湖南各市中考压轴真题附答案.doc

1（2015株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，DAB=30，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使CQD的面积为？（直接写出答案）（3）当CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQQD时（如图2），求AP的长2（2015郴州）如图，在四边形ABCD中，DCAB，DAAB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当PQB为等腰三角形时，求t的值3（2015衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PMCP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小4（2015娄底）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，求A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由5（2015邵阳）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求AOB的面积；（3）当k=1时，OAB的面积记为S1，当k=2时，OAB的面积记为S2，依此类推，当k=n时，OAB的面积记为Sn，若S1+S2+Sn=，求n的值6（2015湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由7（2015湘西州）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由8（2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值9（2015益阳）已知抛物线E1：经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点，求与的面积之比图1图210（2015常德）如图，曲线抛物线的一部分，且表达式为：曲线与曲线关于直线对称。（1）求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；（2）过点D作轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标。（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。11（2015怀化）如图，已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（2.24，结果保留一位小数）12（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由13（2015长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m0）时，记MAB，PAB的面积分别为S1，S2，若BPOPAO，且S1=S2，求m的值14、（2015张家界）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点.(1)求该二次函数的表达式；(2)过点的直线且交抛物线于另一点，求直线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，请解答下列问题： 在轴上是否存在一点，使得以、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 动点以每秒1个单位的速度沿线段从点向点运动，同时，动点 以每秒个单位的速度沿线段从点向点运动，问：在运动过程中，当运动时间为何值时，的面积最大，并求出这个最大值.参考答案1（8分）（2015株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，DAB=30，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使CQD的面积为？（直接写出答案）（3）当CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQQD时（如图2），求AP的长考点：圆的综合题；解一元二次方程-公式法；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）如图1，利用切线的性质可得ACP=90，只需求出AC，然后在RtACP中运用三角函数就可解决问题；（2）易得点Q到CD的距离为，结合图形2，即可解决问题；（3）过点Q作QNCD于N，过点P作PMCD于M，连接QD，如图3，易证CNQQND，根据相似三角形的性质可求出CN易证PMCQNC，根据相似三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由MAP=30即可得到PM与AM之间的关系，然后根据AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值解答：解：（1）AB与O相切于点B，ABO=90DAB=30，OB=CD=2=1，AO=2OB=2，AC=AOCO=21=1当Q、C两点重合时，CP与O相切于点C，如图1，则有ACP=90，cosCAP=，解得AP=；（2）有4个位置使CQD的面积为提示：设点Q到CD的距离为h，SCQD=CDh=2h=，h=由于h=1，结合图2可得：有4个位置使CQD的面积为；（3）过点Q作QNCD于N，过点P作PMCD于M，如图3SCQD=CDQN=2QN=，QN=CD是O的直径，QNCD，CQD=QND=QNC=90，CQN=90NQD=NDQ，QNCDNQ，=，QN2=CNDN，设CN=x，则有=x（2x），整理得4x28x+1=0，解得：x1=，x2=CQQD，x=，=2+QNCD，PMCD，PMC=QNC=90MCP=NCQ，PMCQNC，=2+，MC=（2+）MP在RtAMP中，tanMAP=tan30=，AM=MPAC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，MP=，AP=2MP=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数、特殊角的三角函数值、切线的性质、解一元二次方程等知识，把求AP的值转化为解ABC是解决第（3）小题的关键2（2015郴州）如图，在四边形ABCD中，DCAB，DAAB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当PQB为等腰三角形时，求t的值考点： 四边形综合题分析： （1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；（3）通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理用含t的代数式把PQB三边表示出来，根据线段相等列出等式求解，即可求的结论解答： 解：（1）作CEAB于E，DCAB，DAAB，四边形AFVE是矩形，AE=DE=5，CE=AD=4，BE=3，BC=，BCAB，P到C时，P、Q同时停止运动，t=（秒），即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动（2）由题意知，AQ=BP=t，QB=8t，作PFQB于F，则BPFBCE，即，BF=，S=QBPF=（8t）=（t4）2+（0t5），0，S有最大值，当t=4时，S的最大值是；（3）cosB=，BF=tcosB=，QF=ABAQBF=8，QP=4当PQ=PB时，即QP4，解得t=（舍去负值）t=5，不合题意，当PQ=BQ时，即4=8t，解得：t1=0（舍去），t2=，当QB=BP，即8t=t，解得：t=4综上所述：当t=秒或t=4秒时，PQB为等腰三角形点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用3（10分）（2015衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PMCP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小考点：四边形综合题菁优网版权所有分析：（1）作MEx轴于E，则MEP=90，先证出PME=CPO，再证明MPEPCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出MAE=45=BOA，AMOB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；（3）先证明PADPEