北京邮电大学数学分析期末考试2016年1月(附答案).doc

北京邮电大学2015-2016学年第一学期数学分析（上）考试卷考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一.填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设，则 ;2. _;3.设函数的反函数为，则_;4. 设函数 由参数方程确定，则 .5. 曲线的斜渐近线方程为 _ ；6. _;7. .8. 设连续，满足，则 _;9. .10. 设是二阶常系数非线性微分方程的一个特解，则：_.； ； 。二（9分）. 求函数的单调区间、极值；函数图形的拐点。三（每小题6分，共12分）. （1）设函数由方程确定，求 ； （2）设连续且，求 。四.(8分).求出两个多项式、，使得其中为任意常数。五.(8分).设，在上有一阶连续导数，证明：对， 。六.(9分).求微分方程的通解。七.(8分). 已知曲线 及其过原点的切线L、轴所围图形为D，求(1) 切线L的方程，图形D的面积；(2) 图形D绕直线旋转一周所得旋转体的体积。八.（6分）.设上连续函数是周期函数，周期为，且，证明：。九.附加题（6分）.设在上二阶连续可导，且，证明：存在，使得。 北京邮电大学2015-2016学年第一学期数学分析（上）考试卷参考答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一. 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设，则 ;填：2. _;填： 3.设函数的反函数为，则_;填：4. 设函数 由参数方程确定，则 . 填： 5. 曲线的斜渐近线方程为 _ ；填： 6. _;填： 7. .填：48. 设连续，满足，则 _;填： 9. .填： 10. 设是二阶常系数非线性微分方程的一个特解，则：_.； ； 。填：(A)二（9分）. 求函数的单调区间、极值；函数图形的拐点。解：，令，(2分)函数在，上单调增加；在上单调减少。 (4分) 函数在处取极大值 ；函数在处取极小值-1。 (6分)，令，；当时，；当时，；拐点 。 (9分) 三（每小题6分，共12分）. （1）设函数由方程确定，求 ； 解：对方程两边求导:，； (4分)当时；，。 (6分)（2）设连续且，求 。解： 原式= (3分) ，() (6分)四.(8分).求出两个多项式，使得,其中为任意常数。 解：左边= (3分) 故，。 (8分)解法2由得，； (4分)于是，令，代入得， ；故，。 (8分) 五.(8分).设，在上有一阶连续导数，证明：对， 。证明：令； （2分）在上有一阶连续导数，且； (4分)因为，所以，在上单调增加；，从而，在上单调减少；对，；即 (8分)六.(9分).求微分方程的通解。解：对应的齐次方程的特征方程， ，齐次方程的通解； （3分） 方程的特解形式为，代入得；（5分）方程的特解形式为，代入得 ；，； ；通解为 。（9分）七.(8分). 已知曲线 及其过原点的切线L、轴所围图形为D，求(1) 切线L的方程，图形D的面积；(2) 图形D绕直线旋转一周所得旋转体的体积。解：(1) 设切点切线方程为，因为切线过原点，所以 所以切线方程为； (2分)图形G的面积 (5分)(2) 对任意，, 所求体积 （8分）八.（6分）.设上连续函数是周期函数，周期为，且，证明：。证明：对任一正数 存在非负整数，使，由，； (3分)于是；当时，由夹逼性， （6分）九.附加题（6分）.设在上二阶连续可导，且，证明：存在，使得 证明：令，则在上三阶连续可导且，由Tay