行程问题专项训练知识点分析.ppt

行程问题专项训练知识点分析 行程问题中的常见问题 追及问题多次相遇于追及问题多人相遇于追及问题流水行船问题猎狗追兔问题环形跑道问题走停问题发车间隔接送问题综合行程问题 1 追及问题 追及问题主要包括相遇与追及 1 相遇 甲从A地到B地 乙从B地到A地 然后两人在途中相遇 实质上是甲和乙一起走了A B之间这段路程 如果两人同时出发 那么相遇路程 甲走的路程 乙走的路程 甲的速度 相遇时间 乙的速度 相遇时间 甲的速度 乙的速度 相遇时间 速度和 相遇时间 一般地 相遇问题的关系式为 速度和 相遇时间 路程和 即S和 V和 T 2追及 有两个人同时行走 一个走得快 一个走得慢 当走得慢的在前 走得快的过了一些时间就能追上他 这就产生了 追及问题 实质上 要算走得快的人在某一段时间内 比走得慢的人多走的路程 也就是要计算两人走的路程之差 追及路程 如果设甲走得快 乙走得慢 在相同的时间 追及时间 内 追及路程 甲走的路程 乙走的路程 甲的速度 追及时间 乙的速度 追及时间 甲的速度 乙的速度 追及时间 速度差 追及时间 一般地 追击问题有这样的数量关系 追及路程 速度差 追及时间 即S差 V差 T 追及相遇隐含的两种条件 1 在整个被研究的运动过程中 2个物体所运行的时间相同 2 在整个运行过程中 2个物体所走的是同一路径 模块一 直线上相遇与追及问题 例子1 第二届 走进美妙数学花园 在一条笔直的高速公路上 前面一辆汽车以千米 小时的速度行驶 后面一辆汽车以千米 小时的速度行驶 后面的汽车刹车突然失控 向前冲去 车速不变 在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车 在这辆车鸣笛时两车相距多少米 例子2 北京市年迎春杯试题 小张和小王早晨点整同时从甲地出发去乙地 小张开车 速度是每小时千米 小王步行 速度为每小时千米 如果小张到达乙地后停留小时立即沿原路返回 恰好在点整遇到正在前往乙地的小王 那么甲 乙两地之间的距离是千米 模块二 终 中 点问题 例子1 明心奥数挑战赛 甲 乙二人从 两地同时出发相向而行 甲每分钟行80米 乙每分钟行70米 出发一段时间后 二人在距中点60米处相遇 如果甲晚出发一会儿 那么二人在距中点220米处相遇 甲晚出发了多少分钟 模块三 行程间的倍比关系 例子2 甲和乙分别从东西两地同时出发 相对而行 两地相距里 甲每小时走里 乙每小时走里 如果甲带一只狗 和甲同时出发 狗以每小时里的速度向乙奔去 遇到乙后即回头向甲奔去 遇到甲后又回头向乙奔去 直到甲乙两人相遇时狗才停住 这只狗共跑了多少里路 例子1 甲 乙两辆汽车同时分别从 两地相对开出 甲车每小时行千米 乙车每小时行千米 甲 乙两车第一次相遇后继续前进 甲 乙两车各自到达 两地后 立即按原路原速返回 两车从开始到第二次相遇共用小时 求 两地的距离 二 多次相遇与追及问题 模块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕 路程 速度 时间 这一条基本关系式展开的 多人相遇与追及问题虽然较复杂 但只要抓住这个公式 逐步表征题目中所涉及的数量 问题即可迎刃而解 例子1 甲 乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发 8分钟后两人第五次相遇 已知每秒钟甲比乙多走0 1米 那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米 模块二 运用倍比关系解多次相遇问题 如图 A B是圆的直径的两端 小张在A点 小王在B点同时出发反向行走 他们在C点第一次相遇 C离A点80米 在D点第二次相遇 D点离B点6O米 求这个圆的周长 模块三 多次相遇与全程的关系 1 两地相向出发 第1次相遇 共走1个全程 第2次相遇 共走3个全程 第3次相遇 共走5个全程 第N次相遇 共走2N 1个全程 注意 除了第1次 剩下的次与次之间都是2个全程 即甲第1次如果走了N米 以后每次都走2N米 2 同地同向出发 第1次相遇 共走2个全程 第2次相遇 共走4个全程 第3次相遇 共走6个全程 第N次相遇 共走2N个全程 3 多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差 例子1 A B两地相距1000米 甲从A地 乙从B地同时出发 在A B两地间往返锻炼 乙跑步每分钟行150米 甲步行每分钟行60米 在30分钟内 甲 乙两人第几次相遇时距B地最近 从后面追上也算作相遇 最近距离是多少 例子2 A B两地相距 甲 乙两人同时从地出发 往返 两地跑步分钟 甲跑步的速度是每分钟 乙跑步的速度是每分钟 在这段时间内他们面对面相遇了数次 请问在第几次相遇时他们离点的距离最近 例子3 从花城到太阳城的公路长12公里 在该路的2千米处有个铁道路口 是每关闭3分钟又开放3分钟的 还有在第4千米及第6千米有交通灯 每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯 小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城 出发时道口刚刚关闭 而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯 已知电动车速度是常数 小糊涂既不刹车也不加速 那么在不违反交通规则的情况下 他到达太阳城最快需要多少分钟 三 多人相遇与追及问题 二是多人相遇追及问题 即在同一直线上 3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题 所有行程问题都是围绕 