数学建模——铲雪机工作的微分方程模型.doc

铲雪机工作的微分方程模型摘要本文是关于冬天一台铲雪机工作的数学模型，针对2种模型进行分析求解，模型:假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度也是匀减速的；模型：降雪速度开始最大，并且以这个速度保持一段时间，设该过程为降雪总时间的一半，而降雪的后一半时间降雪速度是匀减速的，模型是对模型的改进，但求解方法相同。通过建立微分方程模型进行求解，得到关于铲雪机无法进行工作时的降雪强度达到的值。关键字 铲雪机工作 数学模型 降雪速度 工作速度 降雪强度系数一、问题提出，问题分析冬天，一台铲雪机负责清除长的一条公路上的积雪。一般当公路面积雪达时，铲雪机就开始工作。如果开始铲雪后降雪仍然继续。随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低。当积雪过深时铲雪机将不能行动，被迫中止工作。显然降雪的大小直接影响着铲雪机的工作。那么，在雪天，铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作？当降雪多大时铲雪机将无法继续进行工作？我们可以了解到的情况和有关数据如下：（1）铲雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。（2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是。（3）积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作。（4）铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是。在铲雪机清除长公路上的积雪过程中，可能会由于降雪过大使得一部分公路上的积雪厚度达到，这样铲雪机就无法进行工作，因此降雪的大小直接影响着铲雪机的工作，铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作，取决于降雪速度的大小；由于随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低，积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作，因此存在一个降雪量（主要指路面积雪厚度）的平衡点，当降雪量达到这个平衡点时，铲雪机将无法继续进行工作。二、问题的假设关于降雪、铲雪机工作等作如下假设:1铲雪机一次性能将路面上的积雪清楚干净，即铲雪机的铲雪工作宽度和路面宽度相同；2铲雪机工作过程中不出现其他故障（除了由于积雪过厚而无法进行正常工作）。3. 铲雪机工作速度始终随着积雪厚度的增加均匀减小，即铲雪机工作速度是匀减速的。4. 降雪速度(单位时间内降雪厚度)随时间变化，作模型假设：模型:假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度也是匀减速的（开始时降雪速度，从R开始减少到0）。三、符号说明对于模型中用到的参数作如下说明：降雪速度（单位时间内降雪厚度），单位：；：铲雪机工作速度，单位：；：下雪时间，从开始下雪算起，单位：；：共计下雪时间，单位：；：铲雪机已工作的路面长度，单位；：公路积雪厚度，单位；，表示积雪厚度达到时铲雪机将开始进行工作，表示积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作；，表示公路长；，表示铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是；，降雪速度最大时值是；， ，均为常数，模型中用到的系数。四、模形的建立1由假设4，我们可以得到降雪速度与时间的关系：，其中为常数；路面积雪厚度是时间的函数，并且有；2由假设3，我们可以得到铲雪机工作速度与积雪厚度的关系：，其中为常数。铲雪机已工作路面长度是时间的函数，并且有。五、模形的求解铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是，而在积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作，可以认为铲雪机无法工作时铲雪机的工作速度为.即当=D时，=0，由，可以确定出常数k，k=。对于铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作，当降雪多大时铲雪机将无法继续进行工作，这2个问题由问题分析可知，取决于降雪量，降雪量（主要指路面积雪厚度）主要由降雪速度和降雪时间决定，但如果模型中的参数确定了，则降雪速度和降雪时间就可以确定，因此降雪量由模型中的参数确定。为此我们把参数定义为降雪量的强度系数。但要注意并不一定强度系数越大，降雪量越强。要得到降雪量的平衡点，即要求强度系数的平衡点。我们用Matlab编写程序对建立的微分方程进行求解，对积分得h=1/10*t-1/2*a1*t2。铲雪机工作速度vm=vm0-k*h=10-1/150*t+1/30*a1*t2，要注意铲学机是从积雪厚度为d=50时开始工作的，当h=d时铲雪机开始工作,此时的时间为t0 = 1/10/a1*(1+(1-10000*a1)(1/2)或1/10/a1*(1-(1-10000*a1)(1/2)这里有2个值，为什么会有2个值呢，我们作积雪厚度h与时间t的关系图，为此我们作在a1=0.001情况下的图像，如下图（见附录1（1），发现h随着t的增大呈现先增大后减小的趋势，其实，当t=R/a1时vs=0,降雪已停止，当tR/a1，仍然有vs=0,而不是负值，所以图像在tR/a1时（虚线）无效。