均替代统计平均 平稳随机过程 表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 T的取值 1 3 2方差 各态历经 平稳随机过程 表示对均值的偏离程度 表明随机噪声的起伏程度两班考试 平均值一样 方差大小表明什么 均方值 各态历经 平稳随机过程 反映功率 1 4 幅度平方代表功率 各态历经 平稳随机过程 和时间起点无关 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度 1 5 平移指定时间差 1 3 3相关函数 自相关是一个偶函数R 0 最大 这表明什么例子 拿自己的照片 时间越近最相似P13 图1 9 是其时域特征的平均量度 它反映同一个随机噪声n t 在不同时刻t1和t2取值的相关程度 例1求正弦函数的自相关函数 波形平移 求相关 相关函数 互相关函数 各态历经 平稳随机过程 时间起点无关 P15 特性 独立与不相关 归一化 相关函数 互相关 描述两路随机噪声相互关系的另一个术语是 相互独立 当随机过程x和y相互独立时 其联合概率密度p x y p x p y 当上式成立时 x和y必定相互独立 而且E xy E x E y 相互独立的两路噪声一定是互不相关 但互不相关的两路随机噪声不一定相互独立 4 归一化相关函数 归一化自相关函数归一化互相关函数 可以证明 xy 1 当 xy 1时 则所有的点都落在y y m x x 的直线上 说明x y两变量是理想的线性相关 xy 1也是理想的线性相关 只是直线的斜率为负 xy 0表示x y两变量之间完全无关 不同归一化互相关函数下x和y的采样值情况 y xy 0 x x x x y y y xy 1 xy 0 7 xy 0 7 归一化互相关函数反映两路随机噪声的相关程度 不受系统增益的影响 归一化的相关函数消除了随机噪声的幅度和功率的影响 能够更准确地反映随机噪声的相关程度 但微弱信号检测中 不但要利用相关函数的行质从随机噪声中提取出有用信号 而且信号的幅度是至关重要的 相关函数的性质根据定义 相关函数有如下性质 1 自相关函数是偶函数 互相关函数不是偶函数 也不是奇函数 而满足下式 2 自相关函数在 0处取得最大值 这性质是相关技术确定同名点的依据 两边取时间T的平均值并取极限 互相关函数 相似程度 同名点 目标区 搜索区 3 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号 但不具有原信号的相位信息 4 随机信号的自相关函数将随 值增大而很快趋于零 互相关函数具有以下性质 两周期信号具有相同的频率 才有互相关函数 即两个非同频的周期信号是不相关的 两个相同周期的信号的互相关函数仍是周期函数 其周期与原信号的周期相同 并不丢失相位信息 两信号错开一个时间间隔 0处相关程度有可能最高 它反映两信号x t y t 之间主传输通道的滞后时间 前面内容回顾 1 小信号处理方法 滤波 频率可分调制解调 改变频率零位 间接方式 消除干扰反馈 反馈稳定 2 随机过程平稳随机过程各态历经统计量 相关性解析 平移指定时间差然后相乘 得到相关函数上的一点 相关函数的应用 例如噪声中信号的检测 信号中隐含周期性的检测 信号相关性的检验 信号时延长度的测量等等 相关函数还是描述随机信号的重要统计量 现举例说明利用自相关函数检测信号序列中隐含的周期性的方法 式中rsu m 和rus m 是s n 和u n 的互相关 一般噪声是随机的 和信号s n 应无相关性 这两项应该很小 式中ru m 是噪声u n 的自相关函数 由后面的讨论可知 ru m 主要集中在m 0处有值 当 m 0时 应衰减得很快 因此 若s n 是以M为周期的 那么rs m 也应是周期的 且周期为M 这样 rx m 也将呈现周期变化 