这一条基本关系式展开的 比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化 由此还可以得到如下两条关系式 路程和 速度和 相遇nn路程差 速度差 追及nn多人相遇与追及问题虽然较复杂 但只要抓住这两条公式 逐步表征题目中所涉及的数量 问题即可迎刃而解 模块一 多人从两端出发 相遇追及 例子1 2009年四中入学测试题 在公路上 汽车A B C分别以80km h 70km h 50km h的速度匀速行驶 若汽车A从甲站开往乙站的同时 汽车B C从乙站开往甲站 并且在途中 汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇 求甲 乙两站相距多少km 例子2 2008年三帆中学考题 甲 乙 丙三人沿湖边一固定点出发 甲按顺时针方向走 乙与丙按逆时针方向走 甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙 再过3分45秒第二次遇到乙 已知甲 乙的速度比是3 2 湖的周长是600米 求丙的速度 例子3 2007年 希望杯 第一试 A B两地相距203米 甲 乙 丙的速度分别是4米 分 6米 分 5米 分 如果甲 乙从A 丙从B地同时出发相向而行 那么 在 分钟或 分钟后 丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍 模块二 多人从同一段出发 追及问题 例子1 张 李 赵3人都从甲地到乙地 上午6时 张 李两人一起从甲地出发 张每小时走5千米 李每小时走4千米 赵上午8时从甲地出发 傍晚6时 赵 张同时达到乙地 那么赵追上李的时间是几时 例子2 甲从A地出发前往B地 1小时后 乙也从A地出发前往B地 又过1小时 丙从B地出发前往A地 结果甲和丙相遇在C地 乙和丙相遇在D地 已知乙和丙的速度相同 丙的速度是甲的2倍 C D两地之间的距离是50千米 求乙出发1小时后距B地多少千米 四 流水行船问题 一 参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为 参考系速度为0 的行程问题 例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时 这里的参考系便是公路 而公路本身是没有速度的 所以我们只需要考虑人本身的速度即可 二参考系速度 水速 但是在流水行船问题中 我们的参考系将不再是速度为0的参考系 因为水本身也是在流动的 所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响 具体为 水速度 船速 水速 逆水速度 船速 水速 可理解为和差问题 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论 船速 顺水速度 逆水速度 2 水速 顺水速度 逆水速度 2此外 对于河流中的漂浮物 我们还会经常用到一个常识性性质 即 漂浮物速度 流水速度 三 流水行船问题中的相遇与追及 两只船在河流中相遇问题 当甲 乙两船 甲在上游 乙在下游 在江河里相向开出 甲船顺水速度 乙船逆水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船船速 乙船船速 同样道理 如果两只船 同向运动 一只船追上另一只船所用的时间 与水速无关 甲船顺水速度 乙船顺水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船速 乙船速也有 甲船逆水速度 乙船逆水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船速 乙船速 说明 两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样 与水速没有关系 模块一 基本的流水行船问题 例子1 2009年五中分入学测试题 一位少年短跑选手 顺风跑90米用了10秒 在同样的风速下逆风跑70米 也用了10秒 则在无风时他跑100米要用秒 例子2 小明计划上午7时50分到8时10分之间从码头出发划船顺流而下 已知河水流速为1 4千米 小时 船在静水中的划行速度为3千米 小时 规定除第一次划行可不超过30分钟外 其余每次划行均为30分钟 任意两次划行之间都要休息15分钟 中途不能改变方向 只能在某次休息后往回划 如果要求小明必须在11时15分准时返回码头 为了使他划行到下游尽可能远处 他应该在 时 分开始划 划到的最远处距码头 千米 模块二 相遇与追及问题 例子1 甲 乙两船分别在一条河的A B两地同时相向而行 甲顺流而下 乙逆流而行 相遇时 甲 乙两船行了相等的航程 相遇后继续前进 甲到达B地 乙到达A地后 都立即按原来路线返航 两船第二次相遇时 甲船比乙船少行1千米 如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分 则河水的流速为多少 模块三 用比例解行程问题 对比分析 例子1 一只轮船从甲港顺水而下到乙港 马上又从乙港逆水行回甲港 共用了8小时 已知顺水每小时比逆水多行20千米 又知前4小时比后4小时多行60千米 那么 甲 乙两港相距千米 比例在流水行船中的运用 2008年三帆中学考题 一艘船往返于甲 乙两港之间 已知船在静水中的速度为每小时9千米 平时逆行与顺行所用的时间比是2 1 一天因下暴雨 水流速度为原来的2倍 这艘船往返共用10小时 问 甲 乙两港相距千米 五 猎狗追兔问题 一 猎狗追兔的出题背景猎狗追兔是奥数中行程问题的一种 它与一般的行程问题有着某种相通性 解题关键 