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果解答：解：（1）作MEx轴于E，如图1所示：则MEP=90，MEAB，MPE+PME=90，四边形OABC是正方形，POC=90，OA=OC=AB=BC=4，BOA=45，PMCP，CPM=90，MPE+CPO=90，PME=CPO，在MPE和PCO中，MPEPCO（AAS），ME=PO=t，EP=OC=4，OE=t+4，点M的坐标为：（t+4，t）；（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：连接AM，如图2所示：MNOA，MEAB，MEA=90，四边形AEMF是矩形，又EP=OC=OA，AE=PO=t=ME，四边形AEMF是正方形，MAE=45=BOA，AMOB，四边形OAMN是平行四边形，MN=OA=4；（3）MEAB，PADPEM，即，AD=t2+t，BD=ABAD=4（t2+t）=t2t+4，MNOA，ABOA，MNAB，四边形BNDM的面积S=MNBD=4（t2t+4）=（t2）2+6，S是t的二次函数，0，S有最小值，当t=2时，S的值最小；当t=2时，四边形BNDM的面积最小点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果4（10分）（2015娄底）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，求A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；（2）过A作ADBC于点D，则AD为A的半径，由条件可证明ABDCBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出PQC和PQB的面积，可表示出PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标解答： 解：（1）抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），把A、B两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x；（2）过A作ADBC于点D，如图1，A与BC相切，AD为A的半径，由（1）可知C（0，），且A（1，0），B（5，0），OB=5，AB=OBOA=4，OC=，在RtOBC中，由勾股定理可得BC=，ADB=BOC=90，ABD=CBO，ABDCBO，=，即=，解得AD=，即A的半径为；（3）C（0，），可设直线BC解析式为y=kx，把B点坐标代入可求得k=，直线BC的解析式为y=x，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，x2+2x），则Q（x，x），PQ=（x2+2x）（x）=x2+x=（x）2+，SPBC=SPCQ+SPBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=（x）2+，当x=时，SPBC有最大值，此时P点坐标为（，），当P点坐标为（，）时，PBC的面积有最大值点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强5（2015邵阳）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求AOB的面积；（3）当k=1时，OAB的面积记为S1，当k=2时，OAB的面积记为S2，依此类推，当k=n时，OAB的面积记为Sn，若S1+S2+Sn=，求n的值考点：反比例函数与一次函数的交点问题分析：（1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答（3）根据当k=1时，S1=1（1+2）=，当k=2时，S2=2（1+3）=4，得到当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若S1+S2+Sn=，列出等式，即可解答解答：解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+1和y=，解得，A（1，2），B（2，1），（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+2和y=，解得，A（1，3），B（3，1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，直线AB的解析式为：y=x+2直线AB与y轴的交点（0，2），SAOB=21+23=4；（3）当k=1时，S1=1（1+2）=，当k=2时，S2=2（1+3）=4，当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，S1+S2+Sn=，（+n2）+（1+2+3+n）=，整理得：，解得：n=6点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标在（3）中注意找到三角形面积的规律是关键6（2015湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 分析：（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：当QPB=90时；当PQB=90时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，解得二次函数的解析式是：y=x22x3（2）y=x22x3，点C的坐标是（0，3），BC=3，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得BC所在的直线的解析式是：y=x3，经过t秒，AP=t，BQ=t，点P的坐标是（t1，0），设点Q的坐标是（x，y），OB=OC=3，OBC=OCB=45，则y=sin45=t，BP=t，x=3t，点Q的坐标是（3t，t），如图1，当QPB=90时，点P和点Q的横坐标相同，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，t），t1=3t，解得t=2，即当t=2时，BPQ为直角三角形如图2，当PQB=90时，PBQ=45，BP=，BP=3（t1）=4t，BQ=，4t=即4t=2t，解得t=，即当t=时，BPQ为直角三角形综上，可得当BPQ为直角三角形，t=或2（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，设PQ所在的直线的解析式是y=cx+d，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，t），解得PQ所在的直线的解析式是y=x+，点M的坐标是（0，），PQ的中点H的坐标是（1，）假设PQ的中点恰为MN的中点，120=2，=，点N的坐标是（2，），又点N在抛物线上，=22223=3，解得t=或t=（舍去），当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上不存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握7（2015湘西）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒【来源：21世纪教育网】（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；【出处：21教育名师】（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由2-1-c-n-j-y考点：二次函数综合题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；21教育名师原创作品（2）由直线与两坐标轴的交点可知：QAP=45，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3t，然后再图、图中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，t+3），则EP=3t，点Q的坐标为（3t，t），点F的坐标为（3t，（3t）2+2（3t）+3），则FQ=3tt2，EPFQ，EFPQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值解答：解：（1）y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）OA=OB=3，BOA=90，QAP=45如图所示：PQA=90时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3t在RtPQA中，即：，解得：t=1；如图所