且在m 0 M 2M 处呈现峰值 从而揭示出隐含在x n 中的周期性 由于x n 总长为有限长 所以这些峰值将是逐渐衰减的 且rx m 的最大延迟应远小于数据长度N 利用互相关函数进行设备的不解体故障诊断 若要检查一小汽车司机座位的振动是由发动机引起的 还是由后桥引起的 可在发动机 司机座位 后桥上布置加速度传感器 如图所示 然后将输出信号放大并进行相关分析 可以看到 发动机与司机座位的相关性较差 而后桥与司机座位的互相关较大 因此 可以认为司机座位的振动主要由汽车后桥的振动引起的 作业1 例 利用采样保持器对零均值连续随机电压波形进行不断的采样保持 保持的时间间隔为1s 设各采样值之间互不相关 采样值在 1 1之间均匀分布 t 0之后第一次采样时刻t1在0 1s之间均匀分布 采样保持器的输出波形n t 如图所示 求x t 的功率Pn和自相关函数的图形 x t 0 1 1 t1 x t t 1 3 4功率谱密度函数 随机噪声为什么要用功率谱分析 直接傅立叶不行吗 1 3 4 1功率谱密度函数概述 定义 单位 角频率 频率 带宽的功率 对功率谱密度函数在整个频率范围内积分 可得到X t 的功率 平稳随机过程有 描述了随机噪声X t 功率在各个频率点上的分布 功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号 傅立叶变换 维纳 辛钦定理 若随机过程X t 是平稳的 自相关函数绝对可积 则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换 维纳 辛钦定理 P17 公式1 36 1 37 维纳 辛钦关系 在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具 是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式 1 6 傅立叶变换对 平稳随机过程功率谱密度的性质 一功率谱密度的性质 1功率谱密度为非负的 即 证明 2功率谱密度是实函数3功率有相位信息吗 4对于实随机过程来说 功率谱密度是的偶函数 即 又 4功率谱密度面积为功率 5x t 变化快慢对功率谱密度 自相关函数影响见图1 13 x t 变化快 相关性 谱分布宽度 R S 互谱密度函数 和互相关函数对应 自学P19 1 4常见随机噪声 1 4 1白噪声 一 理想白噪声 定义 若N t 为一个具有零均值的平稳随机过程 其功率谱密度均匀分布在的整个频率区间 功率谱密度为常数 即 其中为一正实常数 则称N t 为白噪声过程或简称为白噪声 为什么称为白噪声 不知道你对于颜色怎么理解 理论上的白噪声真的存在 1013Hz 自相关函数 狄拉克函数 不同时刻值互不相关 自相关系数为 功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对 白噪声的功率谱密度与自相关函数 白噪声扩展 双边谱密度 单边谱密度 顺便提一下 总结 白噪声只是一种理想化的模型 是不存在的 白噪声在数学处理上具有简单 方便等优点 为什么 那么提出理想模型有什么用 2 限带白噪声 低通型 低通型限带白噪声的自相关函数为 图显示出了低通型限带白噪声的和的图形 注意 时间间隔为整数倍的那些随机变量 彼此是不相关的 均值为0 相关函数值为0 低通白噪声总结 有限带宽内功率谱密度为常数自相关函数有规律振荡衰减 1 7 有色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程 我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声 窄带噪声 窄带噪声可以看成是白噪声通过理想带通滤波器的输出 其功率谱密度函数Sx 