2019_2020学年高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行学案新人教A版.docx

85.3平面与平面平行考点学习目标核心素养平面与平面平行的判定理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系直观想象、逻辑推理平面与平面平行的性质理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题直观想象、逻辑推理 问题导学预习教材P139P142的内容，思考以下问题：1面面平行的判定定理是什么？2面面平行的性质定理是什么？1平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a，b，abP，a，b图形语言名师点拨 (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行2平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言，a，bab图形语言名师点拨 (1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：平面和平面平行，即；平面和相交，即a；平面和相交，即b.以上三个条件缺一不可(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行()(2)若，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面()答案：(1)(2)(3) 若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A一定平行B一定相交C平行或相交 D以上判断都不对答案：C 下列命题正确的是()A若直线a平面，直线a平面，则B若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面C若直线a直线b，直线b平面，则直线a平面D若直线a与直线b是异面直线，直线a，则直线b有可能与平行答案：D 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_解析：因为平面ABFE平面CDHG，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面CDHGHG，所以EFHG.同理EHFG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形答案：平行四边形平面与平面平行的判定如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.【证明】(1)因为B1BDD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，所以BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.又A1DBDD，所以平面A1BD平面B1D1C.(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AEB1G，又因为AEB1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1EAG.易得GFAD，又因为GFAD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AGDF，所以B1EDF，所以DF平面EB1D1.又因为BDDFD，所以平面EB1D1平面FBD.变条件把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1EA1A”，求F在何位置时，平面EB1D1平面FBD?解：当F满足CFCC1时，两平面平行，下面给出证明：在D1D上取点M，且DMDD1，连接AM，FM，则AED1M，从而四边形AMD1E是平行四边形所以D1EAM.同理，FMCD，又因为ABCD，所以FMAB，从而四边形FMAB是平行四边形所以AMBF.即有D1EBF.又BF平面FBD，D1E平面FBD，所以D1E平面FBD.又B1BD1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形故而B1D1BD，又BD平面FBD，B1D1平面FBD，从而B1D1平面FBD，又D1EB1D1D1，所以平面EB1D1平面FBD. 证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD，求证：平面MNQ平面PBC.证明：因为PMMABNNDPQQD，所以MQAD，NQBP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，所以NQ平面PBC，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD，所以MQBC.而BC平面PBC，MQ平面PBC，所以MQ平面PBC.又MQNQQ，所以平面MNQ平面PBC.面面平行性质定理的应用如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN平面.【证明】如图，过点A作AECD交于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AECD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDCDE，平面AEDCAC，因为，所以ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PNDE，PN，DE，所以PN.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MPBE，且MP，BE.所以MP，因为MPPNP，所以平面MPN.又MN平面MPN，所以MN平面.1变条件在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且，其他不变证明：MN平面.证明：作AECD交于点E，连接AC，BD，如图因为且平面AEDC与平面，的交线分别为ED，AC，所以ACED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NPDE交AE于点P，连接MP，BE，于是.又因为，所以，所以MPBE.而BE，MP，所以MP.同理PN.又因为MPNPP，所以平面MPN平面.又MN平面MPN，所以MN平面.2变条件、变问法两条异面直线与三个平行平面，分别交于A，B，C和D，E，F，求证：.证明：连接AF交平面于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为，所以MEAD.所以.同理，BMCF，所以，即.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒面面平行性质定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化 如图，已知，点P是平面、外的一点(不在与之间)，直线PB、PD分别与、相交于点A、B和C、D.(1)求证：ACBD；(2)已知PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求PD的长解：(1)证明：因为PBPDP，所以直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，所以ACBD.(2)由(1)得ACBD，所以，所以，所以CD(cm)，所以PDPCCD(cm)平行关系的综合问题在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图(1)求证：平面AB1D1平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1EEFFC.【解】(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1BD.又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点证明A1EEFFC的过程如下：因为平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F.在A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1EEF；同理可证OFAE，所以F是CE的中点，即CFFE，所以A1EEFFC. 