行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键 通常我们遇到的题给的都是通用单位 如米 公里等等 这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位 关键就在于将这两者统一 作行程问题最好能够脱离题海 要多注意总结 体会思想方法 很多看似无关的题目 实质思想是相通的 二 猎狗追兔问题问题叙述 兔子动作快 步子小 猎狗动作慢 步子大 通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位 米或千米等 但这类题中狗步与兔步是不一样的单位 解题关键在于统一单位 然后利用追及问题公式 路程差 速度差 追及时间 求解 单位的统一 在猎狗追兔的问题中 狗步与兔步之间在距离上有一定关系 例如 相同路程内 猎狗跑四步 狗步 兔子跑七步 兔步 据此可以求出狗步与兔步的比 相同时间内 可以认为单位时间内 兔子跑3步 兔步 猎狗跑2步 狗步 进而可以求出兔子与猎狗的速度 即单位时间内分别跑多少兔步 或狗步 关键 具体是统一为狗步或兔步 要视路程差的单位而定 若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步 反之统一为兔步 若路程差为米或千米 则统一成狗步或兔步都行 例子1 猎狗前面26步远有一只野兔 猎狗追之 兔跑8步的时间狗跑5步 兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离 问 兔跑多少步后被猎狗抓获 此时猎狗跑了多少步 例子2 狼和狗是死对头 见面就要相互撕咬 一天 它们同时发现了对方 它们之间的距离狼要跑568步 如果狼跑9步的时间狗跑7步 狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离 那么从它们同时奔向对方到相遇 狗跑了多少步 狼跑了多少步 例子3 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同 猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同 而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同 猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同 猫 狗 兔沿着周长为300米的圆形跑道 同时同向同地出发 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程 六 环形跑道问题 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一 是多人 一般至少两人 多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析 一 在做出线段图后 反复的在每一段路程上利用 路程和 相遇时间 速度和路程差 追及时间 速度差二 解环形跑道问题的一般方法 环形跑道问题 从同一地点出发 如果是相向而行 则每合走一圈相遇一次 如果是同向而行 则每追上一圈相遇一次 这个等量关系往往成为我们解决问题的关键 例子1 一个圆形操场跑道的周长是500米 两个学生同时同地背向而行 黄莺每分钟走66米 麻雀每分钟走59米 经过几分钟才能相遇 例子2 第4届希望杯培训题 在环形跑道上 两人在一处背靠背站好 然后开始跑 每隔4分钟相遇一次 如果两人从同处同向同时跑 每隔20分钟相遇一次 已知环形跑道的长度是1600米 那么两人的速度分别是多少 例子3 甲 乙两人沿400米环形跑道练习跑步 两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去 相遇后甲比原来速度增加2米 秒 乙比原来速度减少2米 秒 结果都用24秒同时回到原地 求甲原来的速度 例子4 2008年第八届 春蕾杯 小学数学邀请赛决赛 上海小学有一长300米长的环形跑道 小亚和小胖同时从起跑线起跑 小亚每秒钟跑6米 小胖每秒钟跑4米 1 小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米 2 小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈 例子5 在400米的环行跑道上 A B两点相距100米 甲 乙两人分别从A B两点同时出发 按逆时针方向跑步 甲每秒跑5米 乙每秒跑4米 每人每跑100米 都要停10秒钟 那么甲追上乙需要时间是多少秒 七 走停问题 本讲中的知识点较为复杂 主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理 解题办法比较驳杂掌握知识点 1 学会化线段图解决行程中的走停问题2 能够运用等式或比例解决较难的行程题3 学会如何用枚举法解行程题 例子1 龟兔进行10000米跑步比赛 兔每分钟跑400米 龟每分钟跑80米 兔每跑5分钟歇25分钟 谁先到达终点 例子2 在400米的环行跑道上 A B两点相距100米 甲 乙两人分别从A B两点同时出发 按逆时针方向跑步 甲每秒跑5米 乙每秒跑4米 每人每跑100米 都要停10秒钟 那么甲追上乙需要时间是多少秒 例子3 一列火车出发1小时后因故停车0 5小时 然后以原速的3 4前进 最终到达目的地晚1 5小时 若出发1小时后又前进90公里再因故停车0 5小时 然后同样以原速的3 4前进 则到达目的地仅晚1小时 那么整个路程为多少公里 例子4 甲每分钟走80千米 