（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（十三）计数原理、二项式定理与随机变量及其分布列理.docx

能力升级练(十三)计数原理、二项式定理与随机变量及其分布列一、选择题1.(2019广东惠州第二次调研)设随机变量服从正态分布N(4,3),若P(a+1),则实数a等于()A.7B.6C.5D.4解析由随机变量服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=4,又P(a+1),所以x=a-5与x=a+1关于直线x=4对称,所以a-5+a+1=8,即a=6.故选B.答案B2.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有()A.12种B.24种C.36种D.48种解析先将4名学生分成三组,人数分别为2,1,1,共有C42=6种,再将这三组分配到3个实验室,有A33=6种,由分步乘法计数原理,不同分配方案共有66=36种.答案C3.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为()A.224B.112C.56D.28解析根据分层抽样,从12个人中抽取男生1人,女生2人,所以取2个女生1个男生的方法有C82C41=112(种),故选B.答案B4.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数,则出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为()A.110B.120C.124D.310解析1,2,3,4,5可组成A55=120个不同的五位数,其中满足题目条件的五位数中,最大的5必须排在中间,左、右各两个数字只要选出,则排列位置就随之而定,满足条件的五位数有C42C22=6个,故出现a1a2a4a5特征的五位数的概率为6120=120.答案B5.(2018河北“五个一名校联盟”模拟)2x2-x43的展开式中的常数项为()A.-32B.32C.6D.-6解析通项Tr+1=C3r2x23-r(-x4)r=C3r(2)3-r(-1)rx-6+6r,当-6+6r=0,即r=1时为常数项,T2=-6,故选D.答案D6.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成.2017年的NBA篮球赛中,休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则休斯敦火箭队的主教练可选择的出场阵容共有()A.16种B.28种C.84种D.96种解析有两种出场方案:中锋1人,控球后卫1人,出场阵容有C21C21C43=16(种);中锋1人,控球后卫2人,出场阵容有C21C22C42=12(种).故出场阵容共有16+12=28(种).故选B.答案B7.某航母在一次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙2架必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有()种.A.12B.18C.24D.48解析“相邻”问题用捆绑法,“不相邻”问题用插空法.先安排丙、丁以外的三架,有A22A22=4种排法;此时产生三个空位,安排丙、丁,共有A32=6种排法,所以不同的着舰方法有46=24种.答案C8.若(x2-a)x+1x10的展开式中x6的系数为30,则a等于()A.13B.12C.1D.2解析依题意,x+1x10的展开式的通项公式是Tr+1=C10rx10-r1xr=C10rx10-2r,x+1x10的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为C103、C102,因此由题意得C103-aC102=120-45a=30,由此解得a=2.答案D9.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3 802=3 936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是()A.100B.150C.30D.300解析第一步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;第二步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,9=9+0,共10种组合方式;第三步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第四步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理知,值为1942的“简单的”有序对的个数是21053=300.故选D.答案D二、填空题10.已知x-ax5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=.解析该二项展开式的通项Tr+1=C5rx5-r-axr=C5r(-a)rx5-32r.由5-32r=5,得r=0,由5-32r=2,得r=2,所以A=C50(-a)0=1,B=C52(-a)2=10a2,则由1+10a2=11,解得a=1.答案111.航天员拟在太空授课,准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数为.(用数字作答)解析因为0号实验不能放在第一项,所以第一步是从1,2,3,4,5的五项实验任选一个放在第一项,有A51;第二步:从剩下的五项实验中任取三个放在第二、三、四项,有A53种不同的方法;第三步:最后剩下两项实验,标号较大的放在第五项,较小的放在第六项,只有这一种方法;根据分步乘法计数原理,实验顺序的编排方法种数为A51A531=300.答案30012.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射满3次为止.设甲每次击中的概率为p(p0),射击次数为,若的均值E()74,则p的取值范围是.解析由已知得P(=1)=p,P(=2)=(1-p)p,P(=3)=(1-p)2,则E()=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+374,解得p52或p12,又p(0,1),所以p0,12.答案0,1213.江湖传说,蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花,2种南海毒蛇和1种西域毒草顺次添加炼制而成,其中藏红花的添加顺序不能相邻,同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对药效的影响,则总共要进行次试验.解析当3种藏红花排好后,4种情形里2种南海毒蛇和1种西域毒草的填法分别有A33种、C21A22种、C21A22种、A33种,于是符合题意的添加顺序有A33(A33+C21A22+C21A22+A33)=120(种).答案120三、解答题14.(2019贵州贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大?解(1)由题意可得,所求概率为P=C41C22C63C3123132+C42C21C63C30230133=115.(2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C20C63=15,E(X)=115+235+315=2,D(X)=(1-2)215+(2-2)235+(3-2)215=25.设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3.由题意可知YB3,23,所以E(Y)=323=2,D(Y)=32313=23.因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以甲被录取的可能性更大.15.(2019吉林长春质量监测(二)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在100,150),150,200),200,250),250,300),300,350),350,400(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.(1)现按分层抽样的方法,从质量为250,300),300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望;(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:A:所有芒果以10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?解(1)9个芒果中,质量在250,300)和300,350)内的分别有6个和3个.则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C63C93=2084,P(X=1)=C62C31C93=4584,P(X=2)=C61C32C93=1884,P(X=3)=C33C93=184.所以X的分布列为X0123P208445841884184X的数学期望E(X)=02084+14584+21884+3184=1.(2)设选择方案A可获利y1元,则y1=(1250.002+1750.002+2250.003+2750.008+3250.00