浙江省温州市兴港高级中学高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 1直线与圆的位置关系 教学目标 1 知识与技能 1 理解直线与圆的位置的种类 2 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 3 情态与价值观让学生通过观察图形 理解并掌握直线与圆的位置关系 培养学生数形结合的思想 二 教学重点 难点 重点 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 难点 用坐标法判直线与圆的位置关系 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 为解决这个问题 我们以台风中心为原点o 东西方向为x轴 建立如图所示的直角坐标系 其中取10km为单位长度 实例引入 问题 实例引入 问题 轮船航线所在直线l的方程为 问题归结为圆心为o的圆与直线l有无公共点 这样 受台风影响的圆区域所对应的圆心为o的圆的方程为 知识探究 一 直线与圆的位置关系的判定 思考1 在平面几何中 直线与圆的位置关系有几种 思考2 在平面几何中 我们怎样判断直线与圆的位置关系 d r d r d r 思考3 如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系 两个公共点 一个公共点 没有公共点 思考4 在平面直角坐标系中 我们用方程表示直线和圆 如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系 方法一 根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断 方法二 根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断 思考5 上述两种判断方法的操作步骤分别如何 代数法 1 将直线方程与圆方程联立成方程组 2 通过消元 得到一个一元二次方程 3 求出其判别式 的值 4 比较 与0的大小关系 若 0 则直线与圆相交 若 0 则直线与圆相切 若 0 则直线与圆相离 1 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断 直线与圆的位置关系的判定方法几何法 直线l ax by c 0 圆c x a 2 y b 2 r2 r 0 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 例1 如图 已知直线l 和圆心为c的圆 判断直线l与圆的位置关系 理论迁移 如果相交 求它们交点的坐标 解法一 由直线l与圆的方程 得 消去y 得 因为 直线与圆相交 有两个公共点 联立方程组 消元 x或y 求解 比大小 作结论 求圆心与半径 求距离 比大小 作结论 解法二 圆可化为 其圆心c的坐标为 0 1 半径成为 点c 0 1 到直线l的距离 直线与圆相交 有两个公共点 直线与圆位置关系的判断例2 当k为何值时 直线l y kx 5与圆c x 1 2 y2 1 1 相交 2 相切 3 相离 思维突破 判断直线与圆的位置关系有两种方法 几何法和代数法 使用时以几何法为主 1 当 0 即k 3 当 故 10k 2 2 4 25 k2 1 96 40k 125 时 直线与圆相交 2 当 0 即k 125 时 直线与圆相切 125 时 直线与圆相离 x 1 2 kx 5 2 1 即 k2 1 x2 10k 2 x 25 0 解法二 几何法 圆心c的坐标为c 1 0 半径r 1 圆心 1 1 求实数b的范围 使直线y x b和圆x2 y2 2 1 相交 2 相切 3 相离 变式2 求实数b的范围 使直线y x b和圆x2 y2 2 1 相交 2 相切 3 相离 得2x2 2bx b2 2 0 4 b2 4 1 当 0 即 22时 直线与圆相离 1 几何法 用弦心距d 半径r及半弦构成直角三角形的三边 三 直线与圆相交时弦长的求法 2 代数法 用弦长公式 弦长问题例3 直线l x y 1 0被圆 x 3 2 y2 9截得的弦长为 答案 2 3 1 2010年四川 直线x 2y 5 0与圆x2 y2 8相交于a b两点 则 ab 例4 已知过点m 3 3 的直线l被圆x2 y2 4y 21 0所截得的弦长为 求直线l的方程 对于圆 t 解 1 若斜率存在 因为直线l过点m 可设所求直线l的方程为 如图 解得 所求直线为 2 若直线l的斜率不存在 则l x 3 练习 已知过点的直线被圆所截得的弦长为 求直线的方程并画出图形 分析 圆心 1 1 半径r 1 解 由直线被圆所截得的弦长为得圆心到直线的距离为 若直线的斜率不存在 易知直线与圆相离 不符合题意 则直线的斜率存在且设为 则直线方程为 即 由圆心到直线的距离得 解得 注意 当直线的斜率不知道而要设时 必须考虑直线的斜率是否存在 知识探究 二 圆的切线方程 思考1 过圆上一点 圆外一点作圆的切线 分别可作多少条 思考2 设点m x0 y0 为圆x2 y2 r2上一点 如何求过点m的圆的切线方程 x0 x y0y r2 思考3 设点m x0 y0 为圆x2 y2 r2外一点 如何求过点m的圆的切线方程 思考4 设点m x0 y0 为圆x2 y2 r2外一点 过点m作圆的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程如何 x0 x y0y r2 例5写出过圆o x2 y2 10上一点m 2 且与圆相切的直线l的方程 解 显然 直线l与直线om是垂直的 而直线om的斜率为 即 由此可知直线l的斜率为 由直线的点斜式方程可知直线l的方程为 例5写出过圆o x2 y2 10上一点m 2 且与圆相切的直线l的方程 解 当直线的斜率存在时 设其方程为y 4 k x 2 直线与圆的位置关系 典型例题 练习 直线l过点 2 2 且与圆x2 y2 2x 0相切 求直线l的方程 2 2 o x y 2 2 解 当k不存在时 过 2 2 的直线x 2也与圆相切 当k存在时 设直线l的方程为y 2 k x 2 由已知得圆心的坐标为 1 0 因为直线l与圆相切 所以有 解得 所以直线方程为 变式演练 例6 求经过点 1 7 且与圆x2 y2 25相切的切线方程 思维突破 已知点和圆方程求切线方程 有三种方法 1 设切线斜率 用判别式法 2 设切线斜率 用圆心到直线的距离等于半径法 3 设切点坐标 用切线公式法 解因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点a在圆外 1 若所求直线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 因为圆心c 3 1 到切线的距离等于半径 半径为1所以 1 即 k 4 所以k2 8k 16 k2 1 解得k 所以切线方程为y 3 x 4 即15x 8y 36 0 2 若直线斜率不存在 圆心c 3 1 到直线x 4的距离也为1 这时直线与圆也相切 所以另一条切线方程是x 4 综上 所求切线方程为15x 8y 36 0或x 4 2 1 求由下列条件所决定的圆x2 y2 4的切线方程 相离 相切 相交 d r d r d r 没有公共点 一个公共点 两个公共点 直线与圆的位置关系 位置关系 交点关系 图式 几何法 代数法 0 0 0 课堂小结 代数法 联立方程组 消元 x或y 求解 若 0 则直线与圆相交 若 0 则直线与圆相切 若 0 则直线与圆相离 几何法 求圆心坐标和半径r 求圆心到直线的距离 比大小 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相交 课堂小结 因此所证命题成立 解法1 代数方法 圆的弦长 a b l 解法2 1 由圆方程可知 圆心为 0 1 半径为r 则圆心到直线l的距离为 因此所证命题成立 几何方法 l a b 解法3 mx y 1 m 0