高考数学总复习 109离散型随机变量的数字特征与正态分布课件 理 新人教B版.ppt

第九节离散型随机变量的均值与方差 正态分布 一 离散型随机变量的均值与方差一般地 设一个离散型随机变量x所有可能取的值是x1 x2 xn 这些值对应的概率是p1 p2 pn 1 均值称e x 为离散型随机变量x的或数学期望 简称期望 它刻画了这个离散型随机变量的 x1p1 x2p2 xnpn 均值 平均取值水平 x1 e x 2p1 x2 e x 2p2 xn e x 2pn 期望 二 常见分布的均值 方差1 若x服从二点分布 则e x d x 2 若x b n p 则e x d x 3 若x服从参数为n m n的超几何分布 则e x p pq np npq 三 正态分布1 正态变量服从的随机变量叫做正态随机变量 简称正态变量 3 正态曲线的性质 1 曲线在x轴的 并且关于直线对称 2 曲线在时处于最高点 并由此处向左右两边延伸时 曲线逐渐降低 呈现 中间高 两边低 的形状 正态分布 上方 x x 3 曲线的形状由参数 确定 曲线越 矮胖 曲线越 高瘦 越大 越小 疑难关注 1 均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值 常用于对随机变量平均水平的估计 方差反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 常用于对随机变量稳定于均值情况的估计 方差越大表明平均偏离程度越大 说明随机变量取值越分散 反之 方差越小 随机变量的取值越集中 2 服从正态分布的随机变量x的概率特点若随机变量x服从正态分布 则x在一点上的取值概率为0 即p x a 0 而 x a 并不是不可能事件 所以概率为0的事件不一定是不可能事件 从而p x a p x a 是成立的 这与离散型随机变量不同 1 课本习题改编 已知x的分布列 答案 a 3 2013年福州质检 已知随机变量x服从正态分布n 2 且p 2 x 2 0 9544 p x 0 6826 若 4 1 则p 5 x 6 a 0 1358b 0 1359c 0 2716d 0 2718答案 b 4 课本习题改编 有10件产品 其中3件是次品 从中任取两件 若x表示取到次品的个数 则e x 5 2013年合肥模拟 某班有50名学生 一次考试的数学成绩 服从正态分布n 100 102 已知p 90 100 0 3 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 答案 10 考向一离散型随机变量的均值 例1 2013年南昌模拟 某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动 根据市场调查 该店决定从2种不同型号的洗衣机 2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中 不同种商品的型号不同 选出4种不同型号的商品进行促销 该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售 即在该商品现价的基础上将价格提高150元 同时 若顾客购买该商品 则允许有3次抽奖的机会 若中奖 则每次中奖都获得m元奖金 假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 单位 元 为随机变量x 1 求选出的4种不同型号商品中 洗衣机 电视机 空调都至少有一种型号的概率 2 请写出x的分布列 并求x的均值 解析 1 设选出的4种不同型号商品中 洗衣机 电视机 空调都至少有一种型号为事件a 所以 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额x的分布列为 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的均值是 在本例1的条件下 问该店若想采用此促销方案获利 则每次中奖奖金要低于多少元 解析 要使促销方案对商场有利 应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额 因此应有1 5m 150 所以m 100 故每次中奖奖金要低于100元 才能使促销方案对商场有利 1 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 2 若市场预期不变 该投资公司按照你选择的项目长期投资 每一年的利润和本金继续用作投资 问大约在哪一年的年底总资产 利润 本金 可以翻一番 参考数据 lg2 0 3010 lg3 0 4771 解析 1 若按 项目一 投资 设获利 1万元 则 1的分布列为 若按 项目二 投资 设获利 2万元 则 2的分布列为 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 2 假设n年后总资产可以翻一番 依题意 大约4年后 即在2015年年底总资产可以翻一番 1 2013年贵阳模拟 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点建设 为了对重点建设负责 政府到两建材厂抽样检查 他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标 其分布列如下 其中x和y分别表示甲 乙两厂材料的抗拉强度 在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料 越稳定越好 试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料 解析 e x 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 d x 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 e y 8 0 4 9 0 2 10 0 4 9 d y 8 9 2 0 4 9 9 2 0 2 10 9 2 0 4 0 8 由此可知 e x e y 9 d x d y 从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同 但甲厂材料相对稳定 应选甲厂的材料 考向三正态分布 例3 2012年高考新课标全国卷 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成 元件1或元件2正常工作 且元件3正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布n 1000 502 且各个元件能否正常工作相互独立 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 2 2013年百色模拟 某中学有1000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布n 100 102 则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为 2 0 977 解析 用 表示此中学数学高考成绩 则 n 100 102 p 120 1 p 120 120分以上的考生人数约为1000 0 023 23 答案 23 答题模板 离散型随机变量的均值与方差 典例 12分 2012年高考湖北卷 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量x 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量x小于300 700 900的概率分别为0 3 0 7 0 9 求 1 工期延误天数y的均值与方差 2 在降水量x至少是300的条件下 工期延误不超过6天的概率 思路导析 1 根据已知条件利用概率加法公式 求出y的分布列 进而求出y的均值与方差 2 利用条件概率公式求解 规范解答 1 由已知条件和概率的加法公式有 p x 300 0 3 p 300 x 700 p x 700 p x 300 0 7 0 3 0 4 p 700 x 900 p x 900 p x 700 0 9 0 7 0 2 p x 900 1 p x 900 1 0 9 0 1 3分 所以y的分布列为 于是 e y 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 d y 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 6分故工期延误天数y的均值为3 方差为9 8 名师点评 均值和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征 是高考概率考查的重要知识点 常与排列组合 统计等知识相结合 考查学生的数学应用能力 表达能力和创新意识 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步 确定随机变量的所有可能值 第二步 求第一个可能值所对应的概率 第三步 列出离散型随机变量的分布列 第四步 求均值和方差 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 a d 1 d 2 b d 1 d 2 c d 1 d 2 d d 1 与d 2 的大小关系与x1 x2 x3 x4的取值有关 解析 利用均值与方差公式直接计算 e 1 0 2x1 0 2x2 0 2x3 0 2x4 0 2x5 0 2 x1 x2 x3 x4 x5 答案 a 2 2012年高考天津卷 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定