乙每分钟走60千米 两人在A B两地同时出发相向而行在E相遇 如果甲在途中休息7分钟 则两人在F地相遇 已知为C为AB中点 而EC FC 那么AB两地相距多少千米 例子5 甲 乙两人同时从A B两点出发 甲每分钟行80米 乙每分钟行60米 出发一段时间后 两人在距中点的C处相遇 如果甲出发后在途中某地停留了7分钟 两人将在距中点的D处相遇 且中点距C D距离相等 问A B两点相距多少米 八 发车问题 发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的 可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进 还要理解参照物的概念有助于解题 接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程 是寻找比例和解题的关键 一 常见发车问题解题方法间隔发车问题 只靠空间理想象解稍显困难 证明过程对快速解题没有帮助 但是一旦掌握了3个基本方法 一般问题都可以迎刃而解 一 在班车里 即柳卡问题不用基本公式解决 快速的解法是直接画时间 距离图 再画上密密麻麻的交叉线 按要求数交点个数即可完成 如果不画图 单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易 二 在班车外 联立3个基本公式好使 1 汽车间距 汽车速度 行人速度 相遇事件时间间隔 2 汽车间距 汽车速度 行人速度 追及事件时间间隔 3 汽车间距 汽车速度 汽车发车时间间隔 三 三个公式并理解 1 一般间隔发车问题 用3个公式迅速作答 2 求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数 标准方法是 画图 尽可能多的列3个好使公式 结合s全程 v t 结合植树问题数数 3 当出现多次相遇和追及问题 柳卡 例子1 九 接送问题 一 校车问题 行走过程描述队伍多 校车少 校车来回接送 队伍不断步行和坐车 最终同时到达目的地 即到达目的地的最短时间 不要求证明二 常见接送问题类型根据校车速度 来回不同 班级速度 不同班不同速 班数是否变化分类为四种常见题型 1 车速不变 班速不变 班数2个 最常见 2 车速不变 班速不变 班数多个 3 车速不变 班速变 班数2个 4 车速变 班速不变 班数2个 三 标准解法 画图 列3个式子1 总时间 一个队伍坐车的时间 这个队伍步行的时间 2 班车走的总路程 3 一个队伍步行的时间 班车同时出发后回来接它的时间 接送问题可分4个板块 1 接一人 2 接2人或者多人 3 借车赶路 4 策略问题 模块一 汽车接送问题 接一人 例子一 某校和某工厂之间有一条公路 该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告 往返需用1小时 这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来 途中遇到接他的汽车 便立刻上车驶向学校 在下午2时40分到达 问 汽车速度是劳模步行速度的几倍 模块二 汽车接送问题 接2人或者多人 1 车速不变 人速不变 例子 甲 乙 丙三个班的学生一起去郊外活动 他们租了一辆大巴 但大巴只够一个班的学生坐 于是他们计划先让甲班的学生步行 乙丙两班的学生步行 甲班学生搭乘大巴一段路后 下车步行 然后大巴车回头去接乙班学生 并追赶上步行的甲班学生 再回头载上丙班学生后一直驶到终点 此时甲 乙两班也恰好赶到终点 已知学生步行的速度为5千米 小时 大巴车的行驶速度为55千米 小时 出发地到终点之间的距离为8千米 求这些学生到达终点一共所花的时间 2 车速不变 人速变 例子 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园 甲班步行的速度是每小时4千米 乙班步行的速度是每小时3千米 学校有一辆汽车 它的速度是每小时48千米 这辆汽车恰好能坐一个班的学生 为了使两班学生在最短时间内到达公园 那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米 车速变 人速不变 例子 甲 乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动 但只有一辆汽车 且一次只能坐一个班的同学 已知学生步行速度相同为5千米 小时 汽车载人速度是45千米 小时 空车速度是75千米 小时 如果要使两班同学同时到达 且到达时间最短 那么这个最短时间是多少 车速变 人速变 模块三 汽车接送问题 借车赶路 例子 三个人同时前往相距30千米的甲地 已知三人行走的速度相同 都是5千米每小时 现在还有一辆自行车 但只能一个人骑 已知骑车的速度为10千米每小时 现先让其中一人先骑车 到中途某地后放车放下 继续前进 第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行 自己继续前进 这样三人同时到达甲地 问 三人花的时间各为多少 模块4 汽车接送问题 策略问题 例子 两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发 沿同一方向同速直线前进 每车最多能带20桶汽油 连同油箱内的油 每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米 两车都必须返回出发地点 两辆车均可借对方的油 为了使一辆车尽可能地远离出发点 那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方 十 行程问题综合