示：QPA=90时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3t在RtPQA中，即：，解得：t=综上所述，当t=1或t=时，PQA是直角三角形；（3）如图所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，t+3），则EP=3t，点Q的坐标为（3t，t），点F的坐标为（3t，（3t）2+2（3t）+3），则FQ=3tt2EPFQ，EFPQ，EP=FQ即：3t=3tt2解得：t1=1，t2=3（舍去）将t=1代入F（3t，（3t）2+2（3t）+3），得点F的坐标为（2，3）（4）如图所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3t）y=x2+2x+3=（x1）2+4，点M的坐标为（1，4）MB=当BOPQBM时，即：，整理得：t23t+3=0，=324130，无解：当BOPMBQ时，即：，解得t=当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似点评：本题主要考查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用，利用含字母t的式子表示出相关线段的长度，根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键8（2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值考点：圆的综合题菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）如图一，易证PMO+PNO=180，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得COP1=BOP1=60，根据圆内接四边形的对角互补可得MP1N=60根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到P1MN是等边三角形，则有MN=P1M然后在RtP1MO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中运用三角函数可得：MN=QNsinMQN，从而可得MN=OPsinMQN，由此即可解决问题；（4）由（3）中已得结论MN=OPsinMQN可知，当MQN=90时，MN最大，问题得以解决解答：解：（1）如图一，PMOC，PNOB，PMO=PNO=90，PMO+PNO=180，四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，ABOC，即BOC=90，BOC=PMO=PNO=90，四边形PMON是矩形，MN=OP=2，MN的长为定值，该定值为2；（3）如图二，P1是的中点，BOC=120COP1=BOP1=60，MP1N=60P1MOC，P1NOB，P1M=P1N，P1MN是等边三角形，MN=P1MP1M=OP1sinMOP1=2sin60=，MN=；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，则有QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中，sinMQN=，MN=QNsinMQN，MN=OPsinMQN=2sin60=2=，MN是定值（4）由（3）得MN=OPsinMQN=2sinMQN当直径AB与CD相交成90角时，MQN=18090=90，MN取得最大值2点评：本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出MN=OPsinMQN是解决本题的关键9（2015益阳）已知抛物线E1：经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点，求与的面积之比图1图2解：（1）抛物线E1经过点A(1，m)， m=12=1 抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为()， 又点B(2，2)在抛物线E2上，解得:，抛物线E2所对应的二次函数表达式为（2）假设在第一象限内 ，抛物线E1上存在点Q，使得为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q当点B为直角顶点时，过B作交抛物线E1于Q，则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4 ，点Q的坐标为(2，4) 当点Q为直角顶点时，则有，过点Q作于G，设点Q的坐标为(t，t2)( )， 则有， 整理得：, , ，解得，(舍去)，点Q的坐标为(，3)，综合，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)（3）过点P作PCx轴,垂足为点C，PC交直线于点E，过点作Dx轴,垂足为点D，D交直线于点F，依题意可设P(c，c2)、(d，) (c 0，)， ，d=2c12分又=2，=4，15分图1 图210、（2015常德）如图，曲线抛物线的一部分，且表达式为：曲线与曲线关于直线对称。（1）求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；（2）过点D作轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标。（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【解答与分析】这是一个与二次函数有关的解答题（1）对点A、B、C坐标的意义要明白，点A与点B是二次函数与横轴的交点，点C是也纵轴的交点关于意义的理解，就是将进行了平移。（2）要理解，只有当CM垂直平分AD时，才能在找到点M故点M即为直线（C与AD的中点P连线）的交点（3）显然MN的值固定，即在上的点，到CM的距离最大的点，即与CM平行的直线与只有一个交点时，即为所求（1）解：易求A（1,0），B（3，0），C（0，），(2)解：若AD垂直平分CM，则可知CDMA为菱形，此时点M（1,0）显然不在上；故直线CM垂直平分AD，取AD中点P，易求其坐标为（1，）,故直线CN的解析式为：求其与的交点坐标：解之得：，（不合舍去）故（3）因为MN的长度固定，故点P到MN的距离最大时，PMN的面积最大故设：另一直线与相交于点P，很显然它们只有一个交点时，满足条件。即：只有唯一一个解的时候，这个点就是点P解之得： 将代入故点P的坐标为11（2015怀化）如图，已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（2.24，结果保留一位小数）考点： 相似形综合题分析： （1）如图1，过Q作QEAC于E，连接PQ，由ABCAQE，得到比例式，求得PE=，QE=，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况当CQ=CP时，当PQ=CQ时，当PQ=PC时，列方程求解即可解答： 解：（1）如图1，过Q作QEAC于E，连接PQ，C=90，QEBC，ABCAQE，AQ=2t，AP=t，C=90，AC=8，BC=6，AB=10，PE=，QE=，PQ2=QE2+PE2，PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，当t=5时，PQ的最大值=3；（2）如图1，ABC被直线PQ扫过的面积=SAQP，当Q在AB边上时，S=APQE=t=，（0t5）当Q在BC边上时，ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，S四边形ABQP=SABCSPQC=86（8t）（162t）=t2+16t40，（5t8）；经过t秒的运动，ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=或S=t2+16t40（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE=，CE=ACAE=8，PQ=t，CQ=2，当CQ=CP时，即：2=8t，解得；t=，当PQ=CQ时，即；t=2，解得：t=，t=（不合题意舍去），当PQ=PC时，即t=8t，解得：t=351.7；综上所述：当t=，t=，t=1.7时，PQC为等腰三角形点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解12（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；（3）分两种情况分别讨论，即可求得解答：解：（1）由已知得解得所以，抛物线的解析式为y=x2x+3（2）A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，