限制在一个很窄的带宽B之内 中心频率为 0 且满足B 0 这种噪声在通信系统和调制放大器中经常遇到 实际上Sx 在通带内的形状是任意的 窄带噪声 时间函数 功率谱密度 振幅随机 相位随机 随机调幅调相波 窄带噪声表示为 式中 为噪声的随机包络 为噪声的随机相位 相对于载波的变化而言 它们的变化要缓慢的多 属于慢变随机函数 窄带随机过程表示 窄带随机过程的表达式 包络 相位 中心频率 Xc t 和xs t 为互不相关 零均值的平稳慢变随机过程 分别称之为窄带噪声的同相分量和正交分量 即 xc t 和xs t 具有相同的自相关函数 即而且 如果x t 为高斯分布则xc t 和xs t 也为高斯分布 x t 的自相关函数Rx 为 由于xc t 和xs t 互不相关 则上式中二者交叉相乘项的数学期望值为零 可得 可得 由上式可知 窄带噪声的自相关函数的基频为 0 包络线为Rxs 他的形状取决于通带内Sx 的形状 假设Sx 在其通带内为恒定值N0 2 可计算出x t 的自相关函数Rx 为 由上式可得到 说明的功率和方差相等对式进行傅立叶变换可得 窄带噪声的功率谱密度函数Sx 为上式说明 窄带噪声的功率谱密度函数是其正交分量的功率谱密度函数分别平移到 0和 0处的复合结果 2 窄带噪声的随机振幅和随机相位的概率密度函数 如果x t 是方差 2为的高斯分布零均值随机变量 则其概率密度函数可以表示为 其正交分量xc t 和xs t 具有相同的方差 也是高斯分布 他们的概率密度函数也类似 xc t 和xs t 是相互独立的高斯过程 其联合概率密度为 根据式所示的函数关系 A t 和 t 的联合概率密度函数转换公式为 J 为雅可比行列式 将带入上式可得 将式和 J 带入得到A t 和 t 联合概率密度函数为 由此可得窄带噪声的随机振幅A t 的概率密度函数为 x t 随机相位 t 的概率密度函数为 由上式可知 高斯分布的窄带噪声的包络服从瑞利分布 其随机相位服从均匀分布 可求得随机振幅A t 的均值为 随机振幅A t 的方差为 作业2 在幅度调制信号s t A t cos 0t 接收过程中 叠加了零均值窄带高斯噪声n t 接收设备为包络检测器 试求接收到的信号包络的概率密度函数 简单概念回顾 相关函数 不同随机过程之间或者同一随机过程之间不同时刻数值之间的相互关系 功率谱密度 功率在各个频率点上的分布 1 为什么我们需要分析功率谱密度 2 功率谱密度和自相关函数的关系白噪声定义和特征 功率谱密度限带白噪声 定义和特征窄带白噪声 定义和特征 1 5随机噪声通过电路系统的响应 1 5 1平稳随机过程通过线性系统的响应对于如图所示的线性系统 其动态特性可以用脉冲响应函数或频率响应函数来描述 他们构成一对傅立叶变换对 系统的冲激响应函数h t 是系统输入为 t 脉冲时的输出电压函数 对于给定的输入信号x t 其输出为 如果输入x t 为确定性信号 则输出y t 也是确定性信号 x t 和y t 的傅立叶变换满足下列关系 但是对于输入x t 为随机噪声的情况 通过线性系统后的输出y t 也一定为随机噪声 他们幅度的不确定性使其傅立叶谱不可得的 上式不再有效 只能分析其统计特性的方法来确定他们之间的关系 用分析统计特性的方法来确定他们之间的关系 输出y t 的自相关函数为将带入上式得将数学期望运算移入积分式内 得 令t 1 t1 t 2 t2 则 1 t t1 2 t t2对上式进行傅立叶变换可得 y t 的功率谱密度函数Sy 为令 t t1 t 则 t t1 t2 得 即常用来计算随机噪声通过线性电路后输出随机噪声的功率谱密度 上式的傅立叶反变换为 利用类似的推导过程 可得x t 和y t 的互谱密度函数Sxy 和互相关函数Rxy 与Sx 和Rx 之间的关系 系统可分为 1 线性系统 线性放大器 线性滤波器 2 非线性系统 