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北京邮电大学2015-2016学年第一学期数学分析(上)考试卷考试注意事项:考生必须将答题内容做在答题纸上,做在试题纸上均无效一.填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1. 设,则 ;2. _;3.设函数的反函数为,则_;4. 设函数 由参数方程确定,则 .5. 曲线的斜渐近线方程为 _ ;6. _;7. .8. 设连续,满足,则 _;9. .10. 设是二阶常系数非线性微分方程的一个特解,则:_.; ; 。二(9分). 求函数的单调区间、极值;函数图形的拐点。三(每小题6分,共12分). (1)设函数由方程确定,求 ; (2)设连续且,求 。四.(8分).求出两个多项式、,使得其中为任意常数。五.(8分).设,在上有一阶连续导数,证明:对, 。六.(9分).求微分方程的通解。七.(8分). 已知曲线 及其过原点的切线L、轴所围图形为D,求(1) 切线L的方程,图形D的面积;(2) 图形D绕直线旋转一周所得旋转体的体积。八.(6分).设上连续函数是周期函数,周期为,且,证明:。九.附加题(6分).设在上二阶连续可导,且,证明:存在,使得。 北京邮电大学2015-2016学年第一学期数学分析(上)考试卷参考答案考试注意事项:学生必须将答题内容做在答题纸上,做在试题纸上均无效一. 填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1. 设,则 ;填:2. _;填: 3.设函数的反函数为,则_;填:4. 设函数 由参数方程确定,则 . 填: 5. 曲线的斜渐近线方程为 _ ;填: 6. _;填: 7. .填:48. 设连续,满足,则 _;填: 9. .填: 10. 设是二阶常系数非线性微分方程的一个特解,则:_.; ; 。填:(A)二(9分). 求函数的单调区间、极值;函数图形的拐点。解:,令,(2分)函数在,上单调增加;在上单调减少。 (4分) 函数在处取极大值 ;函数在处取极小值-1。 (6分),令,;当时,;当时,;拐点 。 (9分) 三(每小题6分,共12分). (1)设函数由方程确定,求 ; 解:对方程两边求导:,; (4分)当时;,。 (6分)(2)设连续且,求 。解: 原式= (3分) ,() (6分)四.(8分).求出两个多项式,使得,其中为任意常数。 解:左边= (3分) 故,。 (8分)解法2由得,; (4分)于是,令,代入得, ;故,。 (8分) 五.(8分).设,在上有一阶连续导数,证明:对, 。证明:令; (2分)在上有一阶连续导数,且; (4分)因为,所以,在上单调增加;,从而,在上单调减少;对,;即 (8分)六.(9分).求微分方程的通解。解:对应的齐次方程的特征方程, ,齐次方程的通解; (3分) 方程的特解形式为,代入得;(5分)方程的特解形式为,代入得 ;,; ;通解为 。(9分)七.(8分). 已知曲线 及其过原点的切线L、轴所围图形为D,求(1) 切线L的方程,图形D的面积;(2) 图形D绕直线旋转一周所得旋转体的体积。解:(1) 设切点切线方程为,因为切线过原点,所以 所以切线方程为; (2分)图形G的面积 (5分)(2) 对任意,, 所求体积 (8分)八.(6分).设上连续函数是周期函数,周期为,且,证明:。证明:对任一正数 存在非负整数,使,由,; (3分)于是;当时,由夹逼性, (6分)九.附加题(6分).设在上二阶连续可导,且,证明:存在,使得 证明:令,则在上三阶连续可导且,由Tay
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