因此对上述的t1的两个值,我们应取较小的一个值，即t0=1/10/a1*(1-(1-10000*a1)(1/2)对积分,积分区间是t0到t,得到铲雪机工作的路面长度S =10*t-1/a1*(1-(1-10000*a1)(1/2)-1/300*t2+1/30000/a12*(1-(1-10000*a1)(1/2)2+1/90*a1*(t3-1/1000/a13*(1-(1-10000*a1)(1/2)3)（tt0）.因此我们又可以画出S与t的关系图像（在 a1=1/30000的情况下的图像）（见附录1（2），tt0时，在一定范围内，S随t的增大而增大，图中只画出停止下雪前的部分，其他部分没有意义的。从h(t)图像中我们可以看到hD=150，好像铲雪机是不可能停止工作的，似乎铲雪机一定能完成工作。由vs=R-a1*t,可以确定降雪时间t=R/a1;将其代入h=1/10*t-1/2*a1*t2，然后我们求极限，a10，Matlab求解结果为NaN，h是个不定值，也许它大于D,也许小于D这样我们就不能确定能否完成工作。为此我们来考察h与a1的关系，将t=R/a1代入h=1/10*t-1/2*a1*t2，作图（见附录1（3）可以发现存在a1使得h=D的点，这时a1非常接近于0.求方程h=D的解a1 =1/30000，此时 S =10000/3*2(1/2)*3(1/2)，S与S0比较，SS0,铲雪机不能完成工作，因为S是铲雪机不能工作时已经工作的路面长度。因此，我们可以认为降雪强度系数当a1=1/30000左右铲雪机都不能完成工作。六、模型的优缺点分析1模型的优点模型中很好的利用图像分析得除结果，解决了由于出现除0现象（因为求解结果非常接近于0）而无法求解的问题2模型的缺点（1）问题假设4模型，假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度是匀减速的（降雪速度开始为，从R开始减少到0），这在实际生活中是很少遇到的。（2）模型中的假设降雪速度和铲雪机工作速度是匀减速的，这在实际情况中不一定成立，有可能是变减速的。（3）模型中的降雪量强度系数研究的值域很小趋近于0，用Matlab求解会出现除0的现象。（4）模型求解结果在a1=1/30000左右，而没有确定所有的满足条件的a1的值，因为在a1趋于0时，h是不定值，这一点可以由求解过程的极限说明。七、模形的推广和改进我们可以对模型作改进如下：模型：降雪速度开始最大，并且以这个速度保持一段时间，设该过程为降雪总时间的一半，而降雪的后一半时间降雪速度是匀减速的。显然模型在实际生活中更常见，下面给出模型的分析过程，求解过程略（同模型）。当时，降雪速度是匀速的，；当时，降雪速度是匀减速的，其中为常数。于是我们可以得到降雪速度与时间的关系： ，其中为常数；因为当t=T是vs=0,R-a2(T-T/2)=0,T=2R/a2.即下雪时间可由降雪强度系数a2确定。显然只有当在t=T/2时，h达到d,积分侯会得到降雪停止前hD;如t=T/2时，h=d,则由RT/2=d, 和T=2R/a2可以得到参考文献周义仓，赫孝良，数学建模实验，第二版，西安交通大学出版社，2007.8附录附件1：模型求解过程的图像（1）h与t的关系图像(2)S与t的关系图像（3）h与a1的关系图像附件2： 关于模型求解的Matlab程序（所有程序已在Matlab 6.5版本编写调试通过）% model1_1.m 求解分程d=50;S0=106;vm0=10;R=0.1;k=10/150;syms a1;syms t; vs=R-a1*t;h=int(vs,t,0,t) % 对dh=vsdt从0到t积分。vm=vm0-k*hf=h-d;t0=solve(f,t)% 求当h=d时t的值t0，即铲雪机开始工作时的时间因为tt0时dS=vmdtS=int(vm,t,t0(2),t) % t0有2个值,取1个值即可,tt0时dS=vmdt，因此从t0到t 积分% figure_h_t.m 作h关于t的图像clear;R=0.1;a1=0.001;% 由vm=R-a1*t=0,可求出铲雪机不能工作时的时间t=R/a1tt=R/a1;t=0:0.1:tt;h =t./10-1/2*0.001*t.2;plot(t,h); % 作出h在0到tt时间段的图像hold on;t1=tt:0.1:200;h1 =t1./10-1/2*0.001*t1.2;plot(t1,h1,:); title(h =t./10-1/2*0.001*t.2的图像);xlabel(时间t);ylabel(积雪厚度h);% figure_S_t.m S关于t的图像clear; R=0.1;a1=1/30000;% 由vm=R-a1*t=0,可求出铲雪机不能工作时的时间t=R/a1tt=R/a1;t=0:tt;S =10*t-1/a1*(1-(1-10000*a1)(1/2)-1/300*t.2+1/30000/a12*(1-(1-10000*a1)(1/2)2+1/90*a1*(t.3-1/1000/a13*(1-(1-10000*a1)(1/2)3);plot(t,S);title(S=S(t)的图像);xlabel(时间t);ylabel(铲雪机已经工作路面长度S); axis(0,tt,0,6000);% limit.m求极限R=0.1;syms a1;L=limit(0.1/a1)/10-1/2*a1*(0.1/a1)2,a1,0)% figure_h_a1.m 作h关于a1图像clear;a1=0:0.00000001:0.000001;h=(0.1./a1)./10-1/2*a1.*(0.1./a1).2;plot(a1,h);title(h =h(a1)的图像);xlabel(降雪强度系数a1);ylabel(积雪厚度h);% model1_2.m 解方程h=150clear;R=0.1;S0=106;syms a1; t1=R/a1;h =1/10*t1-1/2*a1*t12;a1=solve(h-150,a1)% 解方程h=150时a1的值，即当降雪停止时积雪厚度刚好是15