限幅器 平方律检波器对于线性系统 已知系统特性和输入信号的统计特性 可以求出系统输出信号的统计特性 若任意常数a b 输入信号x1 t x2 t 有L ax1 t bx2 t aL x1 t bL x2 t 若输入信号x t 时移时间C 输出y t 也只引起一个相同的时移 即y t L x t y t C L x t C H w h t x t y t x t h t 线性系统的基本理论 什么是线性系统 时不变线性系统 例1 白噪声x t 输入到一阶RC低通滤波器电路 如图所示 x t 的功率谱密度为Sx N0 2 求滤波器输出y t 的功率谱密度Sy 和功率Px 例2 设输入噪声x t 为零均值高斯分布的白噪声 其功率谱密度Sx N0 2 系统的冲击响应函数h t 由下式给出 求系统输出噪声y t 的功率谱密度Sy 和自相关函数Ry 1 5 2非平稳随机过程通过线性系统的响应 在实际应用中 线性电路中可能包含一些电子开关 在电子开关刚刚闭合后的一段时间内 电路处于过度状态 输出噪声是非平稳的 这时已不用上式来计算电路输出的功率谱密度函数Sx 只能根据所表示的线性电路的卷积作用来计算非平稳输出噪声的统计特征 在如图所示的电路中 t 0时开关闭合 随机噪声x t 送入RC滤波器 由于电路处于过渡状态 输出噪声的自相关函数与计算的时间起点有关 只能求其Ry t1 t2 而不能计算出Ry 即 将式带入上式 得 考虑到x t 在t 0时刻加入 将数学期望运算符移到积分符号内 并用u和v分别表示两个积分式中的 上式可以写成上式可以用来计算非平稳随机噪声通过线性系统输出的统计特征 例 如果如图所示电路的输入噪声x t 为白噪声 其功率谱密度为Sx N0 2 则其自相关函数为 式中 为狄拉克函数 开关在t 0时闭合 可得时刻t输出噪声的功率 RC积分电路的频率响应函数H j 和冲激响应函数h t 分别为将h t 和Rx 代入Px 得 上式说明 处于非平稳状态下的电路输出噪声y t 的功率是变换的 当t 0开关闭合时 Px 0 当t 电路达到稳定状态 输出噪声y t 的功率Px也达到其稳定值N0 4RC 当电路达到稳定状态后 输出y t 的功率也可以按随机噪声通过线性系统的方法计算出来 根据Sx N0 2 由式可得 输出噪声的功率为计算出的结果与t 时的输出功率结果相同 非平稳随机噪声经过线性系统 信号和时间起点有关 只能通过卷积运算来计算统计特性 非平稳状态下 噪声y的输出功率是变化的 1 5 3随机过程通过非线性系统的响应 如果系统的两个输入量之和不能产生相应的输出量之和 则称这个系统是非线性系统 许多电子器件 例如二极管 三极管 运算放大器等都表现出一定程度的非线性 非线性器件的输出电流或电压不成比例 非线性器件在某些场合具有其特殊的用途 例如用作检波 鉴频 混频等 他们在收音机 电视机中使用得很普遍 1 平方律检波器对于平方律检波器 其输入信号x t 与输出信号y t 之间的关系可以表示为如图所示 由此可得因为具有两个解 这种情况下输出信号y t 的概率密度函数py y 为式中px x 为x t 的概率密度函数 对于平稳的零均值高斯输入噪声x t 其概率密度函数px x 可以表示为式中 x2为x t 的方差 由上式可以看出 px x px x 所以上式说明 对于高斯输入噪声x t 平方律检波器的输出信号y t 不再是高斯分布 输出信号y t 的均值为上式说明 平方律检波器的输出信号y t 的均值等于输入信号x t 的方差 y t 的自相关函数为根据概率论的基本原理 上式可演变为因为x t 是平稳的随机信号 所以式中的 可得式中第一项是y t 的直流分量的相关函数 第二项是其交流分量的相关函数 令 0 可得平方律检波器输出y t 的功率对Ry 进行傅立叶变换 可以计算出y t 的功率谱密度Sy 根据傅立叶变换的性质F 