卷积和相关ppt课件

是两种运算关系 或过程 都是含参量的无穷积分 与FT 线性系统关系密切 第二讲卷积和相关 convolutionandcorrelation 某种运算 就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述 都是两个函数通过某种运算得到另一函数 一个函数是输入函数 待观测量 输入信号 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征 或作用特点 另外一个函数就是输出函数 信号 即观测得到的结果 1 一 卷积概念的引入 卷积运算 可用来表示一个观测系统或一个观测仪器对输入信号的作用过程 等等 相关运算 常用于比较两个函数的关联性 相似程度 用于信号检测 2 一 卷积概念的引入 设 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h x 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果 需用卷积运算来描述 3 由线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射 经过推导 最后得到 一 卷积概念的引入 线光源的夫琅和费衍射 4 二 卷积convolution定义 若f x 与h x 有界且可积 定义 卷积符号 g x 称为函数f x 与h x 的卷积 二维函数的卷积 5 三 卷积的物理意义和几何意义 物理意义 像强度分布是物强度分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积 几何意义 可采用图解分析法帮助理解卷积运算的含义 其运算过程分为折叠 位移 相乘 积分4个步骤 卷积运算的两个效应 展宽效应 平滑化效应 6 四 卷积计算方法 借助几何作图 练习 计算rect x rect x 1 用哑元t画出函数f t 和h t 2 将h t 折叠成h t 3 将h t 移位至给定的x h t x h x t 4 二者相乘 5 乘积函数曲线下面积的值即为g x 步骤 7 四 计算方法 几何作图法 练习 计算rect x rect x 1 用哑元t画出二个rect t 2 将rect t 折叠后不变 3 将一个rect t 移位至给定的x0 rect t x0 rect x0 t 4 二者相乘 乘积曲线下面积的值即为g x0 x 1 g x 0 1 x 0 g x 1 x 1 2 1 2 1 x0 x 1 g x 1 1 2 x 1 2 1 x rect x rect x tri x 8 五 卷积的运算性质 1 线性性质 2 复函数的卷积 叠加性和均匀性 卷积运算是积分运算 积分运算是连续的叠加求和 积分运算具有叠加性和均匀性 根据卷积运算的线性性质 复函数的卷积运算可以转化为实函数的卷积运算 9 3 可分离变量 4 卷积符合交换律 令 10 5 卷积符合结合律 6 坐标缩放性质 11 7 卷积位移不变性 参与卷积的两个函数发生平移 卷积的结果也仅仅发生平移 卷积结果的幅值和形式不变 平移量等于两者的平移量之和 12 任意函数与脉冲函数卷积的结果 是将该函数平移到脉冲所在的位置 f x d x x0 f x x0 利用卷积的位移不变性可得 8 函数与函数的卷积 即任意函数与d x 卷积后不变 根据1 d 函数是偶函数 2 d 函数的筛选性质 有 13 f x 与梳状函数即脉冲阵列的卷积运算 14 f x 与梳状函数的卷积运算可在每个脉冲位置产生f x 的函数波形 用于描述各种重复性的结构 15 练习 若 证明 令x x x 证 16 例1 设有二函数 分别为 六 卷积运算举例 难点 求 图1 3 3例1中的二函数图形 17 图1 3 4例1一维卷积过程 18 1 x 0 图a b 2 0 x 1 图c 3 1 x 0 图d e 4 2 x 3 图f 5 x 3 图g h 分段计算结果 19 综合上述各式 可知所求二函数的卷积为 根据上述计算结果画出了g x f x h x 的完整曲线 如图 i 20 例2 求解 解 由卷积定义和矩形函数表达式 有 5 卷积运算举例 续 21 其中 经翻转并平移x后 有 由式中积分限知 2 0 再结合上述矩形函数的表达式可以看出 只有当 2x 0和0 x 2时 函数乘积曲线下的积分面积不等于0 而当x超出上述界限时 积分面积都为0 如图1 3 5所示 22 a 2 x 0 b 0 x 2 图1 3 5例2卷积运算过程 23 故最后结果可表示成 其函数图形如图1 3 6所示 图1 3 6例2卷积运算结果 24 练习 1 9 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率 假定缝宽为a 光栅常数为d 缝数为N 1 10 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率 若在其中任一圆孔上嵌入p位相板 透过率怎样变化 25 练习 1 10 透过率 输出 输入 t x y d x d 2 d x d 2 p位相板 输出 输入 exp jp 即 透过率 exp jp 1 d x d 2 d x d 2 若右边园孔上加p位相板 则 26 练习1 12 若f x h x g x 证明 1 f x x0 h x g x x0 2 h x f x g x 3 27 一 互相关crosscorrelation 考虑两个复函数f x 与g x 定义 作变量替换x x x 则 2 1 和 2 两个定义式是完全等价的 为函数f x 与g x 的互相关函数 1 互相关是两个函数间存在相似性的量度 相关 信息处理中的重要运算 2 28 一 互相关crosscorrelation 续 与卷积的关系 由 2 式易见 3 1 当且仅当f x f x f x 是厄米的 相关才和卷积相同 一般情况下 相关运算与卷积运算的区别 rfg x rgf x 4 由 3 式直接推论得 2 互相关不满足交换律rfg x f x g x g x f x rgf x 相关计算要严格注意两个函数的顺序 以及哪个函数取复共轭 f x 要取复共轭运算时f x 不需折叠 29 二 自相关auto correlation 或 复函数的自相关函数是厄米函数 实部为偶函数 虚部为奇函数 实函数的自相关为实偶函数 当f x g x 时 互相关变为复函数f x 的自相关 定义为 30 二 自相关auto correlation重要性质 由 3 式 若f x 是实偶函数 则 rff x f x f x 其自相关就是自卷积 对于非零复函数f x rff 0 0为实值 rff x rff 0 证明 利用施瓦兹不等式 阅读 吕乃光 傅里叶光学 P14 15 31 三 相关运算举例 仍采用图解分析法 例1 试计算下面二函数的相关 并绘图表示所得结果 解 由定义式 1 4 2 有 1 4 8 32 其中 1 4 9 由式 1 4 8 中的积分限 0 2 再由式 1 4 9 当 0时 有 0 x 2 当 2时 有2 x 4 故按图解分析法有 1 当x0或x4 2 当0 x 2 图a 3 当2 x 4 图b 33 图1 4 1例1相关运算过程 故可将计算结果表达成 1 4 10 34 其函数图形如图1 4 2所示 上述结果与前面的卷积运算结果相比较 相关运算后的函数图形保持不变 但图形发生了一定的位移 图1 4 2例1计算结果的函数图形 35 例2 试计算 解 36 作业 1 13 证明实函数f x y 的自相关是实