解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.证明：如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，因为MPBB1，所以.因为BDB1C，DNCM，所以B1MBN，所以，所以，所以NPCDAB.因为NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，所以NP平面AA1B1B.因为MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B.所以MP平面AA1B1B.又因为MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，所以平面MNP平面AA1B1B.因为MN平面MNP，所以MN平面AA1B1B.1已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()A平面内有一条直线与平面平行B平面内有两条直线与平面平行C平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D平面与平面不相交解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种故选D.2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A225B425C25 D45解析：选B.因为平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，所以ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC.3在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面MCD1平面DCC1D1CD1，所以平面MCD1平面ABB1A1MN，且MNCD1，所以N为AB的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD1，因为正方体的棱长为2，易知，MN，CD12，MD1，所以等腰梯形MNCD1的高MH.所以截面面积为(2).答案：4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB平面，CD平面，ACE，ADF，BDG，BCH.求证：四边形EFGH是平行四边形证明：因为AB平面，AB平面ABC，平面ABC平面EH，所以ABEH，因为AB平面，AB平面ABD，平面ABD平面FG，所以ABFG，所以EHFG，同理由CD平面可证EFGH，所以四边形EFGH是平行四边形A基础达标1平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为()A平行B相交C平行或相交 D可能重合解析：选C.若三点分布于平面的同侧，则与平行，若三点分布于平面的两侧，则与相交2在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G解析：选A.如图，因为EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，所以EG平面E1FG1，又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，所以平面E1FG1平面EGH1.3.有一正方体木块如图所示，点P在平面AC内，棱BC平行于平面AC，要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为()A0 B1C2 D无数解析：选B.过P、B、C三点有且只有1个平面4已知a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，现给出四个命题：； ；a； a.其中正确的命题是()A BC D解析：选C.与有可能相交；正确；有可能a；有可能a.故选C.5已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于A，C两点，过点P的直线n与，分别交于B，D两点，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16 B24或C14 D20解析：选B.由得ABCD.分两种情况：若点P在，的同侧，则，所以PB，所以BD；若点P在，之间，则有，所以PB16，所以BD24.6对于不重合直线a，b，不重合平面，下列四个条件中，能推出的有_(填写所有正确的序号)，；，；a，a；ab，a，b.解析：对于，当，时，与相交，或与平行；对于，当，时，根据平行平面的公理得；对于，当a，a时，与相交，或与平行；对于，当ab时，若a，则b，又b，所以；综上，能推出的是.答案：7已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交且都在，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_解析：错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知答案：8在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BPBD1.则以下四个说法：MN平面APC；C1Q平面APC；A，P，M三点共线；平面MNQ平面APC.其中说法正确的是_解析：MNAC，连接AM，CN，得AM，CN交于点P，即MN平面PAC，所以MN平面APC是错误的；平面APC延展，可知M，N在平面APC上，ANC1Q，所以C1Q平面APC，是正确的；由BPBD1，以及知APBD1PM，所以A，P，M三点共线，是正确的；直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ平面APC，是错误的答案：9如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，ABCD，CD2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C平面BPQ.证明：因为D1Q綊CD，AB綊CD，所以D1Q綊AB，所以四边形D1QBA为平行四边形，所以D1AQB.因为D1A平面BPQ，BQ平面BPQ，所以D1A平面BPQ.因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QPD1C.因为D1C平面BPQ，QP平面BPQ，所以D1C平面BPQ，又D1AD1CD1，所以平面AD1C平面BPQ.10(2019湖南师大附中检测)如图(甲)，在直角梯形ABED中，ABDE，ABBE，ABCD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将ACD沿CD折起，如图(乙)求证：平面FHG平面ABE.证明：因为F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，所以FHCD，HGAE.又ABCD，ABBE，所以CDBE，所以FHBE.因为BE平面ABE，FH平面ABE，所以FH平面ABE.因为AE平面ABE，HG平面ABE，所以HG平面ABE.又FHHGH，所以平面FHG平面ABE.B能力提升11设，A，B，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A、B如何移动，都共面解析：选D.如图，A、B分别是A、B两点在、上运动后的两点，此时AB的中点C变成AB的中点C，连接AB，取AB的中点E，连接CE、CE、AA、BB.则CEAA，所以CE，CEBB，所以CE.又因为，所以CE.因为CECEE，所以平面CCE平面.所以CC.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上12.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；直线PA平面BDG；直线EF平面PBC；直线EF平面BDG.其中正确结论的序号是_解析：作出立体图形，可知平面EFGH平面ABCD；PA平面BDG；EFHG，所以EF平面PBC；直线EF与平面BDG不平行答案：13.用一个截面去截正三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H，已知A1AA1C1，则截面的形状可以为_(把你认为可能的结果的序号填在横线上)一般的平行四边形；矩形；菱形；正方形；梯形解析：由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EFHG且EH不平行于FG.答