1 如果F z1 t Z1 F z2 t Z2 则 令z1 t z2 t Rx t 则有Z1 Z2 Sx 代入上式得可见 平方律检波器的输出y t 的功率谱密度函数Sy 由两部分组成 一部分是取决于输入信号x t 的方差的直流分量 另一部分是输入信号x t 的功率谱密度函数的自我卷积Sx 2 过零检测器过零检测器用于提取随机噪声的符号函数 它应用于极性相关器 过零检测器的输入x t 与输出y t 之间的关系为过零检测器的输入输出关系如图所示 经过过零检测器后 随机噪声的幅度信号丢失了 只用二值函数 1或 1来表示其符号 过零检测器的输入x t 波形与输出y t 波形如图所示 对于平稳的零均值高斯输入噪声x t 其概率分布函数为y t 的概率密度函数为 自相关函数Ry 和的自相关函数Rx 的关系 如果x t 为零均值高斯平稳噪声 则有其中 x 是归一化的自相关函数 综上可得 y t 的均值为 3 全波检波器 全波检波器的输入和输出之间的关系为y t x t 有两个解 x1 y x2 y 而且 y t 的概率密度函数为 如果输入噪声x t 为零均值高斯噪声 则其概率密度函数px x 可得的y t 概率密度函数为 y t 的均值为 对于零均值高斯噪声输入 全波检波器输出y t 的均值正比于输入噪声x t 的有效值 当全波检波器的输入为零均值高斯噪声时 其输出的自相关函数为 由上式可得 全波检波器输出y t 的功率等于其输入x t 的功率 即 随机噪声通过非线性系统的响应 输入信号x1 t x2 t 有L x1 t L x2 t L x1 t x2 t L x1 t L x2 t 1 半波检波 2 全波检波 3 二次失真 4 平方律检波器 几种常用的非线性系统 本章重点讨论过零检测 全波检波和平方律检波 5 过零检测 1 6等效噪声带宽 3dB带宽 确定信号 就是半功率点之间频率间隔 也就是电压的1 1 414 之间的频率宽度 1 6 1噪声的等效噪声带宽 当系统比较复杂时 计算系统输出噪声的统计特性是困难的 在实际中为了计算方便 常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统 在等效时要用到一个非常重要的概念 等效噪声带宽 它被定义为理想系统的带宽 等效的原则 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下 两个系统的输出功率相等 等效噪声带宽 实际系统 理想系统 白噪声 输出功率 输出功率 计算实际系统的等效噪声带宽 H 0 H w max H w 0 w A0 HI w 0 w 功率谱密度为 白噪声激励 实际系统输出端总平均功率为 理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 1 6 2等效噪声带宽 实际系统的等效噪声带宽为 对于一般的低通滤波器 的最大值出现在 0处 即 对于中心频率为 带通系统 如单调谐回路 的最大值出现在 处 即 1 6 2等效噪声带宽 和A0取值有关 实际系统的等效噪声带宽为 代入 系统输出平均功率 1 6 2等效噪声带宽 选择的增益和等效带宽的关系 1 6 2等效噪声带宽 两者有一定关系 此消彼涨 回顾 1 线性系统响应 为什么傅立叶谱不可用 2 非线性系统响应 各种系统分析 3 等效带宽 定义 公式 第二章放大器的噪声源和噪声特性 为什么要分析放大器 放大器在微弱信号处理中的作用微弱信号需要放大到可以识别幅度电子器件本身就是噪声源放大器有电子噪声 固有噪声 电子噪声定义 1 广义污染和干扰有用信号的不期望的信号 包括 外部干扰 电路内部噪声可是确定的也可是随机2 狭义电荷载体的随机运动导致的电压 电流的随机波动 噪声真的能那么广泛 喇叭噪声的表现 稳定的咝咝声或沙沙声 放大器元器件产生的固有噪声 一般非常轻微而且稳定 不会随着音量调节而变化 除了改变放大器的电路设计 这种噪声无法消除 嗡声 通常说的 交流声 来源非常复杂 器材工艺设计的不合理 连接线缆的屏蔽能力等都会产生这样的声音 有时 供电电压过低导致内部电路工作不正常也会产生交流声 噼啪声 所谓的放电声 器材内部积累灰尘过多是产生这种声音的主要原因 有时元器件超过使用寿命而失效也会产生这种声音 遇上这种情况应该立即修理检查 否则有可能产生更大的问题 流水声 这是一种高频自激的现象 是电路设计不良造成的 属于质量问题 啸叫声 汽船声 典型的高频 低频自激 应该马上关闭你的系统电源 检查器材之间的连接是否有误 偶尔的滋滋声 交流供电线路的串扰 当交流电的供电质量非常糟糕的时候 也会产生这种现象 噗噗声 内部元器件出现故障的现象 广播声 电路设计不良 放大器的开环频响很差 非线性失真严重 并且没有进行适当的处理就会产生这种现象 这种现象往往是设计者片面追逐过宽的闭环频响 而放大器电路本身开环性能不良产生矛盾造成的 当入射光强度较大时 在示波器上可以看到正弦变化的信号电压波形 降低入射光功率时 增大放大率 发现正弦电压信号上出现许多无规起伏 使正弦信号变得模糊不清 图 b 再降低入射光功率时 正弦波幅度越来越小 而杂乱无章的变化愈来愈大 最后只剩下了无规则的起伏 完全看不出什么正弦变化 这叫做噪声完全埋没了信号 当然这时探测器也失去了探测弱光信号的能力 电子系统内部固有噪声 1 电路元器件产生 属于内部噪声 2 电荷载体随机运动结果 与输入信号无关 瞬间幅度不可测 所以要统计和概率3 热噪声 散弹噪声 1 f噪声 爆裂噪声4 噪声是连续的 基本上固定不变 频谱分布广泛5 需要改进元器件的材料和生产工艺6 决定系统分辨率和最小可检测信号幅度 看来是躲不是办法 怪不得要我学概率统计 我学的 不说不知道 世界真奇妙 白噪声假设果然有空间 2 1 1热噪声 约翰逊噪声 热 温度 那么不是时刻存在 温度高 有能量 活动性强 热噪声 约翰逊噪声 现象任何电阻或导体 即使没有连接到信号源或电源 其两端也会出现很微弱的电压波动 这就是电阻的热噪声引起的起因电阻热噪声起源于电阻中自由电子随机热运动 导致电阻两端电荷的瞬时堆积 形成噪声电压零均值高斯分布大量电子随机运动 热噪声电压的瞬时幅值服从正态分布 均值为零白噪声频率涵盖整个有用 实际 频谱 其实在很高频率 很低温度时 S会变化 请注意分辨高斯分布和白噪声概念 热噪声 公式 发现 1928年 约翰逊 贝尔实验室 物理解释 奈奎斯特 热力学统计解释 式中 f 频率R 电阻值k 1 38 10 23J K 波尔兹曼常数T 绝对温度 这个实验室是不是耳熟的很 和f没有关系吧 那么和什么相关 贝尔实验室是晶体管 激光器 太阳能电池 发光二极管 数字交换机 通信卫星 电子数字计算机 蜂窝移动通信设备 长途电视传送 仿真语言 有声电影 立体声录音 以及通信网的许多重大发明的诞生地 此外如通讯数学理论 后称为信息论 激光理论 可视电话 磁泡器件 光通信 UNIX C C 数字计算机等的研究成果自1925年以来 贝尔实验室共获得两万五千多项专利 现在 平均每个工作日获得三项多专利 这些技术使朗讯科技 LucentTechnologies 公司在通信系统 产品 元件和网络软件方面处于全球领先地位 热噪声等效功率 功率和温度 电阻相关 一定的频率宽度B等效噪声宽度 功率谱密度函数积分 噪声均方值得到等效功率 经典热力学推导出来的是近似结果 根据量子理论得出的热噪声电压的功率谱密度函数为 式中 h 6 62 10E 34 J s 普朗克常数f 频率R 电阻值k 1 38 10E 23 J K 波尔兹曼常数T 绝对温度 根据公式可以看出 当频率f高到一定程度 kT h St f 会逐渐减小 但在室温下 T 300K 当f 0 1kT h 10E 12 Hz时 利用台劳级数展开指数部分 并只取前两项近似 此时公式就简化为 基于量子理论 在很高频率和很低温度时 热噪声功率谱密度函数将变化 一般检测装置的工作频率要比10exp 12 Hz低得多 可认为热噪声是白噪声 即热噪声电压的有效值 或功率谱密度函数 在各频率分量上皆相等 和频率无关 简化公式的适用范围 电阻中大量电子随机热运动的结果 所以是高斯分布 频率增大 温度增大 例试计算 k 电阻的噪声均方值电压和均方值电流各是多少 设 K k 解 U2n 4k T R B 4 1 38 10 23 290 510 103 105 8 16 10 10 2 I2n 4k T BW R 4 1 38 10 23 290 105 510 103 3 14 10 21 2 1 等效功率 均方值 B 为系统等效带宽 HZe 热噪声电压值功率和温度 电阻成正比 和频率无关 所以可以估计器件的热噪声数值 电阻大 电子多 容积 温度高 个体活跃性高 2 电压有效值 均方根值 例如 对于输入电阻Ri 500kW 带宽B 10kHz的放大器 设环境温度T 300K 可求出热噪声电压的有效值为9 1mV 若输入被测信号为微伏量级 将被热噪声所淹没 降低热噪声的主要途径是减小R和B 尽管降低温度也有助于降低热噪声 但效果不明显 例如 将电阻浸在液态氮 77K 中 热噪声电压有效值也仅仅减小约50 3 电流功率谱密度函数 统计特性分析 4 电流有效值 等效电路分析 1 电压源电压恒定 和电流无关 2 电流源电流恒定 和电压无关 串联 例2 1 电阻串联 噪声电路 串联 例2 1 0 串联 例2 1 1 热噪声相加 然后求均方值 两个信号不相关2 功率加和 得到等效功率 再得到电压有效值3 有效电压不能简单加和 否则能量增加 应该是利用统计平均等到 4 等效电路的电阻加和 并联 例2 2 噪声电压分压结果 并联 例2 2 1 功率加和 得到等效功率 再有效电压2 对每一路噪声电压进行分压3 等效电路的电阻并联 容阻并联 噪声过线性系统 容阻并联 并联电容后 无论什么阻值 只要电容一定 温度一定 噪声有效值一定 但是功率谱分布变化 真空电子管和半导体器件中 在电子管里 散粒噪声来自阴极电子的随机发射 每秒发射的电子平均数目是常数 不过电子发射的实际数目随时间是变化的和不能预测的 在半导体器件中 散粒噪声是越过PN结的载流子的随机扩散和电子孔穴对的随机产生与复合造成的 凡是具有PN结的元件均存在这种散粒噪声 散粒噪声使流过电子管和PN结的电流出现小幅度随机波动 散粒噪声电流有效值在各频率分量上皆相等 属于 噪声 散粒噪声电流的瞬时幅值也服从正态分布 均值也为零 是大量随机事件的综合结果 2 1 2散弹噪声 散粒噪声 散弹噪声 散粒噪声 1918年 肖特基 热阴极电子管 并且得到理论公式 散弹噪声 散粒噪声 在平均电流不太大 频率不太高的条件下 散粒噪声电流的功率谱密度函数为 式中 q 1 602 10 19C为电子电荷量Idc为平均直流电流 统计特性 Idc 平均直流电流 决定了散弹噪声电流ish的大小带宽大 电流有效值大要消除该噪声影响 那么就减少平均直流电 2 1 31 f噪声 接触噪声 接触噪声发生在两导体相连接的地方 是由于接触点电导的随机涨落引起的 凡是有导体接触不理想的元器件 都存在接触噪声 接触噪声最早是在电子管的极板电流中发现的 称为闪烁噪声 后来在各种半导体器件中也发现了接触噪声 导电材料的不连续也会产生接触噪声 如碳电阻 电流必须流过许多碳粒之间的接触点 接触噪声就很严重 金属膜电阻的接触噪声就要小得多 金属丝线绕电阻则最小 接触噪声电流的有效值在各频率分量上不相等 不属于白噪声 接触噪声电流的瞬时幅值仍服从正态分布 均值仍为零1925年 约翰逊 电子管板极电流 碳电阻